聚焦中考数学中的“课题学习”问题，本文主要内容关键词为：中考论文,课题论文,学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“课题学习”是全日制义务教育《数学课程标准（实验稿）》在“实践与综合应用”课程领域设置的全新的课程内容，帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展学生解决问题的能力，加深学生对“数与代数”、“统计与概率”、“空间与图形”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。《课程标准》认为：数学本身就是一个过程，只有通过大量的数学活动，学生才能形成对数学的全面的认识。因此过程本身就是一个课程目标。“课题学习”问题已经成为近年来各地中考命题的热点，值得关注。但实际教学中很多教师对这类问题却有无从下手之感，现结合近两年中考试题举例说明一下这类问题的常见考查类型及解法，以期待对教学有实际帮助。
一、中考对“课题学习”的评价
在中考中较为注重通过“重要数学活动经验”和“数学基本思想”的考查来了解“课题学习”的教学情况。数学活动考查的主要方面包括：数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究与交流的意识、能力和信心等；能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。
二、中考对“课题学习”的考查呈现方式
一般呈现的方式有：
1.设置情境，探究结论，然后利用探究出的结论求解给出的问题；
2.设置多层次的问题，“暴露”数学活动过程；
3.迁移活动过程中的思想方法，间接考查学生的数学活动过程；
4.通过试题解答的结果，进行数学活动过程的考查；
5.设计一些包含活动过程的问题，在活动中进行有关过程性目标的考查。
（一）突出迁移应用
《课程标准》强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力，不仅能使同学们更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强同学们应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。中考数学试卷中的“课题学习”问题有不少体现了迁移应用特色。
例1 （2010年辽宁沈阳）阅读下列材料，并解决后面的问题：
★阅读材料：
(1)等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。
例如，如图1-1，把海拔高度是50米、100米、150米的点分别连接起来，就分别形成50米、100米、150米三条等高线。
(2)利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图1-2）
步骤一：根据两点A、B所在的等高线地形图，分别读出点A、B的高度；A、B两点的铅直距离＝点A、B的高度差；
步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位，若等高线地形图的比例尺为1∶n，则A、B两点的水平距离＝dn；
步骤三：
★请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上。
某中学学生小明和小丁生活在山城，如图1-3（示意图），小明每天上学从家A经过B沿着公路AB、BP到学校P，小丁每天上学从家C沿着公路CP到学校P。该山城等高线地形图的比例尺为1∶50000，在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米。
(1)分别求出AB、BP、CP的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；
点评 本题“课题学习”问题，能使学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的全过程。解答时需要我们对题目认真观察、分析、发现并归纳出正确结论，还要进行严格的检验和证明。
（二）突出综合性
中考数学试卷中的“课题学习”的综合性主要体现在两个方面：一是知识内容的综合；二是学生在解决问题的过程中需要综合运用数学知识、经验和方法进行求解。
例2 （2010年威海）
(1)探究新知：
①如图2-1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点。求证：△ABM与△ABN的面积相等。
②如图2-2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点。试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由。
(2)结论应用：
（友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论。）
简析 (1)①分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F。可确定四边形ABCD为平行四边形。所以AB∥CD。所以ME=NF。
②相等。理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K。可证明△DAH≌△EBK。所以DH=EK。
点评 将“数与代数”与“空间与图形”的知识内容进行了综合，不仅涉及三角形、四边形的知识，还涉及函数、方程的知识，综合性强，思维价值高，需要学生在理解两对三角形特殊位置等积的基础上，综合运用数学知识分析和解决问题，较好地考查学生探索研究新问题的能力。
（三）呈现过程
中考数学试卷中的“课题学习”能呈现整个“具体而微”的学习过程，有的问题的解决能使学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的全过程；有的问题能体现研究问题的一般思维过程，如渗透猜想、合理推理到逻辑推理的过程。虽然不可能在中考考场呈现“课题学习”的实践过程，但试题的设计可以呈现学生的学习过程，学生可以独立地利用数学知识和其他相关知识分析问题和解决问题，这个过程也是学生自主探索研究的过程，它是“课题学习”探究过程的微观呈现。
例3 （2010年江苏苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图3-1和图3-2。图3-1中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图3-2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。图3-3是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动。在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐______。（填“不变”“变大”或“变小”）
(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由。请你分别完成上述三个问题的解答过程。
简析 (1)变小；
(2)问题①：连接FC，在假定FC∥AB情形下，利用直角三角形边角关系，可求得
；
问题②：分FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边三种情形分类讨论，利用勾股定理，构建方程求解说明，可以得到以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：不存在；理由：假设∠FCD=150°情形下，做出∠EFC的平分线交AC于P，利用直角三角形边角关系可确定
，从而说明问题不存在性。
点评 本题是一道设计独特的好题，形式新颖别致，命题者将它设计成“操作——探究”题，让同学们在动手操作中获取知识。这道动态型操作、探究题是一道集代数、几何、操作于一体的综合性压轴题。有效地考查了同学们的动手、观察、猜想、归纳、探究的能力以及动手操作图形的能力。学生在解答时，应按题目的要求顺向逐层思考，根据观察、理解、分析，在已有的感性认识基础上，提出合理猜想，这样通过“操作——观察——猜想——验证”不仅发现了结论，而且也发现了它的证明方法。需要通过观察、分析、归纳、推理、动中窥静、在静中求动、以静制动来解答，通过代数运算求解。善于进行数与形之间的互相转化是解决代数几何综合题的关键。
（四）渗透数学思想方法
渗透方法是中考数学试卷中的“课题学习”的一个重要特征，不仅有研究问题的一般方法，如：从特殊到一般，从猜想推理到逻辑推理验证等；还有解决问题的常用方法，如在解决问题过程中的模型选择，归纳、类比的方法等。
例4 （2010年江西南昌）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题。
实验与论证
(4)试猜想在正n边形的情况下，是否存在与直线
垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由。
简析 (1)60°-α，α，36°-α。
(2)存在。下面就所选图形的不同分别给出证明：
点评 本题特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。本题注重呈现新知识方法的渗透，学生“跳一跳，够得到”，有利于提高学生的学习兴趣以及增强自信。
（五）体现问题开放性
中考数学试卷中的“课题学习”能使学生产生丰富多彩的研究体验和个性化的、创造性的表现，是考查学生创新意识的重要载体，所以活动过程或者结果常常具有开放性。
例5 （2009年江苏）一辆汽车从A地驶往B地，前
路段为普通公路，其余路段为高速公路。已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h。
请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程。
简析 本题答案不惟一，下列解法供参考。
解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米？
解 设普通公路长为xkm，高速公路长为ykm。
答：普通公路长为60km，高速公路长为120km。
解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？
解 设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh。
答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h。
点评 此题的设计展现了研究实际问题的一般过程，学生在试题的引导下完整地经历下列研究过程：问题的提出、观察收集处理数据、转化有价值的问题、问题求解。这也是学生自主研究的过程，它是“课题学习”过程的微观呈现。
总之，在中考数学试卷中设置“课题学习”的考查内容，对保证数学课程内容的完整性，促进“课题学习”内容的教学，引导学生以自主探索、合作交流的学习方式理解数学、认识数学，体会数学与现实生活的联系，体会数学知识与现实社会需要之间的联系，发展解决问题的策略，树立正确的数学观具有重要意义。