高中数学新教材第四章教学问答（一），本文主要内容关键词为：第四章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
62.弧的概念是怎样推广的？
答：学生已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系——弧的度数等于圆心角的度数。随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数就都有了正数、零、负数之分。这样，圆心角、弧都被赋予了方向。每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧；反过来也对。这就是说，圆心角与弧是一一对应的。
63.是否只有弧度制才能将角与实数一一对应？
答：不是。角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系。 说“每个角都有惟一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数。所以对应法则不是惟一的，但每一种对应法则下对应的实数是惟一的。说“每一个实数也都有惟一的一个角与它对应”时，对应法则也不是惟一的，但每一种对应法则下对应的角是惟一的。
64.那么，弧度制与角度制相比，是否具有优点呢？
答：可以给学生分析一下角度制度量角的方法，从中不能看出，在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制并用的。例如角α＝66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的。于是，为了找出与角对应的实数（学生学的实数都是十进数），要经过一番计算，这就不太方便了。但在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以容易找出与角对应的实数。当然，弧度制下
65.在学习任意角的三角函数的定义时，要让学生注意些什么？
答：任意角的三角函数的定义是本章的基础知识之一，是确定三角函数的定义域、三角函数值的符号与同角三角函数之间的关系式的根基。
（1）学生在初中所学的锐角三角函数的定义， 自变量（角）的取值范围仅仅是0°～90°。随着角的概念的推广， 自变量（角）既可以是正角，也可以是负角或零角，度量角的单位制既可以是角度制，也可以是弧度制，还可以用军事上的密位制等，因此取名为“任意角的三角函数”。现在，以任意角α的顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，那么角α的终边可以出现在四个象限中的任意一个，还可以落在坐标轴上。于是角α可以不标逆时针或顺时针方向的箭头，以突出“任意角”这一特点。
（2）在x，y，r这三个数量中，x，y是角α终边上任意一点P的横、纵坐标，x，y可以取任意实数值；r是点P与原点O的距离， 只能取非负值。从x，y，r中“任意”取出两个，可以组成6个比（如果比值都有意义），由此可引进6种三角函数。
（3）sinα是一个记号，表示y/r，即角α的正弦。不能把sin α看成sin与α的积；离开了自变量α，符号sin就没有意义了。其他五个三角函数的记号也是这样。
（4）三角函数的定义域， 是任意角三角函数定义的重要组成部分。确定三角函数的定义域的关键是x，y，r 所构成的六个比中的后项（即分母）不等于0。于是，当角α的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个是0，当然就成为研究三角函数定义域的着眼点。对于tanα等的定义域，尤其要注意这一点。
66.怎样让学生正确理解角、实数与三角函数值之间的对应关系？
答：由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数就可以看成以实数为自变量的函数。例如，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角都有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以6 种三角函数也都可以看成以实数为自变量，以比值为函数值的函数，如图所示。
当然，由于圆心角与它所对的弧之间也是一一对应的，所以三角函数又可以看成以弧为自变量的函数，这样就使三角函数具有更广泛的意义。
67.怎样便于学生记忆三角函数值在各象限的符号？
答：除了让学生利用一般教科书中的图帮助记忆以外，还可以用口诀“全正、s正、t正、c正”来记忆。后者（即口诀）表示正弦、 余弦、正切这三种三角函数值“第一象限全正，第二象限只有正弦正，第三象限只有正切正，第四象限只有余弦正”，更可简化为“全、s、t、 c”四字。至于正割、余切、余割值在四个象限的符号，只要记住它们在各象限分别与余弦、正切、正弦值同号（因为互为倒数）就行了。
68.根据一个角的某一个三角函数值求这个角的其他三角函数值时，要让学生注意些什么？
答：关键是注意两点：一是角的某一个三角函数值是给定的数还是字母，二是这个角所在的象限是否给定了。于是，这类问题的解的情况可以分为以下三种：
（1）如果角的某一三角函数值与角所在的象限都是给定的， 那么只有一组解；
（2）如果角的某一个三角函数值给定了， 但未给出角所在的象限，那么要先确定角可能在哪些象限，然后分别求解，一般有两组解；
（3）如果角的某一个三角函数值是用字母给出的， 而且未给出角所在的象限，那么角可能在四个象限或终边落在坐标轴上，这时可以把具有共性的两个象限的角的三角函数值放在一起讨论求解或确定其不存在等。
69.在利用终边相同的角的三角函数值相等的诱导公式（诱导公式一）与同角三角函数的关系式化简三角函数式时，要让学生注意些什么？
答：三角函数式的化简，是将一个复杂的三角函数式恒等变换为简单的三角函数式。
（1）化简前，必须先熟悉恒等变换所需的三角公式， 例如终边相同的角的三角函数值相等的诱导公式与同角三角函数之间的关系式，以及学生在初中学过的一些代数公式等。
（2 ）对化简后的三角函数式的一般要求是：所含的三角函数种数最少；能求值的尽量求值，不含特殊角的三角函数值；“分式”型的三角函数式应化为“既约分式”型，且尽量使“分母”不含三角函数；“根式”型的三角函数应化为“最简根式”型等。
（3）求完全平方的三角函数式的“算术平方根”， 是形式多样且经常遇到的化简题型，通常有以下两种情形：
第一种情形，如果这个三角函数式的值的符号能够确定，那么可根据“算术平方根”的定义（非负数的非负的平方根）直接求得结果；
第二种情形，如果这个三角函数式的值的符号不能确定，那么要根据三角函数式的值的正负合理划分自变量的取值区间，经过讨论，确定所求的“算术平方根”。
70.证明恒等式常用哪些方法？
答：证明恒等式，就是要对等式的某一边或两边进行一系列的恒等变形，或者对等式进行等价变形，使等式两边的结构模式逐步接近，直到完全相同。因此，证明的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异以促成统一的过程。目前可告诉学生，证明恒等式常用以下三类方法：
（1）从一边开始证明它等于另一边，一般由繁到简。 这类方法的依据是相等关系的传递性“a＝b，b＝c，则a＝c”。
（2）证明左、右两边等于同一个式子。 这类方法的依据是“等于同量的两个量相等”，即“a＝c，b＝c，则a＝b”。它可由相等关系的传递性及对称性“a＝b，则b＝a”推出。
（3）证明另一个式子成立，从而推出原式成立， 这“另一个式子”可考虑选取与原式等价的式子。这类方法的依据是等价化归思想，即“a＝b等价于c＝d，所以a＝b成立的充要条件是c＝d成立”。这样就产生了两种思路，并对应着两种证明方法。假设要证明的式子是a＝b，那么：
一种方法是综合法，即先证c＝d成立，再证c＝d与a＝b等价，由此可知a＝b成立。
另一种方法是分析法，即可证a＝b，只要证（与它等价的）c＝d。因为c＝d成立，可知a＝b成立。
注意，等价化归可以使用综合法或分析法；反过来，使用分析法或综合法时，却不一定要求等价化归。学生初学恒等式证明时，运用等价化归的方法，可以使他们的思路更清楚一些。
71.怎样给学生归纳诱导公式？
答：诱导公式一共可以分成四个“板块”，其中两个“板块”在本章中要求学生掌握，另外两个“板块”中的公式有些散见在后面的正文和习题中。这四个“板块”可用表格表示如下：
无论使用哪一套诱导公式求任意角的三角函数值，都有一个“化归”的过程——把任意角的三角函数值“化归”为某锐角的三角函数值。尽管学生已经可以利用科学计算器来求任意角的三角函数值，但这种“化归”（这里是把未知问题“化归”为已知问题）的思想是十分重要的，它本身还是一种创新过程（这里是由已知到未知的创新），能使学生终生受益。所以学生还是应该掌握诱导公式对于求任意角的三角函数值所起的作用，目的是领会其中体现出来的一种重要的基本数学思想——化归思想和蕴含的创新思维。
顺便指出，有的教师认为，化归思想是数学的精髓。这一说法是很有道理的。中学数学中“化归”可以说是无处不在，无时不有，包括已知和未知间的化归、复杂向简单的化归、常量与变量间的化归、数与形间的化归、高维与低维间的化归、复数与实数间的化归、有限与无限间的化归、总体与个体间的化归、精确与近似间的化归、必然与偶数间的化归等。“添加辅助元素”（包括代数中的添加辅助元、项、函数、数列与几何中的添加辅助线、圆、平面、曲面等）是一种基本数学方法，它的目的就是实现从未知到已知的化归，所以“添加辅助元素”这一方法中含有化归思想。数学教师让学生逐步掌握化归思想及有关方法，就是使学生从不会到会，从而学会数学、会学数学、会用数学，这正是数学教师的职责所在、能力所在。
1.这一大节教学内容和教学要求，与过去的教科书相比，作了哪些调整？这样调整的目的和意义是什么？怎样加强数学思想方法的传授？
2.为什么把正弦线、余弦线、正切线从后面移到本大节的第3 小节“任意角的三角函数”之中？这样做有什么好处？怎样加以利用？