数学哲学、数学方法论与数学教育哲学——兼论数学哲学研究的方法论问题，本文主要内容关键词为：方法论论文,数学论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文首先论述了数学哲学的历史发展，其后所论及的数学方法论和数学教育哲学则可看成充分发挥数学哲学对于实际数学活动（包括数学研究和数学教学）指导意义的两个重要环节。全文从一个侧面反映了数学哲学在我国的实际发展，同时也论述了关于数学哲学研究的若干基本的方法论原则。
一、数学哲学的历史发展
“什么是数学哲学？”这无疑是数学哲学研究最为基本的一个问题。尽管数学哲学这一学科在世界上建立已久，而且，即使在中国，这也不再是一个陌生的名词；然而，就数学哲学研究的现实情况进行分析，可以看出，有不少不能令人满意的地方其根源仍应追溯到对于上述基本问题的模糊或错误认识。
为了讨论的方便，可以首先考虑以下的问题：
一些专业的数学工作者、甚至是著名的数学家，他们平时的一些哲学言论、或者是对于自己数学工作较为自觉的哲学反思，能否就说是数学哲学？
应当肯定，这些言论、特别是著名数学家对于自己工作自觉的哲学反思，无论对于数学哲学或是新的数学研究都具有十分重要的意义；然而，作为上述问题的明确回答，我们则又应当说，这种言论或分析不应被等同于数学哲学，或者说，它们不应被看成数学哲学的主要内容。事实上，任何一门科学的理论的建立，都有一个历史的过程，而作为历史的产物，也就具有一定的、相对稳定的客观内容，特别是，每门学科都具有自己特殊的研究问题，而又正是围绕这些基本问题，形成了各种基本的观点和理论。
从历史的角度看，数学对象的实在性问题（本性论问题）和数学的真理性问题可以被看成数学哲学研究的两个基本问题，而这又是由数学本身的特殊性所决定的：由于数学的抽象性，因此，数学对象就并非经验世界中的客观存在，然而，在数学中我们所从事的又显然是一种客观的研究，从而，我们就必须对数学对象的实在性问题作出明确的解答；另外，由于数学是演绎地展开的，因此，如果我们能对数学公理的真理性作出合理的说明，数学似乎就可以被看成先验论的“最坚固的堡垒”，但是，我们又应怎样去解释数学在现实世界中的成功应用呢——当然，我们在此不能仅限于断言这是一个“不可思议的谜”，而必须从根本上对数学的真理性、特别是数学的认识问题作出深入的分析。
正是围绕上述的基本问题，从古希腊的时代起，在数学哲学的范围内就形成了“柏拉图主义”和“唯名论”、以及“先验论”和“经验论”等对立的观点，这种对立甚至一直延伸到了今天。
与这种早期的研究不同，从十九世纪中期开始，数学哲学逐渐进入了一个以数学基础研究为中心的新的历史时期。数学基础研究是围绕这样一个问题展开的：如何为数学奠定一个可靠的基础，并借助于可靠的方法开展（重建）出全部或大部分的数学，从而彻底地解决数学的可靠性问题。
对于基础问题的重视在本质上也是由数学本身的特性所决定的。事实上，在数学中历来存在有两种不同方向上的研究：一是由已有的数学去发展、构造出新的、更为复杂的结论和理论；另一则是研究已有的数学可以以何种更为一般的概念和原理作为基础而得到建立。显然，公理化方法在数学中的普遍采用即是与后一方向的研究直接相联系的。另外，以下的一些实际发展则又构成了数学基础研究的特殊的“历史背景”：分析（微积分理论）的严格化，非欧几何的建立，悖论的发现。
由于各自观点的不同，在基础研究中形成了逻辑主义、直觉主义和形式主义等不同的学派。这些学派的一个共同特点是“哲学分析与数学工作”的密切结合：依据各自的哲学主张，他们分别提出了自己的基础研究规划，并希望通过这些规划的实施（这主要是一种数学工作）来证明自己的哲学观点的正确性。这样，就数学哲学的研究而言，在1880至1940之间就出现了一个“百花齐放”、欣欣向荣的“黄金时代”。
然而，数学哲学以基础研究为中心的时代现在也已过去了。这不仅是因为逻辑主义等学派的基础研究规划都未能取得成功，而且也是因为这种“失败”及随之而出现的发展的停顿引起了关于应当如何去从事数学哲学研究的新的思考：“数学哲学往何处去？”
如果说从本世纪六十年代起数学哲学的发展开始进入一个新的时期，那么，新的研究的主要特征就在于基本立场的变化，即是由主要着眼于数学知识的逻辑结构过渡到了对于数学的动态研究，也即不再把数学简单地等同数学知识的汇集、而认为数学主要地应当被看成人类的一种创造性活动——显然，我们在此可以清楚地看到来自外部、即一般科学哲学研究的影响和推动。
由于基本立场发生了重大的变化，这就为数学哲学的研究开拓了若干新的研究方向。例如，所谓的“数学活动论”和“数学文化论”就分别是从社会—心理学的角度去进行研究的结果；另外，立场的转移也使传统的研究问题获得了新的解答。例如，在此特别重要的就是所谓的“拟经验的数学观”。
综上可见，数学哲学具有自己特殊的研究问题，而又正是通过研究问题的解决和转移，数学哲学获得了自己的历史发展。显然，从这样的角度去进行分析，我们也就可以清楚地看出“继承和学习”的重要性：由于数学哲学在我国是一个较新的研究领域，因此，作为起步，我们就应高度重视对于国外已有工作的吸收和消化——这样，我们不仅可以学到其中的有益成分，而且也能较快地进入研究的前沿，从而为开展独立的研究打下良好的基础。
正是基于这样的考虑，笔者自1978年起在“引进”国外的数学哲学上作了大量的工作。特别是，与我的哲学导师夏基松教授合作完成的《西方数学哲学》（人民出版社，1986年）是国内第一本对数学基础研究进行系统介绍和分析的专著；以1987-88年对英国为期一年的学术访问为基础完成的《数学哲学新论》（江苏教育出版社，1990年）则更对六十年代以后的新发展进行了系统介绍。
上述的“引进”工作，作为研究的开端和一种有效的促进措施，无疑是有其必要性的；但是，就数学哲学的深入发展而言，笔者又清醒地认识到：我们的工作不能永远停留在“述评”的水平上，而应努力开展独立的研究，并以建立我国相对独立的数学哲学理论作为主要的工作目标。值得指出的是，这事实上又关系到了“什么是数学哲学”这样一个基本问题。这即是指，数学哲学，从根本上说，并非是对于国外数学哲学的研究，而是关于实际的数学活动的哲学分析。
由此，笔者认为，在数学哲学的研究中，我们就应坚持以下的方法论原则：
“充分吸取国外的研究成果，但同时又应坚持独立的研究。”
具体地说，以先前的工作为基础，笔者逐渐参与了国际上对于若干“热门话题”的讨论和研究，例如，所撰写的论文“从数学发现的逻辑到科学研究纲领方法论”（英文）和“非欧几何和数学革命”（英文）已分别在《英国科学哲学杂志》刊出和被收入了牛津大学出版社出版的专著《数学中的革命》。另外，更为重要的是，通过理论与实践的结合，以及与数学工作者的密切合作（参见第二节），笔者并在建立我国相对独立的数学哲学理论方面进行了初步的工作。特别是，与著名数学家徐利治教授合作创建的“模式论的数学哲学观”①，即是以唯物辩证法指导、通过数学与哲学的密切合作而发展起来的系统理论。笔者高兴地看到，这些工作已得到了国内学术界的普遍好评，并已引起国外同行的注意。②
二、数学方法论：联系数学哲学和实际数学活动的一座桥梁
多年来，在积极从事数学哲学研究的同时，自己又一直在思考这样一个问题：在数学哲学与实际的数学活动（包括数学研究和数学教学）之间是否存在有任何重要的联系？或者说，数学哲学对于实际的数学活动是否具有实质性的促进作用？我对上述问题持肯定态度，而且，在笔者看来，数学方法论正是联系数学哲学和实际数学活动的一座重要桥梁。
笼统地说，数学方法论即是关于数学发展规律、数学的思想方法以及数学中发现、发明和创造等法则的研究。就数学方法论的现代研究而言，我们必须首先肯定美藉匈牙利数学家波利亚(G.Polya)的重要贡献。
为了清楚地说明问题，我们先来对关于数学发现方法的研究历史作一简单的回顾。
具体地说，在人类历史发展中曾有这样一个时期，其间人们曾希望能找到这样一种方法，用之即可有效地从事发明创造，或成功地解决一切问题。如笛卡尔就曾提出过所谓的“万能方法”：第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。从现在的观点看，上述对于“万能方法”的寻求显然是过于简单了，因为，即如并不存在可以把万物点化为黄金的“哲人之石”，能有效地从事数学发现或解决一切问题的“万能方法”也是不存在的。然而，就基本的研究倾向而言，人们却因此由一个极端走向了另一个极端，即认为根本不存在任何关于发现的方法。在历史上后一种观念是与逻辑实证主义的“科学观”直接相联系的：逻辑实证主义明确地提出了关于“证明（检验）的方法”与“发现的方法”的区分，并认为方法论的研究应当局限于证明（检验）的范围，而发现的问题则完全属于心理学的范围，对此不需要、也不可能作出任何理性的或逻辑的分析，从而也就根本不存在任何真正意义上的“发现的方法”。由于逻辑实证主义在西方学术界中曾长期占据主导地位，因此，关于数学发现（乃至一般科学发现）方法的研究就一度陷入了停顿状态。
正是在上述的“严峻”形势下，波利亚自觉地承担起了“复兴”教学启发法的重任。波利亚在这一问题上的基本立场是：所谓的“万能方法”是不存在的；但是，“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指南，等等。这些都还是有用的。”③特别是，我们可以、而且应当依据已有的成功实践去总结出一般的方法或模式，这些方法和模式，在以后的类似情况下，就可起到启发与指导的作用。这样，波利亚事实上就是在上述的两极对立之间开拓了第三种可能性，即我们应当积极从事对于新的研究工作具有启发与指导意义的一般方法或模式——波利亚称之为“启发性”——的研究。
通过创造性的劳动，波利亚成功地发展起了自己的启发法理论，对此人们普遍给予了高度的评价；然而，从历史的角度看，波利亚的贡献则又主要在于：正是波利亚的启发法研究为数学方法论的现代研究奠定了必要的理论基础，即在很大程度上决定了这种研究的性质和方向——这主要是一种启发性的研究。
正是以波利亚的启发法研究为实际出发点，自1980年起，中国学者在数学方法论的领域内也进行了积极的研究工作（事实上，“数学方法论”这一名称即是由中国学者首先采用的），并取得了不少有意义的成果。这主要是：
(1)明确地提出了“化归原则”这一在数学中有着广泛应用的思维模式，并对其在现代数学中的主要应用形式——“关系映射反演方法”——进行了深入的分析和论述。
(2)对数学抽象从内容、量度和方法这样几个方面进行了深入分析，提出了关于数学抽象的若干条方法论原则，并发展起了“抽象度分析法”这一对数学抽象进行定量分析的具体方法。
(3)对美学因素在数学研究中的作用进行了分析，并提出了相应的方法论原则：“审美直觉选择性原则”。④
除去上述的具体研究成果以外，中国的数学方法论研究更表现出了以下的重要特点，即数学方法论与数学哲学、以及数学工作者与哲学工作者的密切结合。例如，上述的几项研究即是由张鸿庆、朱梧槚等数学工作者和笔著等哲学工作者在我国著名数学家徐利治的直接指导和参与下，通过长期的密切合作得到完成的。一般地说，已往的实践也已清楚地表明了这样一个事实：只有从哲学的角度去进行分析，数学方法论的研究才能达到必要的理论高度；反之，又只有通过数学方法论的研究，数学哲学才能对实际的数学活动产生积极的指导作用，而不至于蜕化为空洞的“理论”。
依据上述的实践，笔者以为，我们并可对如何发展我国的数学哲学，乃至一般的科学哲学的问题作出如下的进一步分析：
一般地说，如果从历史和全球的角度进行分析的话，科学哲学的研究应当说是具有与实际的科学活动密切相关的优良传统的。例如，弗朗西斯·培根和波普就可看成这种传统的优秀代表；而这方面的最有力证据则是来自从事实际研究的科学家的高度评价，即如英国天文学家邦迪和澳大利亚诺贝尔奖金获得者、生理学家艾克尔斯等所说：“科学就是科学的方法，科学的方法就是波普所说的”；科学家应该“阅读和思考波普关于科学哲学的著作，并作为他们科学生涯的基础。”类似地，在数学哲学的领域内我们也可看到这样的例子。例如，尽管逻辑主义等学派的基础研究规划都未能获得成功，但这些并非不结果的花朵，而是产生了十分重要的数学成果，即如直接导致了形式化的研究方法和元数学的研究思想等。
然而，就科学哲学的现代发展而言，却在一定程度上表现出了与实际的科学活动相脱离的不良倾向。当然，科学哲学应当具有自己特殊的研究问题；但是，如果科学哲学发展成了一门与实际的科学活动毫不相干的“专门学问”——对此只有少数“圈内人”津津乐道，但却从来不去考虑如何发挥其对于实际科学活动的指导作用（例如，从事“科学方法论”研究的哲学工作者是否应当到实际的科学工作者或理科学生中去介绍一下自己的研究成果），从而对于实际的科学工作者也就毫无吸引力——那么，在笔者看来，这种“专门学问”的存在价值就是大可怀疑的。
正是出于以上的考虑，笔者以为，从数学哲学的研究中，我们也就应当明确提出以下的方法论原则：
“坚持理论联系实际，大力加强与数学工作者的密切合作。”
笔者在此并为我国的数学方法论研究已对实际的数学活动，特别是数学教学产生了广泛影响感到由衷的高兴。例如，在现今的中学数学课堂上，我们已经可以经常听到数学教师在谈及“化归法”和“数学美”；有不少地方（例如，无锡）更在进行以数学方法论指导数学教学改革的系统实验——这种影响并在进一步扩大，以致在对近年来我国数学教育的发展进行回顾时，“数学方法论”与“数学教育学的理论研究”和“奥林匹克数学竞赛”一起被列为三个最为重要的渊源。
最后，应当强调的是，通过数学方法论的研究，特别是数学哲学与数学研究，以及哲学工作者与数学工作者的密切合作，也对数学哲学本身的理论研究产生了积极的影响。事实上，回顾这些年的工作，笔者清醒地意识到，无论就数学哲学，或是数学方法论的理论研究而言，一个真正有价值的系统理论的建立都并非一件轻而易举的事，更不可能依靠“闭门杜撰”而得以完成（然而，十分遗憾的是，这种动辄便推出一个“新系统”——而这往往又只是的“闭门造车”甚至是东拼西凑的结果——的作法，还是经常可以看到的），而必须经历由理论到实践的多次反复才能获得成功，而且，这事实上也就是数学哲学和数学方法论的理论相互促进、共同“成长”的过程。
三、由数学哲学到数学教育哲学
如何进一步发挥数学哲学对于实际数学活动的指导意义？正是带着这样一个问题，笔者于91年10月开始了对美国为期九个月的学术访问，并由以下的事实得到了很大的启示：美国数学教育现正面临着一个新的改革高潮，这一新的改革运动的核心则是观念（包括数学观和数学教育观）的转变；而也就是从这样的角度去进行分析，可以看出，正是数学哲学的现代发展为美国新的数学教育改革运动提供了必要的思想基础——从而，通过数学教育的“中介”作用，数学哲学又必将对数学的未来发展产生重要和深远的影响⑤。
事实上，由六十年代遍及欧美的“新数运动” 我们即可清楚地看到数学哲学对于数学教育的重大影响：正是数学基础研究，特别是形式主义的数学观为这一运动提供了必要的思想基础，因为，“新数运动”的主要特征就在于唯一注重于数学知识的逻辑结构，而完全忽视了实际的认识过程。也正因为此，在对“新数运动”进行评论时，法国数学家托姆(R Thom)就明确地提出了：“‘现代’数学：教育和哲学的错误？”另外，就美国目前所从事的新的数学教育改革运动而言，我们则又应当特别提及前述的数学哲学现代发展的巨大影响。这就如同美国著名数学教育家伦伯格(T.Romberg)所指出的：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其它知识一样都是人类创造性的产物。……这种动态的数学观具有重要的教育涵义：数学教育的目标应当包括培养学习者创造自己的数学知识的能力；……依照这种观念，数学的学习环境对于学习者来说应当是有意义的和相关的，包括他们的语言、文化、日常生活及由学校获得的经验。”
由此可见，我们就应明确肯定在数学哲学与数学教育之间存在有重要的联系。一般地说，笔者以为，数学哲学对于数学教育的重要性就在于：每个数学教师总是（自觉或不自觉地）在一定数学哲学的思想指导下从事自己的教学活动的；另外，更为重要的是，任何一个数学教育改革运动都反映了一定的数学观念，任何一个深入的数学教育理论研究也必然依赖于哲学上的深入思考与分析。
当然，在明确肯定数学哲学对于数学教育重要意义的同时，我们又应清楚地看到，数学哲学并不能被等同于数学教育的理论（哲学）基础，勿宁说，为了建立这样的基础，我们还需要从哲学的角度对数学教育的各个基本问题作出更为系统和深入的分析。这样，一门新的学科（学科分支）——“数学教育哲学”——的诞生就是十分自然的了。
具体地说，笔者认为，数学教育哲学主要包括以下的内容：
(1)数学观。这即是关于“什么是数学？”的具体解答。特殊地，我们在此并应特别注意数学观的现代演变，而这不仅是指前面所已提及的由静态的数学观向动态的数学观的转变，而且是指对于各种片面观点（即如对于数学形式特性的片面强调）的辩证综合，以及由简单反映论向模式论的数学观的转变。
(2)数学的价值和数学教育目标。这也就是关于“为什么要进行数学教育？”的具体分析。应当强调的是，作为数学教育的哲学分析，我们在此并不是要为数学教育制订出具体的教育目标，而应从更高的层次为这种具体的研究提供某些基本的准则，从而，这事实上也就涉及到了数学教育的基本矛盾。
(3)关于数学学习和教学活动的认识论分析。这显然直接涉及到了“应当如何去进行数学教学”的问题。一般地说，关于数学学习过程中思维活动的分析属于数学学习心理学的研究范围；然而，为了使数学学习心理学的研究上升到必要的理论高度，在从事数学学习过程中思维活动的具体分析的同时，我们又应特别注意从认识论的高度去揭示数学学习这种特殊的认识活动的本质，而这正是数学教育哲学的研究内容。也正是在这样的意义上，我们即应特别重视所谓的关于数学学习的建构主义观点。这就是说，我们不应把数学学习看成是学生对于教师所传授的知识的被动的接受，而应看到这是一个以其已有的知识和经验为基础的、主动的建构过程。
综上可见，尽管数学哲学与数学教育哲学在内容上有一定的交叉，但后者又具有自己特殊的研究内容和研究重点；也正因为此，与数学哲学相比，数学教育哲学对于数学教育就有着更为直接的指导意义。事实上，对照以下的论述：“构成数学教育学所依据的理论基础有：唯物辩证法、数学、教育学、心理学、逻辑学、计算机科学等等。”⑥笔者以为，对于数学教育学理论基础的分析不应停留于简单地列举出各个相关的学科，而应努力建立数学教育学自己相对独立的理论基础，而这就是数学教育哲学。显然，在上述的意义上，数学教育哲学的建立事实上就可看成进一步发挥数学哲学对于实际数学活动指导意义的重要一环，并从又一角度体现了“理论联系实际”这一基本的方法论原则。
作为八十年代后期开始形成的一个新的研究课题，数学教育哲学在国外得到了普遍的关注和重视⑦。然而，尽管在这一方面已经作出了一些有意义的工作，但就整体而言，这方面的研究又应当说刚刚起步，特别是尚未建立系统的理论。从而，这事实上也就为我们赶超世界先进水平提供了良好的机遇：这不仅是指我们应当通过（相对）独立的研究建立起具有中国特色的数学教育哲学理论体系，而且是指我们中国学者并应通过与各国学者的充分交流与合作为促进教学教育哲学的深入研究作出自己应有的贡献。笔者目前正在从事这一方面的工作，这一选题已被纳入“国家教委‘八五’人文、社会科学研究规划”；国际数学教育哲学团体(P OME)的主席欧内斯特(P.Ernest)并曾在该团体的刊物上专门对笔者的有关思想进行了介绍和评论，笔者还应邀成为这一团体核心组织(organizing group)的成员。笔者很希望能有更多的同志投入到数学教育哲学的研究之中，笔者更深信：这一工作不仅将对我国的数学教育事业起到重要的促进作用，而且也将对于我国数学哲学研究的深入发展产生积极的影响。
注释：
①包括“模式论的数学本体论”、“数学真理的层次理论”和“模式论的数学认识论”。对此可参见《数学模式论哲学基础》，载《哲学研究》，1990年第2期；《数学模式论》，广西教育出版社，1993年。
②笔者曾应邀在国际性数学哲学杂志《Philosophia Mathematica》中对此作了专门介绍，Vol.6[1991],No.2,pp174-199.
③《数学的发现》，第二卷，内蒙古人民出版社，1980年，第136页。
④对于上述工作可参见徐利治、郑毓信：《关系映射反演方法》、《数学抽象的方法与抽象度分析法》，江苏教育出版社，1989、1991年；郑毓信：《数学方法论》，广西教育出版社，1991年。
⑤可参见另文《数学哲学、数学教育与数学教育哲学》，载《哲学与文化》[台湾]，1992年，第十期。
⑥曹才翰、蔡金法：《数学教育学概论》，江苏教育出版社，1989年，第9页。
⑦对此可见另文：《由数学哲学到数学教育哲学》，载《科学、技术与辩证法》，1994年，第五期。