数学思想、数学活动与小学数学教学，本文主要内容关键词为：数学论文,思想论文,小学数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
作为数学课程改革的指导性文件，数学课程标准在经过了几年的修改以后现正处于最后的审查之中。据相关报道：新的“修订稿”与原来的“实验稿”相比在“课程目标”上有较大改动：不仅重新引入了过去所一贯强调的“双基”（“数学基础知识”与“数学基本技能”），而且又增加了两个：一是“基本（数学）思想”，二是“基本（数学）活动经验”。由于强调“双基”正是我国数学教学传统的一项重要内容，所以，重新提出“双基”清楚地表明了这样一种立场：在强调改革的同时，我们也应十分重视对于优良传统的继承和发展。另外，对于后两项新增加的内容我们应予以特别的关注。以下联系小学数学教学对此作出具体分析。
一、走近数学思维
对于数学思想的突出强调应当说是数学教育特别是数学课程目标现代演变的一个主要特征。就国内而言，即有新一轮数学课程改革对于“三维目标”的突出强调，即由唯一重视数学知识与技能转而采取了更为广泛的视角，包括应帮助学生“获得基本的数学思想方法……；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题……”[1]。这一转变也是与国际上的相关发展直接相呼应的。例如，由“问题解决”向“数学地思维”的发展就可清楚地看出：如果说“问题解决”正是国际数学教育界在20世纪80年代的一个主要口号，那么，正是通过相关的实践与总结，人们逐步认识到了单纯强调“问题解决”还是不够的，毋宁说，我们应当更加重视帮助学生学会数学地思维。例如，作为“问题解决”在当代的主要代表人物之一，美国的舍费尔德教授就曾明确指出：“现在让我回到‘问题解决’这一论题。尽管我在1985年出版的书用了《数学解题》这样一个名称，我现在认识到这一名称的选用是过于狭窄了。我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是别人所提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维。不用说，问题解决构成了数学思维的一个重要部分，但这并非是全部内容。在我看来，数学地思维意味着：(a)用数学家的眼光去看待世界，即具有数学化的倾向：构造模型，符号化，抽象，等等。(b)具有成功地实行数学化的能力。”[2]
由此可见，将“基本（数学）思想”明确纳入“数学课程目标”之中具有一定的合理性；进而，这又正是相关发展的核心所在，即应当帮助学生（初步地）学会用数学（家）的眼光去看待世界、分析问题。但是，为了将上述的思想落到实处，必须首先解决这样两个问题：第一，如何对“基本（数学）思想”作出清楚的界定，特别是，如何能够针对不同的教学对象在这方面提出恰当的要求？第二，如何能够帮助学生很好地掌握所说的“基本（数学）思想”，特别是，应当如何去处理数学基础知识和基本技能的学习与基本数学思想的学习这两者之间的关系？
就我国中学数学教学的实践看，应当说在上述两个方面都已积累了一定的经验，这主要是指“数学方法论”（笼统地说，“数学方法论”就是关于数学思维的研究）的理论研究以及“数学方法论指导下的数学教学”。然而，尽管近年来也有不少人力图将“数学方法论”推广应用于小学数学，但这在整体上主要只是一种移植的工作，即未能针对小学数学的具体内容与小学生的实际认知水平作出深入的研究。
事实上，即使就一些最为基本的数学思维形式而言，我们也应认真地去研究其对于各个学段的小学生的可接受性，或者说，应当依据不同学段教学对象的认知水平有针对性地去进行教学。
例如，尽管类比联想（例如，依据“圆在等周长的平面图形中具有最大的面积”这样一个事实，我们就可联想到：在所有具有相同表面积的空间形体中，球很可能具有最大的体积）常常被看成最为简单的数学思维形式之一，但是，由于联想的产生必须以一定的知识（就上面的例子而言，就是指“圆在等周长的平面图形中具有最大的面积”）作为直接的基础，其中的关键则又在于如何能够做到“求同存异”。就类比的应用而言，我们显然不需要相关对象在所有各个方面都彼此相似，而只要求两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”；另外，所谓的“存异”则是指联想的产生并非简单的重复或模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜想时，我们必须注意两者的差异并作出适当的调整。（例如，为了从圆的相关知识过渡到球，我们就必须将原先结论中的“周长”和“面积”分别调整为“表面积”与“体积”。）这相对于单纯的比较和分类（包括归类）而言要更加复杂得多，对于小学生特别是低年级小学生而言有较大难度。
但是，所说的这一切岂不正好反映了这样一种忧虑：“由于小学数学的内容过于简单，所以不可能很好地体现数学思维的特点。”与这种认识相对立，笔者认为，尽管数学思维有着十分丰富的内涵，某些思维形式或方法的掌握也确实依赖于一定的理解能力与数学知识背景，但我们不应将数学思维等同于某些具体的数学思维形式，毋宁说，这里的关键仍在于如何能够针对小学数学的实际情况很好地去体现数学思维在总体上的主要特征。这显然更为清楚地表明了：小学数学教学完全可以而且也应很好地去体现数学思维；这方面的一个首要工作是，应对分类、类比联想等基本思维形式在数学中的用法作出具体分析，从而针对不同学段学生的认知发展水平在这方面提出恰当的要求。
二、数学思维与数学教学
就如何帮助学生学会数学地思维而言，我们应特别强调这样一点：尽管在某些时候确有必要进行数学思维的专门教学，如相对集中地通过典型例子进行“解题策略”的专门教学，但是，将数学思维的教学与具体数学知识内容的教学有机地结合起来，即以思维方法的分析带动具体知识内容的教学，才是更为重要的。因为，第一，只有将数学思维的分析渗透于具体数学知识内容的教学之中，才能使学生真正看到数学思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学到手的和能够加以推广应用的；也只有这样，“数学思维”才不会变成一门纸上谈兵、借题发挥的空洞“学问”。第二，通过深入地揭示隐藏在具体知识内容背后的思维方法，也可使数学教学真正“讲活”“讲懂”“讲深”，这就是指，通过教学内容的“方法论重建”，我们可以向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；也可帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；不仅能使学生掌握具体的数学知识，而且能帮助学生深入领会并逐步掌握内在的思维方法。
例如，由于自然数的认识（包括1、2、3等数的认识，以及奇数与偶数的分类等）与三角形的分类（直角三角形、锐角三角形等）等都是数学分类的实例，因此，从这一角度去分析，教材中就完全没有必要专门加入“分类”这样一个内容，而应将这样一种思维活动直接渗透于相关知识内容的教学之中。又由于我们在此已不再是为了分类而进行分类，后一做法可以帮助学生更好地认识分类的作用：这不仅为相应的数学抽象提供了必要的基础，而且也为如何逐步深入地开展认识活动指明了可能的途径，因为，正如“三角形的分类”这一实例所清楚地表明的，在很多情况下数学分类正是按照特殊与一般、简单与复杂的关系作出的，而这也就是认识活动的一个基本规律，即由特殊到一般，由简单到复杂。
由于各种“先天”的原因，大多数小学数学教师都不能说具有很高的数学素养，因而，这也就是广大教师在当前所面临的一个紧迫任务，即为了帮助学生很好地学会“数学地思维”，教师应首先提高自身在这方面的修养，才能在教学活动中很好地去体现数学的思维方法。
尽管我们应当积极鼓励一线教师认真学习特别是阅读一些相关的理论著作（例如，数学方法论的专著），但不应“求全”，而应“求用”，这是数学思维学习的关键所在。我们不应将如何能够无一遗漏地列举出各种基本的数学思想或数学思维方法看成这方面的主要目标，也不能期望通过阅读某些专著或聆听某个专家的报告就能很好地把握数学思维。与单纯的理论学习相比，我们应当更加重视自己的切身体会与感悟，并能结合自己的教学工作加以应用，即能够以数学思维方法的分析带动、促进具体数学知识内容的教学。
因此，就数学思维向具体知识内容渗透的教学而言，我们应始终牢记这样一点，即这种渗透应当真正起到“化难为易”“化神奇为平凡”的作用，而不应成为一种“故弄玄虚”的纯粹时髦，甚至加重学生的负担。另外，就相关的“理论研究”而言，我们应明确反对各种“闭门造车”的现象，因为，这事实上也可被看成先前关于数学方法论的研究所给予我们的一个重要启示或教训：如果说对于数学思维的强调曾有效地促进了数学方法论的研究，但同时也出现了诸多粗制滥造的现象，一些学者更是热衷于构造所谓的“理论体系”，却完全没有顾及相关的工作是否具有任何真正的意义（例如由“数学方法三十六”等这样一些名称就可清楚地看出，其中甚至还包含了“声东击西法”“避重就轻法”等这样一些让人完全摸不着头脑的所谓“方法”）。显然，如果在今天因为对于“基本（数学）思想”的强调而出现沉渣泛起的现象，如在很短时间内涌现众多的“解读”“导引”“研究”等，这种“鱼龙混杂”的局面就必然会对数学课程改革的顺利发展以及日常的数学教学活动产生严重的消极影响。
最后，从理论的角度看，笔者又愿提出这样一个问题：尽管“帮助学生学会数学地思维”这一提法有其一定的合理性，但是如果我们跳出数学的圈子并从一个更为广泛的角度即联系学生的未来工作与需要去分析，我们显然又应考虑是否真的应当要求每个学生都学会数学地思维。
当然，笔者在此提出这样一个问题并不是要否认学习数学思想或数学思维方式的重要性，而主要是为了突出这样一个事实：数学思维只是各种可能的思维方法中的一种，其不仅具有一定的优越性，同时也具有一定的局限性；也正因为此，就学生的未来发展而言，数学思维就不应被看成所有学生都必须掌握的一种基本素养，毋宁说，与“数学地思维”这一提法相比，“通过数学学习帮助学生学会思维”是更为恰当的。
应当指明的是，从教学的角度看，我们不仅应当帮助学生初步地学会数学地思维，还应更加重视如何能够通过这种学习帮助学生提高思维的品质。另外，我们在教学中也应注意帮助学生将数学思维与其他的思维方法进行比较，从而不断提高自身在这方面的自觉性，直至能够根据情境的需要与自己的个性特征在这方面作出自觉的选择。
例如，深刻性和创新性、灵活性和整体性、精确性和严密性等都可被看成数学思维的重要特征，这事实上就从一个角度为数学教学如何能够帮助学生学会思维指明了努力的方向：与各个具体的数学思维相比，我们应当更加重视学生思维品质的提高；当然，后者又并非是指我们应当完全脱离数学思维去追求思维的深刻性、灵活性等，恰恰相反，正如数学知识与数学思维之间所存在的辩证关系，我们也应明确肯定在具体数学思维与一般思维品质之间所存在的相互依赖、互相促进的关系，特别是，只有通过具体的数学思维我们才能真正理解并逐步养成相关的思维品质，反之，也只有从一般思维特别是思维品质的角度进行分析，我们才能更为深刻地认识数学思维的普遍意义，从而真正做到由“数学地思维”过渡到“通过数学学会思维”。
值得指出的是，我们可从“两种文化”的区分与整合这一角度更为深刻地认识由“数学地思维”过渡到“通过数学学会思维”的必要性，因为，只有通过“科学文化”与“人文文化”的具体比较我们才能更为深刻地认识两者的具体内涵及其主要特征，包括各自的优点与局限性；但是，对于它们在一定程度上的了解显然又应被看成很好地实现上述目标的一个必然前提，特别是，只有以此为基础我们才能真正做到“两种文化”的必要互补乃至一定程度上的整合——显然，后者应当被看成“通过数学学习学会思维”这一主张的真谛所在。
三、关于“基本活动经验”
相对于“数学思想”而言，对于“数学活动经验”的突出强调应当说更为明显地体现了这样一种观点：我们不应将数学等同于各种具体的数学知识，而应主要地看成人类的一种创造性活动，这也就是所谓的“动态的数学观”。例如，美国著名数学教育家伦伯格就曾明确指出：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造性的产物。……这种动态的数学观具有重要的教育涵义。”[3]
显然，从这样的角度去分析，数学教育中对于数学解题活动的高度重视就是十分自然的了，后者构成了上面所提及的“问题解决”这一数学教育改革运动的直接背景。另外，就我国新一轮的数学课程改革而言，我们则可提及关于“知识技能目标”与“过程性目标”的区分，特别是，数学教学应使学生“获得广泛的数学活动经验”，包括“经历（感受）”“体验（体会）”和“探索”等。
由此可见，将“基本（数学）活动经验”明确纳入“数学课程目标”之中有其一定的合理性，这集中地体现了对于“数学活动过程”的高度关注。
当然，如以上对于“基本（数学）思想”的分析一样，从教学的角度看，我们在此也应深入地去思考这样两个问题：第一，如何对“基本（数学）活动经验”作出清楚的界定，包括针对各个学段学生的认知水平在这方面提出适当的要求？第二，如何进行“基本（数学）活动经验”的教学，特别是，应如何去处理这一内容的教学与具体数学知识、技能以及基本数学思想教学之间的关系？更为一般地说，应当如何处理“过程”与“结果”之间的关系？
具体地说，笔者认为，相对于“基本（数学）思想”而言，要对“基本（数学）活动经验”作出清楚的界定要困难得多。更为重要的是，由于在各种数学活动与具体数学知识以及数学思维的学习之间明显地存在相互渗透、互相依赖的辩证关系，所以，我们在此也就有必要更为直接地提出这样一个问题：在“数学课程目标”中是否真有必要列入“基本（数学）活动经验”这样一项内容？
为了清楚地说明问题，还是先来看一些实例。例如，“分类”既可被看成一种基本的数学思想或数学思维方法，也可被看成一种基本的数学活动，特别是，只有通过相关的实践我们才能真正掌握这种思维方法，而这事实上也就是获得相关经验的一个过程。由此可见，这里的关键不在于如何能对这两者作出明确的区分，而是应当很好地去把握“过程”与“结果”之间的辩证关系。
另外，就当前的小学数学教学而言，除去“分类”以外，“找规律”和“估算”这两种活动显然也得到了特别的重视，特别是，现行的各种教材都包含了这方面的专门内容，而这主要是为了帮助学生获得相应的“活动经验”。
但是，我们在此也应深入地思考这样一个问题：所说的这两种数学活动是否应当被看成与具体知识内容的学习完全无关的，从而有必要将其作为单独的一项内容加入到教材之中，还是可以将其渗透到具体知识内容的教学之中，从而不仅可以帮助学生逐步获得相关的经验，而且也可更好地认识这些活动的作用和意义？
相信任何对于小学数学教学内容较为熟悉的人都一定会得出这样的结论：如“分类”一样，“找规律”和“估算”作为两项基本的数学活动在数学中也有着十分广泛的作用。例如，任何一个算法的得出显然都可被看成“找规律”的直接结果；同样，我们也未必一定要等到专门讲“估算”时才让学生去进行估算，而应将这一活动渗透于平时的数学学习之中，如利用估算对已获得的计算结果作出检验等等。
更为一般地说，这事实上也是国际上的相关实践给予我们的一个重要启示，即在教学中我们不应片面地强调“过程”或“结果”中的任一方面，而应“过程与结果并重”，并应很好地把握两者之间的辩证关系。例如，“问题解决”这一数学教育改革运动的一个基本思想是，应当以“问题解决”为中心组织全部的数学教学，也就是说，我们不仅应当将“努力提高学生解决问题的能力”看成数学教育的主要目标，而且应将“问题解决”看成数学教学的一个基本形式：全部的学校数学课程都应采取“问题解决”这样一个形式。然而，正是通过相关的实践与总结，人们逐步形成了这样的共识：我们应对“数学教育目标”与“数学教学形式”作出明确的区分，这也就是指，强调提高学生解决问题的能力并不意味着数学课程必须唯一地采取“问题解决”这种形式。另外，如前面所已提及的，这也正是由“问题解决”向“数学地思维”转变的一个直接结论：与唯一强调“问题解决”这种教学形式相比，努力提倡用数学思维的分析来指导具体数学知识内容的教学应当说是更为恰当的，这也就是指，我们应将数学思维的学习与具体知识内容的学习更好地结合起来，并将后者渗透于其中——显然，后一结论对于“基本（数学）活动经验”而言也是同样成立的。
当然，上面的分析不应被理解成对于“帮助学生获得一定的基本活动经验”这种主张的反对，而是集中地表明了这样一种立场，在明确提出上述目标的同时，我们也应注意防止各种简单化的认识，特别是将各个目标绝对地分割开来。与此相反，我们应当清楚地看到数学知识、数学思维与数学活动经验之间所存在的重要联系，从而也就能够在相关的教学活动中体现更大的自觉性，包括更为深刻地去认识究竟什么应是数学教学所应努力实现的“课程目标”。