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小学数学课程改革已进入了第六个年头了，不少省市和地区的教师都在对这新的一轮实验进行总结和研讨。这两年来，随着课改的深入，“解决问题”的教学已成为广大教师最为关心的课题之一。本人也曾撰文“从小学应用题教学的历史谈起——兼谈当前课改中的‘应用题’教学”，“也谈应用题与解决问题”，近日看到《小学数学教育》2008年第7、8期刊载的“浙江省2007年小学数学优质课观摩评比活动综述”等文章及12节有关“解决问题”的实录和评析，很受启发。这12节课是我国小学数学在“解决问题”教学改革中的一个缩影，说明了广大教师在这个课题的研究中倾注了大量心血，在实践中正努力地解决一些新的问题，取得了一定成效，同时也存在着一些困惑。为此，我再写拙文，拟就“解决问题”中的若干问题谈谈自己的看法，供大家讨论。
一、两个转化，一个也不能少
小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两个认识上的转化。
第一个转化是指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题。这种从现实生活中抽象出数学问题能力的培养在当今信息社会中是十分重要的。第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解或求近似解，进而在实践中检验；必要时，还能回顾反思自己解决问题的全过程。以上两个转化是相辅相成、缺一不可的。
在以往的数学教学中，往往很重视第二个转化，引导学生去分析条件与问题之间的关系，根据数量关系求解并检验，这是解决问题必须具备的基本能力，应充分肯定。但是，最大的缺失就是忽视第一个转化，呈现的文字应用题条件不多也不少，并与问题完全匹配，不需要学生自己去发现问题和提出问题，换句话说，第一个转化由教材或教师“代劳”了，这是传统应用题教学的一大弊病。
而目前课改后的新教材呢？为学生提供了不少新鲜而贴近学生的生活情境，采用了画图、对话、表格、文字等多种形式，让学生感到这些问题都来自自己熟悉的生活原型，初步学习发现问题和提出问题，这是课改中的一大进步。但是在完成第二个转化时，又往往一带而过，显得比较单薄，甚至认为只要了解故事情节，解题就一定不成问题。殊不知了解和熟悉问题情境是顺利解决问题的必要条件而不是充分条件，要引导学生剖析其中的数量关系，磨刀不误砍柴工，这样才能举一反三，以后遇到变式问题，才不会束手无策。
总之，只有同时重视学生在解决问题中的思维跨度——完成两个转化，才能有效地提高学生解决问题的能力。
二、解决“常规”及“非常规”问题，功能互补
新教材中的解决问题实质上分两大类。一类是如新增设的“实践与综合应用”等，这是以现实问题为载体，引导学生综合所学的知识和生活经验，通过独立思考或与他人合作，经历发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的全过程，并能积累数学活动经验，培养学生的应用意识和创新意识。这是一类具有挑战性、多元性、综合性和开放性的“非常规”问题，在教改实践中已显示其明显的作用。另一类是融于“数与计算”等领域并作为解决相关领域的实际问题而呈现的“常规”的应用问题，这类问题的功能同样重要，它有利于巩固知识、培养数学思维以及提高解决简单的实际问题的能力。事实上，两类问题的功能是相辅相成、相互补充的。对小学生说来，培养他们解决多元的、开放的、综合的、具有挑战性的实际问题的能力，还需从解决简单的、一元的、基本的常规问题着手。正如盖一座综合功能的高楼大厦，必先从一砖一瓦、一块块预制板垒起来一样，教材的设计也应从简单到复杂，从一元到多元，由常规到非常规进行统筹安排。
目前教学中比较突出的困惑是“常规”的解决问题目标设置不透明，编排体系不清晰，教师往往只知今日不知明日，只见部分不见全局，只见树木不见森林。广大教师希望各套教材编者对隐藏在这些“常规”应用问题中的“红线”予以说明，以免教师行为的失控。
根据老师们的反映，尤其两步运算解决问题时，问题就较突出。有的教材在学习混合运算（“先乘除、后加减”“先算小括号里的……”）时，就把所有的两步应用题一股脑儿地全在练习中呈现出来；在他们看来，只要会“算”就自然会“用”，解答两步问题就不在话下，造成教师难教、学生难学，教师不得不从练习中挑出一些题目作新课讲解。在同一节课内，要求同时达到“算”和“用”的两个目标，这样平分秋色只能顾此失彼，必须考虑到孰先孰后、孰轻孰重，教学中教师往往举棋不定……关于运算顺序本身的教学也有待研究。我国大致有两种不同的教材设计。以往的教材是先学“先乘除、后加减”“先算小括号里……”的运算顺序，并且明确告诉学生这是数学上的规定，然后按照规定进行运算，在解答两步应用问题时，也按此规定列出综合算式求解，以保证结果的唯一性，这种安排，层次清楚，无可非议。现在大多数教材，先创设问题情境，从实际生活问题引入，其目的是便于小学生去理解和接受这一规定，同样是合理的。例如：某教材出现“小熊购物”插图，并以对话形式出现以下题目：“小熊买了4个面包和1瓶饮料，面包每个3元，饮料每瓶6元，小熊应付多少元？”算式：
①3×4=12（元）
12+6=18（元）
②3×4+6
=12+□
=□（元）
③6+3×4
=□+12
=□（元）
由此启发学生思考：“有加又有乘，先算什么？再算什么？”很明显，教材编写者的意图是帮助学生利用这一故事情境理解“先乘除后加减”的含意。如果在教学时，教师能因势利导、画龙点睛地向学生指出：“你们的认识与数学上的规定是完全一致的，以后遇到两步混合运算式题时，都要按照这个规定来运算”，那么这节课我认为是很成功的。事实上，数学上的规定是根据数学本身运算的特点而决定的，四则运算中最基本的是“加法”，减法是加法的逆运算，乘法是加法的一种简便算法，因此遇到6+3+3+3+3这样的式子，就是6加4个3的和，所以可以先算3x4，然后再与6相加。可是在教学中，有的教师却认为运算顺序的产生是来自于生活情境，这种认识是错误的。因为在现实生活的素材里，有要先算乘除的，也有要先算加减的，如果让学生非通过现实生活的素材里去理解应属于纯数学范畴的运算顺序，逻辑上也是行不通的。因此，如何吃透教材的编写意图，根据儿童的认知规律，突出数学本质，仍是我们在课堂教学中的一个重要问题。
三、掌握图画情境问题与文字应用问题的恰当过渡
一年级学生可以多学一些图画情境题，它有利于激发学生的兴趣，帮助学生身临其境，了解题意。提供的生活情境要简明、生动、有童趣，要突出数量关系，如有的一年级教材，在画面上画着两堆（装箱）水果，一堆上标了“苹果28箱”，另一堆标上“梨24箱”，旁边画着一辆小卡车，车身标有“限装50箱”字样，小卡通问：“一次能运完吗？”这样的图画情境题贴近学生生活实际，改变了过去“一共有多少箱”的刻板问题模式，思维含量高，学生能不喜欢吗？当然，在提供的情境题中要防止过泛过大，防止花哨，要突出数学的本质。在观察情境题中，有的教师十分注意让学生从图画情境中收集有用的数学信息，并引导他们学会有条理地表述图意，确为正式解决问题打下良好的基础。进入二年级，教材可以逐步出现一些半文半图、表格式的，或直接用文字叙述的应用问题，以培养他们初步的抽象概括能力。图画情境在低年级是必要的，但不能只停留于此而过分迷恋。我认为，文字应用问题与图画情境题提供的都是数学情境，不同的是文字题提供的情境与形象的图画相比是概括的、理性的，它是经过数学提炼的，解答这种言简意赅的数学问题是实行第二个转化的必需，同时也是数学的本意所在。因此要注意引导学生会读题，读懂题。“读懂”，对小学生来说，并不只是能区分题目中告诉了我们什么（条件），要求的是什么（问题），而是要把题目中的故事内化成学生自己的认识，并且保留在头脑中形成清晰的映象，正如有的老师所总结的“读文想图”“图文合一”，然后才有可能正确地去解题。
四、重视分析数量关系
无论是解决“常规”的或“非常规”的问题，在弄懂题意，分清条件和问题后，都要重视分析题目的数量关系。分析应用问题的核心就是分析数量关系，数量关系有按加、减、乘、除意义的基本数量关系，也有密切结合某些实际素材的常见数量关系。
在日常教学中，不少教师都会发现某些数学能力较强的学生，当他们读完一道应用问题后，就能马上洞察到题目的“骨架”，这个“骨架”就是数量关系。例如：
中国银行某网点销售奥运门票。上午售出120张，下午比上午多售出30张，这网点一天共售出奥运门票多少张？
上午售票张数+下午售票张数＝一天共售票张数
?
学生无论从条件推向问题去思考，还是从问题追溯到条件去分析，根据上述的数量关系式，都能发现只要先求出下午的售票数，题目的最终答案便可迎刃而解。
列式：120+30=150（张）
150+120=270（张）
此时，教师又故作困惑地追问：“我真不明白，120这个条件怎么用两次啊？”一位小同学天真地说明了她自己的想法：“下午卖出多少张票还不知道，我拐了个弯，用120+30先求出下午售票数，然后150+120才是一天的售票总数”。多好的一个“拐个弯”！可以看出，正因为他头脑中抓住了基本数量关系，连这种普遍认为孩子们容易出错的、含有隐蔽条件的问题，照样达到顺利解决。
又如“相遇问题”是“速度×时间＝路程”这一数量关系的直接体现，只不过加上“两物体所行路程和等于总路程”这一特征而已。S=vt这样的常见数量关系本身就是一种数学模型，它是今后学习变速运动的基础，在微积分中也常要用到。在小学阶段学到的“单价×数量＝总价”“工作效率×工作时间＝工作总量”等也都是数学模型。在小学生能够理解的基础上，适时用数学语言（包括符号）予以抽象概括，这不仅大大有助于提高他们解决实际问题的能力，而且其本身就是数学思想的一种重要体现。
五、为学生提供一些灵活而又行之有效的解题策略
实际问题变化多端，把它们抽象成的数学问题，有的结构也较特殊，因此，并非所有的题目一开始就能发现其中的数量关系的。教材如能为学生提供一些有效的解决问题的策略，将能有助于提高他们的解决问题能力和数学思维能力。近年来外国数学教材中对此有所反映，我国的新教材在这方面也开始作了一些有益的尝试，有的版本从第二学段开始，每册均设“解决问题的策略”一章，以提高学生运用策略解决问题的自觉性，有的版本到六年级末总复习时，对前面已学过的“策略”进行回顾和梳理，以体现解决问题策略的多样和灵活。当然，这些都仅仅是开始，还有待进一步的实验和研究。
解题策略应该包括解题方法，它又比解题方法更上位一些，解题策略应是在数学思想引导下的解题思路、方式和方法。除了我们大家都公认的分析综合方法以外，下面再介绍几种解题策略：
1.演示与模拟
遇到某些数量关系比较隐蔽的问题，可以放手让学生自己采用模拟和演示的方式，让他们进入角色，了解题意。如“姐姐和妹妹都有20张画片，姐姐送给妹妹3张后，妹妹比姐姐多几张？”可以请同桌两名学生合作，甲扮演姐姐，乙扮演妹妹，通过一送一接转化为一减一加，全体学生都会意会到“妹妹比姐姐多6张（而不是3张）”，并明白其间隐含的数量关系。中年级学生曾对下面的题目发生困惑：“有一座大桥长1550米，一列长100米的火车以15米／秒的速度行驶过桥，火车过桥需多少时间？”缺乏生活经验的学生往往错列为“1550÷15”，如果引导学生用短铅笔比作火车，用铅笔盒比作大桥，自己表演一下火车是怎样过桥的，火车到什么地方才算全部过桥，他们就会很快明白为什么要把火车自身的车长也计算进去，从而找到解题途径：(1550+100)÷15。对低年级儿童说来，最了解的是他自己的动作，通过学生的模拟和演示，把题目中的故事情节用他们自己理解的动作呈现出来，从而认识其中的数量关系，这是很有效的。
2.画图
(1)画示意图。
画示意图是低年级儿童学习应用问题喜欢采用的形式，比起模拟操作已抽象了一步，因为它“简缩”了题目中的次要成分，把主要成分全面而又直观地展示出来。下面是一位二年级小学生对解题思维过程的生动自白。题目是：“幼儿园老师给8个小朋友分苹果，平均每人分2个，一共分了多少个？”这位小学生说：“这道题看上去像除法，有‘平均分’，可是最后又问‘一共’，又像是乘法，我想不出来，就画图”（如下）
一看就是求8个2是多少，2×8=16（个）。可见示意图可以帮助低年级学生理解题意。
又如，笔者曾为考查低年级学生解决问题的思维水平出示了一些变式题：“二年级有两个班，这学期一班转走5人，二班转来8人，这学期二年级人数比上学期( )( )人。”（只填空，不列式）该题正确率约43%，相当一部分学生认为题中没有告诉上学期一、二班各有多少人，无法解答而不作答。答对的少数同学如此回答：因为转来的人数比转走的多，8比5多3，所以这学期人数比上学期（多）(3)人。这样用逻辑推理来解题的极为个别。其余答对的有人是用画示意图，下面是一位小同学所画的示意图（见右图），并生动地说明自己的思考过程：本来两个班人数都是全的，后来一班转走5人
，二班转来8人
，此时学生已将题目中的故事用图画呈现其形象，但仍百思不得其解，稍待片刻又接着说：我从二班的8人中抽出5人补给一班不就行了吗？
还剩3人，所以这学期人数比上学期（多）(3)人。
通过画图，又对头脑中的表象进行加工，形象思维与抽象思维相互结合，生动地解答了这一问题。
(2)画线段图。
线段图采用了数与形相结合的形式将事物之间的数量关系明显地表示出来，也是小学数学常用的一种解题策略。线段图可以使抽象问题具体化、复杂关系明朗化，为正确解题创造条件，尤其在学习分数、百分数应用问题时，学生只要把部分与整体的关系、具体数量与比率的对应关系正确地表示出来，问题解决的任务便完成了一半。
例 某工厂九月份烧煤120吨，比原计划节约了
，九月份原计划烧煤多少吨？
计划烧煤吨数－节约的吨数＝实际烧煤吨数
解：设九月份原计划烧煤x吨。
(3)画连线列举图。
对一些渗透排列数学思考方法的实际问题，可以引导学生根据自己的生活经验，采用画连线的方法，作出有序的搭配，并一一列举出来。如“小英有三件衬衣和两条裙子，她最多在几天内保证每天穿的衣服不完全一样？”
解法一：以衬衣为标准
连线列举，不重不漏，一目了然地得出“最多在6天内小英能保证每天穿的衣服不完全一样。”
(4)画集合图。
对解决一些渗透集合思想的实际问题，利用画集合图能把其间的种属关系清楚地反映出来。
例 五(1)班有42人参加秋季运动会，要求每人至少参加一项体育比赛。其中参加田赛的有23人，参加径赛的26人。既参加田赛又参加径赛的有多少人？
3.假设与替换
在解决一些较复杂的数学问题时，当已知条件与问题之间有着明显的空隙而不易探求时，可以对条件作出符合逻辑的假设，然后根据变化了的新条件进行推理，找出解决问题的途径。在进行假设和推理时，往往还可利用等量替换的方法求得解题的捷径。
例 （图中画了1张桌子，周围放着4把椅子，作为1套）小芳家买了1套桌椅共用去1040元。
(1)1张桌子和4把椅子的价钱相等，求桌子和椅子的单价。
若把1张桌子替换成4把椅子，则椅子单价为1040÷(4+4)=130（元），桌子单价为130×4=520（元）；同理，若把4把椅子替换成1张桌子，则桌子单价为1040÷(1+1)=520（元），椅子单价为520÷4=130（元）。
(2)已知每张桌子比每把椅子贵390元，求桌子和椅子的单价。
假设都买的是椅子（5把），则少花了390元，椅子单价为：(1040-390)÷5=130（元），桌子单价为130+390=520（元）；同理，假设都买的是桌子（5张），则多花了(390×4)元，桌子单价为(1040+390×4)÷5=520（元），椅子单价为520-390=130（元）。
4.尝试与猜测
当数学问题已难与原认知结构建立直接联系，并很难找到问题解决的入口，可以采用列表一一尝试，逐步调整直至问题的解决。尝试与猜测并非是低级的策略，创造与发明往往都从尝试实验开始的。我国著名的古数题“鸡兔同笼”可以采用这一策略获得结果。
例 鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有26条腿。鸡和兔各有几只？
列表试一试：
鸡（只）兔（只）共有腿数（条）
1 7
30
2 6
28
3 5
26
（逐一列举）
鸡（只）兔（只） 共有腿数（条）
4 4 24
3 5 26
（对半列举）
如果题目数据较大，亦可跳跃列举，这样可减少尝试次数，较快找出结果。
5.转化
利用已有的经验和知识，将复杂的转化为简单的，将未知的转化为已知的，将看来不能解答的转化成能解答的。
下面以苏教版六年级下新课程实验教材部分内容为例：
例 通过两个不同形状的图形，要求比较它们的面积是否相等，学生比较容易观察到通过平移、旋转等变换，使它们都转化成长方形，得到问题的答案，从而体会到转化在解决问题中的作用。接着引导学生回顾曾经运用转化策略解决过的问题，如把圆转化成近似的长方形，把分数除法转化为分数乘法等，这些都是把新知识转化为已有的知识，使“不会”变成“会”，“不能”变成“能”。后面安排的“试一试”与“练一练”，让学生进一步运用转化策略解决一些问题。
如果要解决一些其他的应用问题，也可选择一些较复杂的题目，让学生利用所学知识“跳起来摘果子”，锻炼一下自己对信息转换、加工、重组的能力，但一定不能要求全班学生都做。如：“五年级一班男生与女生人数比为5∶6，这学期从外校转来1名女生后，男生与女生人数比为4∶5。五年级一班原有学生多少人？”启发学生：“你能运用转化的策略解决这个问题吗？”在学生发生困惑时，可作些提示：两学期男女生人数比率的变化是由新转入1名女生而引起的。当学生找到了问题的切入口时，可引导学生小组合作研究，“谁向谁转化”“转化的目的是什么”等。最后通过讨论，学生就会明白：新学期中女生人数和全班人数都有变化，唯独男生人数没变，抓住男生人数这一不变量，问题就易解决。
应该说明的是，解决问题的策略是多种多样的，以上仅举几种常用的解决问题的策略。这些策略有的偏重于形象思维，有的着重于抽象思维，有的适合于解决常规的实际问题，有的更有利于解决非常规的、具有挑战性的实际问题，各种策略各有特点，但又相互结合和补充，在解决问题过程中，往往同一题可采用不同的策略求解，如鸡兔同笼问题，可以画图、列表尝试，也可以假设替换，可用算术方法也可用列方程求解。教学中要重视培养学生运用不同策略的自觉性和灵活性，尤其要注意的是：策略不能靠“传递”，而是在学生已有足够储备的知识经验的基础上，在教师适当的启发下，由学生自己去感悟、体验、提炼和创造，再到自觉应用。
应用题教学经历了半个多世纪的改革，由传统到今日，传统是今日的基础和起点，今日是传统的继承、发展和创新。让我们在培养小学生解决实际问题能力和创新精神方面迈上一个更高的台阶。