例谈反例在初中数学教学中的妙用，本文主要内容关键词为：妙用论文,初中数学论文,反例论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子.说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子.当然，从某种意义上来说，所有例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题（甚至是非常荒谬的命题）不成立.但这里，我们讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的反例.举反例也是一种证明的特殊方法，它可证明“某命题不成立”为真.反例和证明推动了数学学科的发展，在数学教学中具有同等重要的作用，反例因其简明、直观、说服力强等突出特点，决定了它在教学中起着不可替代的作用.恰当地运用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于学生数学素养的提高，使教学达到事半功倍的效果.下面，笔者将结合自己的教学实践和体会，举例说明反例在初中数学教学中的妙用.
一、反例的作用
1.发现原有理论的局限性，推动数学向前发展
举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展.数学史表明，对数学中探索的重大课题与数学猜想，能举出反例予以推翻，与给出严格证明予以肯定，是同等重要的.
2.澄清数学概念与定理，为数学的发展作出贡献
数学中的概念与定理有许多结构复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解.反例则可以使概念更加确切与清晰，将定理的条件、结论之间的充分性、必要性指示得一清二楚.数学中有许多这样的反例.
3.帮助学生学习数学基础知识，提高他们的数学修养与培养科学研究能力
数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维特点和逻辑推理体系.不能凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，差之千里”，而在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还掌握各类反例，这才会更深刻掌握数学基础知识，以及提高数学修养与培养科学研究能力.
二、反例在数学教学中的妙用
1.通过反例来加强学生对知识点的理解
数学学习过程中，对于一些不易理解和掌握的知识点，学生常常容易混淆或忽略它们的某些本质属性，尽管教师反复强调，学生还是容易出错.如果教师在讲解过程中能够适当地举一些反例，通过反例来加强学生对这一知识点的理解，将会有意想不到的收获.
例如，在讲解三角形全等的判定方法时，其中的一种方法是“有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（SAS）”，这里，必须强调“夹这个角的两边”.因此，教师可以提问学生“有一个角和两边对应相等的两个三角形一定全等吗？”由于和教材中的定理不一致，大部分学生肯定会回答说“不一定”，这时教师继续追问“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的.在学生讨论时，教师提示：“可以画出图形来说明.”此时课堂气氛活跃，学生个个情绪高涨、跃跃欲试，都在画图尝试.最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下：
（1）如下页图1，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，则在△ABD和△ACD中，满足一角（∠B=∠C）和两边（AB=AC，AD=AD）对应相等，显然△ABD和△ACD不全等.
（2）如下页图2，在△ABC中，延长BC至D点，连接AD，使AD=AC，则在△ABC和△ABD中，满足角（∠B=∠B）和两边（AB=AB，AD=AC）对应相等，显然△ABC和△ABD不全等.
（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，连接BD，则在△ABD和△CDB中，满足一角（∠ADB=∠CBD）和两边（AB=DC，BD=BD）对应相等，显然△ABD和△CDB不全等.
通过上述反倒教学，学生清楚地认识到：在运用这一判定方法时，必须是“一角和夹这个角的两边（SAS）”，而不是“一角和任意的两边（ASS）”.并知道了由上述反例可以说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的命题.这样的反例，使学生印象深刻，有利于学生对知识点牢固掌握.
2.通过反例来证明命题不成立
要证明一个命题不成立，可以从正面直接证明，也可以举一个反例来证明.在学习数学概念时，需要让学生记住引入概念的正例，同时还需要记住几个与概念相悖的反例，以从不同的角度加深对概念的理解.在初中数学中，更多的是让学生利用举反例的方法来做一些判断题.例如，让学生判断以下命题是否为真命题：
（1）如果两个角互补，那么这两个角，一个是锐角，一个是钝角；
（2）两个无理数的和一定是无理数；
（3）面积相等的两个三角形是全等三角形.
这些数学语言对学生而言比较抽象，容易混淆，如果通过举反例的方法来解答就比较容易.对于问题（1），只需举出反例“两个直角互补”；对于问题（2），只需举出反例“
+（-）=0”；对于问题（3），只需举出反例“Rt△ABC的两直角边均为2，面积为2，Rt△DEF的两直角边为1和4，面积也为2.它们的面积相等但不全等”.
由此可见，举反例的优点在于：只需找出一个反例就可以说明命题是错误的.所以，在平时的教学中，应鼓励学生寻找反例，引导学生从反面去思考问题，从而快速地解答一些题目.
3.通过反例巩固所学知识
在讲解某些知识点时，为了让学生进一步巩固所学的内容，教师可以举出一些反例，让学生判断是否符合这些知识点.
例如，为了让学生明确一元一次方程必须同时满足以下3个条件：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数是1.在讲完这一概念后，教师可立即给出一些方程，让学生判断它们是否为一元一次方程，若不是，让学生说明理由.
显然方程（2）、（3）、（7）、（8）不是一元一次方程，因为方程（2）、（7）的左边不是整式，方程（3）的未知数的最高次数为2，方程（8）含有两个未知数，这些都与一元一次方程的条件不相符.但仍有一部分学生判断不出来，特别是方程（2）、（5）、（6）、（7）容易出错，因此，可以在这里先带领学生简单地复习一下整式的概念.对于方程（6），应注意提醒学生其中的π是常数而不是字母.这样，当教师结合这八道小题再次分析一元一次方程的三个条件时，学生就会更深刻地理解什么样的方程才是一元一次方程.
4.通过反例预防学生易犯的错误
例如，在解一元一次方程时，学生容易犯的错误是：去分母时漏乘不含分母的项；去掉分母后，忘记将分子是多项式的加上括号；去括号时漏乘括号里的项或不变号；移项时不变号.基于这些常见错误，教师在讲解时，可以举出如下反例，并让学生判断“这样的解法对吗？”
去分母，得2（3x-1）=1-4x-1.
去括号，得6x-1=1-4x-1.
移项，得6x-4x=1-1+1.
合并同类项，得2x=1.
学生经过仔细观察，发现了其中的错误：去分母时，等号右边的“1”没有乘以“6”；去掉分母后，“4x-1”没有加小括号；去括号时，“3x-1”中的“-1”没有乘以“2”；移项时，“-4x”从等号右边移到左边没有变号.
这是一个典型的反例，它几乎集中了学生解一元一次方程时易犯的所有错误，在解决这个问题之后，教师可以让学生在每次做题前，先想一想这个反例，回忆应该注意些什么，从而有助于学生巩固正确的解题思路，预防解题错误.教材中的例题通常都是正例，用来告诉学生应怎样规范地解题，同时，像这样的反例也是必要的.因此，在平时的教学中，应注意将正、反例有机结合，以帮助学生更好地掌握所学内容，预防错误的出现.
5.将学生练习过程中出现的错误作为反例来分析
在学生练习的过程中，会出现许多错误，这就是学生自己“生成”的反例，教师如果能够有意识、有针对性地安排一些练习，再对学生练习中出现的错误（反例）及时进行讲解、点拨，就可以有效减少学生类似错误的出现.
例如，在讲解“因式分解”时，许多学生都容易犯“分解不彻底”的错误，教师可以选取一些合适的题目让学生练习：
通过这样的练习，既调动了学生学习的积极性，又直观地告诉学生：在因式分解时，一定要仔细检查最后的结果，看能否继续分解.应检查各项是否还有公因式（如问题（3））；是否还可以用公式法继续分解（如问题（1）、（2））.同时还应注意：切忌将问题（2）分解成“
”的形式，因为因式分解是把一个多项式分解成几个整式的积的形式，而从“
”到“”，是在做整式的乘法而不是因式分解.这些都可以通过以上练习中的错误（反例）向学生指出并强调，能有效减少学生今后类似错误的发生，并且巩固了因式分解的概念.
同样地，在学生的作业中也会出现许多错误，从中可以清楚地了解学生对知识的掌握情况.因此，教师要重视学生的作业，及时对作业中的错误进行讲解，在讲解时不要图方便而直接告诉学生错在何处.这样虽然可以节省时间，但是学生往往并没有真正掌握.教师可以把错题展示给学生，让大家一起讨论、分析，共同找出错误的原因所在.
教师应重视学生在学习过程中“冒出”的这些错误，使之成为有用的教学资源.当然，作为教师，首先要尊重、理解出错的学生.只有这样，才能使反例教学成为课堂教学的“调节器”，使学生有一个宽松的学习环境；才能让学生在对“正确”与“错误”的探究中，不仅“知其错，而且知其所以错”.
综上所述，通过反例教学，可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握，发现并纠正学习中的错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质.在初中数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于数学教学质量的提高和学生数学素质的培养.只要教师在教学过程中合理地运用反例，适当地构造反例，就能使学生不断地完善数学概念，提高分析、判断问题的能力，从而达到事半功倍的教学效果.