“教与数学对应”原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考，本文主要内容关键词为：调性论文,教学设计论文,函数论文,原理论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“函数单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要的性质，在中学数学内容里占有十分重要的地位.目前中学对这个内容普遍采用照字面意义讲解定义的方法，以教师讲解为主，虽然也有启发引导，但总体上缺少学生的主动活动，特别是缺少学生自己的思维构造，本质上是缺少一个“建构”的过程.这种方法的教学，不排除一部分学生能够实现有意义学习，但对大多数学生来说，只能进行机械学习——记住意义和模仿式运用.其实，对于如何用探究的方法对“函数单调性”进行建构学习，让学生经历思维构造的过程，一些中学教师很关注，向往解决，乃至尝试，但不尽人意，感觉较难处理，有待突破.
怎么解决？在对这个课题进行专门的案例研究的基础上，本文拟就该课题的解决方案提出一个设计的构想.（由于同一地区教学进度同步，因此此案例研究持续3年，在不同层次中学、对不同层次教师听课超过10次，部分课录像.）
一、对函数单调性教学的基本认识
在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示.对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识.接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么.在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性.对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质.按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的教学活动.至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其它性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质.
这样就形成了课题提出的契机.作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易产生共鸣的，当然由学生自己发现并提出学习的课题更是再好不过。由以上的分析来看，这是能够办到的.
一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图像的观察并不难认识，因此前二过程的建构学习相对比较容易进行.后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成.这其中有两个难点：
（1）“x增大”如何用符号表示；同样“f（x）增大”如何用符号表示.
（2）“‘随着’x增大，函数f（x）‘也’增大”，如何用符号表示.
用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象.
在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f（x）表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到很少一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象.因此，从用静态的数学符号描述静态数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战.这也是这个教学难点难以突破的根本原因之所在.
因此，在“函数单调性”教学时，这些疑难之处就成为创设情境要重点解决的对象.
二、“函数单调性”的教学设计
这里采用“概念形成”的概念学习方式来设计函数单调性的教学，一方面是体现现代教育理论对数学教学的指导作用，一方面是始终围绕解决“函数单调性”这个真正数学问题的教与学这个中心，是对“教与学对应”及“教与数学对应”数学教育研究二重原理运用的一个积极尝试.
下文简述设计内容，并作扼要评述.
基本思想：教学设计以现代教育理论为指导，按照概念形成的概念教学方式，对函数单调性的内容进行教学设计.设计致力于以思维建构知识的意义、认识科学研究方法和发展学生思维为目标，展示知识的形成过程，强调教师创造性地设置教学情境，突出学生主动学习过程和再创造数学的活动.
课题提出： 为的是让学生明白为什么要学习函数的单调性.（前文对此已进行了阐述）
在每一个数学内容教学之始，首先应该问一问学生：“今天应该研究什么问题？”也就是解决“为什么要学习这个内容”“怎么会想到要研究这个内容”的问题.但是现实的数学教学中，教师注意力一般都放在“具体内容是什么”上[2].这就容易造成学生只知道吸纳知识，而不知道为什么要吸纳这个知识，实际是不知道提出问题.突出课题的提出，实际是重视科学研究思想和方法的蕴涵和渗透，任何科学研究都是从问题开始的，因此首先要想到问题、提出问题，没有问题就没有问题的解决.这也是数学由来的重要方面.
创设情境：用多媒体技术设计函数动态变化的态势，让学生对图像的各种变化以及相关联的方面得到充分感知.情境中包括若干个函数的图像：一次函数、简单二次函数，某地某日全天气温变化图，及上述图像按特定需要的动态变化.其中有：图像上升或下降的运动，x轴上运动中两点及其对应函数图形位置变化的比较，某单调区间内x与f（x）对应数值表等.所展示的函数图像中各种变化尽量体现函数单调性各种本质特征，并潜藏着能够排除非本质属性干扰的各种情况，使学生能够通过对生动情境的感知，获得丰富的表象和信息，产生众多的联想.
就数学内容本身的教学而言，学习和掌握这个数学内容的本质是第一位的.因此教学情境的创设，关键是要能揭示数学本质.创设教学情境可以有不同方法，对于与运动变化有关的数学对象，利用多媒体技术来创设相关的情境，其优势在于能够生动直观地展示数学对象运动的过程，揭示对象各种变化的特征，这利于学生在情境中获取学习对象丰富的表象，把握数学对象的本质属性.情境的创设还需要重视与实际问题的联系.
刺激阶段：向学生展示函数图像动态变化过程（如图1～4所示），让学生充分观察各个函数图像的变化，并组织学生讨论，图形演示次数可多一些，语言解释可尽量少一些，尤其是那些需要学生自己发现的特点一定要留给学生，让学生自己观察思考.这样做不仅是体现数学建构主义学习的主要特征，而且可以培养观察、联想、比较，分析、综合、抽象、概括的一般思维方法，体验和感悟数学思维方法的精神.
图1 某地某天气温变化
图2 y=x+2
图3 y=x[2]
图4 y=x[2]（0，+∞）取值
辨析阶段：在观察以上几个函数图像动态变化的基础上，对它们进行多视角的比较，进而分析每个图像各自的特点，从中寻找它们的相同点和不同点.
认知心理学的研究表明，一个人是通过外部线索（刺激或某些特点）与内部的中介过程（含义、思想或观念）之间的联结而形成知觉和概念的[3].在创设函数单调性教学的情境里，知觉中不同“函数图像”和“函数图像的变化态势”都是外部刺激，图像的动态变化把这些需要学生认识的特点突出出来，从而使这些外部刺激及其所引起的相应的“一段区间上‘上升’或‘下降”’的含义、概念，通过知觉的内部神经过程或脑过程而联结起来，一步一步向着情境设计的目标接近，最终达到所期望的目标.
分化阶段：让学生充分观察讨论，提出自己的意见，相互争鸣，分化出这些图形相对共同的某种性质或特征.
提出结论： 图1函数定义域为0～20以内的数；在（0，12）上图像上升；在（12，16）上图像下降；在（16，18）上图像上升；（18，20）上图像下降.
图2x∈R，函数y=x+2图像始终是上升的，即函数图像在整个定义域（-∞，+∞）上都是上升的.
图3x∈R，y≥0，函数y=x[2]图像左半支（-∞，0）上下降；函数图像右半支（0，+∞）上上升.
图4函数y=x[2]在（0，+∞）上，x取值增大，对应函数值也增大.
很多学生对于用数学语言表述“左、右半支”的含义存在不同程度的困难.因为在初中类似的学习很少或者不明显，因而不能适应这种用数学符号对直观图形的表示.学生在抽取性质时，表述常常不很到位，其中有的是语言组织不当，有的是理解存在缺陷.这时学生之间的讨论、补充、修正很重要，需要耐心地通过学生自身的合作交流达成相对准确的表述.
讨论问题：针对讨论中“上升”“下降”“增大”“减小”的不一说法.引导学生讨论一个生活中问题：学校和鼓楼之间的坡路是上坡还是下坡？（有的学生说是上坡，有的学生说下坡）
让学生根据所出现的不同说法，来提出和思考自己的问题——“为什么说法不同？”从而认识到：究竟上升还是下降要看方向，所以需要首先在方向上取得同一思想.
让学生探讨一系列的问题是必要的.问题最好由学生自己提，或者教师引导、启发学生提出，不排除教师提出.根本的前提是教师决不要代替学生，即使问题由教师提出，也要等到学生在教师的启发下有问想问而不知怎么问的时候.其正所谓“不启不发”，“启”到一定的火候，“发”也就正是其时了.
归纳讨论：究竟是升是降要看方向，必须要有同一的参照系，包括参照物和方向.这是思考问题的一个基本思想方法，研究运动对象必须在同一个参照系下进行，否则同一对象的相同意义却会有不同的表述.这就容易产生歧义.
就函数图像上升、下降而言，应该以什么作参照？以x轴的方向为参照.为什么？因为沿着x轴方向，x的值是单一增加的，而沿着这个方向，函数的图像有的上升，有的下降.这样大家所说的“上升”“下降”就是一致的，也就不会产生歧义了.
必要说明：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质，数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.
类化阶段：在概念形成学习的类化阶段，其任务是引导学生概括出这几个函数图像的共同特征.
概括特点：函数图像有一个共同特点：在定义域某些部分上升或下降.
教学活动进行到这里，学生已经能在图形的直观上理解函数的单调性的涵义了.但是，在数学学习或数学研究的进程中，弄清楚数学对象“是什么”，即这个数学对象的意义，仅仅才是研究的开始，还需要用数学的语言符号来表述对象的意义.这是一种数学语言的学习，当然说到底还是一种数学思维的训练、培养和发展，从教育的宗旨而言，这方面的学习比起知识本身的学习更为重要，更有意义.
讨论问题：“上升、下降”是一种日常语言，用日常语言描述“单调增”“单调减”这样的数学性质是不够准确的.那么，能不能用数学的语言来描述函数的这种特点呢？如果能的话，又该如何来描述？
这是从用图形动态的形象描述过渡到用静态的数学符号描述的过程.需要让学生充分地讨论，寻找数学抽象表述的方法，提出“什么是函数单调性”的定义的假设.难点是如何用数学语言表示“上升”“下降”.
学生讨论后提出一种表示：
通过进一步的讨论，对“函数f（x）随着x的增大而增大”，学生容易提出图形化符号的表述：
这是一个循序渐进的过程.这两次表示的转化把文字性符号换成了图形化符号，的确比原先的文字语言更加数学化，但是“
”“
”这些图形化符号仍然是一种定性的直观描述，这种描述不具有一意性，只有用代表数量意义的数字化符号（如代数符号）构成一种定量的描述，才能消除歧义，达到精确.
继续讨论：对“”“”这种图形化符号，不同的人可能产生不同的联想，也就是仍然会出现歧义.经验证明，数量最不容易产生歧义，那么能不能用代表数量意义的符号描述“x，y=f（x）”？
通过讨论中发现“增大”“”必然是两个数比较的结果，要反映“增大”就需要有大小两个数，可以用x[，1]＜x[，2]表示，对应就有两个函数值f（x[，1]）和f（x[，2]），它们也可以形成大小关系，同时注意到x[，1]，x[，2]应该取自图像上升或下降对应的区间上.学生经过尝试，能够得到下述数字化符号的表示：
这样的表示就是—意性的了：“x[，1]＜x[，2]
f（x[，1]）＜f（x[，2]）”表示“由x[，1]＜x[，2]能够推出f（x[，1]）＜f（x[，2]）”，这个数字化表述就较为准确地反映出“x，y=f（x）”的意义.当然对函数单调性的意义来说，这个表述仍不严格——没有反映出x[，1]，x[，2]的任意性，也就没有完全反映出“单调增”“单调减”这种变中的不变性.但是这时留下一点缺陷并不一定是坏事，这个漏洞可以为后面验证阶段的活动提供素材.“验证”也是思考问题的一个不可或缺的思想方法，学习和领悟这个思想方法对于发展学生思维和科学认识观很有必要.这也正是学生经历思维构造过程所需要获得的过程知识，思维训练和科学方法.
抽象阶段：上述工作完成以后，就初步具备了提出函数单调性定义假设的条件.定义就是本质特征的反映，因此这也就是对函数单调性的本质特征提出猜想.
提出假设（增函数定义）：对x[，1]，x[，2]∈（a，b），且x[，1]＜x[，2]，如果有f（x[，1]）＜f（x[，2]），那么就称f（x）在（a，b）上是单调增函数；对x[，1]，x[，1]∈（a，b），且x[，1]＜x[，2]，如果有f（x[，1]）＞f（x[，2]），那么就称f（x）在（a，b）上是单调减函数.
验证阶段：提出的假设是否正确，需要验证，这里主要是利用变式来验证.
重新观察：让学生重新观察教学情境，并与定义的假设对照，比较、分析，尽可能由学生自己从教学情境中发现假设中的漏洞，提出变式反例，当然，也不排除必要时由教师提出.
提出变式：右图是函数f（x）=x[2]的图像.在如图所示的区间（a，b）上，取两数x[，1]，x[，2]且x[，1]＜x[，2]，并有f（x[，1]）＜f（x[，2]），那么f（x）在（a，b）上是单调增函数吗？
讨论变式：图形已经表明f（x）在（a，b）上不是单调增函数.那么毛病出在哪里？结合图2和图5进行讨论，学生容易发现原因在x[，1]，x[，2]只是（a，b）上某两个点.要反映“总有”同样的性质，必须是从（a，b）上任意取两点x[，1]和x[，2]，且x[，1]＜x[，2]，都有f（x[，1]）＜f（x[，2]）.这样有了x[，1]和x[，2]“任意性”，并“都有”f（x[，1]）＜f（x[，2]）或f（x[，1]）＞f（x[，2]），才得以把函数的这种“单调地”增或减的性质准确地刻画出来.
图5 二次函数
实际教学中，验证定义假设的工作可能有难度，其一引导学生提出反例并非易事；其二引导学生认识到没有任意性，就不能揭示函数单调性的本质，也有难度.变式的提出不宜强求，最忌讳拘泥于教师自己事先的设计，置学生的想法于不顾，提倡致力发现学生任何一点思想火花，因势利导，合理利用，既保护学生的积极性，又是对学生思维能力的开发.所以建构性教学对学生固然是挑战，其实对教师是更大的挑战.
概括阶段：这一阶段的工作是根据验证情况，对假设进行修正，并概括到一般情形.
概括结论：对任意的x[，1]，x[，2]∈（a，b），且x[，1]＜x[，2]，如果都有f（x[，1]）＜f（x[，2]），那么就称f（x）在（a，b）上是单调增函数.对任意的x[，1]，x[，2]∈（a，b），且x[，1]＜x[，2]，如果都有f（x[，1]）＞f（x[，2]），那么就称.f（x）在（a，b）上是单调减函数.
大多数情况下，前一定义一般由教师与学生一起概括，后一定义则由学生自己来概括.尽管这时的概括在一定程度上是模仿性的，但总比全部被教师代替要好.一方面，模仿之中也含有认知的成分，即含有内化的过程，以及与内部认知结构相互作用的过程；另一方面，学生第一次接触这种用数学纯粹形式化语言刻画一个对象，少量的模仿学习也是必要的.
形式化阶段：形式化过程实际已经完成.
三、对某些教育理论运用的分析
上述教学方案是按照“概念形成”的概念学习方式所设计，仅众多方案中的一种.对概念形成的“7阶段模式”不应是机械地理解和运用，每个阶段活动的意义不是绝对的，顺序可以变化，各个阶段也并非缺一不可，完全是根据具体需要，而不是刻板地套用，其实本设计中的有些阶段也包含有其它阶段意义上的活动.
树立这样一种观念是非常必要的，就是对任何教育教学理论无论其多么“先进”，都不应教条主义地对待.理论本身发源于其植根的具体情境，因而理论的运用也就不能脱离使用者的现时现实，一切在于把握理论的实质及实际需要，在相互结合的基础上进行实事求是的应用.
这个“实际”，包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际，学生生活背景的实际，学生文化传统的实际等.只有把理论与这些“实际”有机的结合，理论才能收到良好的效果.
实现数学新知识的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要方面，学生要将情境与自己认知结构中已有相关知识建立非人为和实质性的联系是另一个重要方面.前者是“教师创造性教”的体现——创造性地设置情境：后者是“学生创造性学”的体现——“再创造”数学对象的意义[4].
函数单调性与很多已有的知识、经验、思想、方法有联系.例如与函数图像的变化态势有联系（上升、下降）；与参照系、方向有联系（沿x轴方向）；与变量的取值范围有联系（函数单调性是定义在区间上的）；与函数的概念有联系（法则、定义域、值域）；与已有数学语言有联系：x，y=f（x）；y=f（x）；x[，1]＜x[，2]时f（x[，1]）＜f（x[，2]），x[，1]＜X[，2]时f（x[，1]）＞f（x[，2]）；与已有逻辑经验有联系（“任意的”“且”“不妨设”）；与已有的比较大小关系的策略有联系（作差，作商）；与已有的数学证明的思想方法或经验有联系（以往主要是几何证明，把握并依据定理，这里主要是利用定义，判断因式的正负关系等）；等等[4].
这些已有的知识对学习函数单调性有积极意义，离开了这些已有的知识、经验、思想、方法，要建构函数单调性的意义是不可能的.同时由于建构对函数单调性意义的理解也是对它们的运用，这使得能够对它们自身的意义获得延伸、扩展、更新，从而达到原有认知结构的改造和重组.这正是所谓“双向建构”的意义所在.
四、对函数单调性意义的继续同化
在完成概念意义的建构和形式化定义的思维构造以后，对概念意义的反思辨析是概念意义进一步分化和综合贯通的必要环节，是继续同化意义的过程.实践证明，用变式教学来完成这一过程，是实现和达到继续同化的有效方法.
比如，对“函数是否为单调增或减”的认识，可以利用变式加以澄清和深化.可提出变式问题：下列说法是否正确：
例1 对于二次函数f（x）=x[2]，因为-1，2∈（-∞，+∞），当-1＜2时，f（-1）＜f（2）.所以函数f（x）=x[2]在区间（-∞，+∞）上是增函数.
例2 函数y=f（x）的定义域为[0，+∞]，若对于任意的x[，2]＞0，都有f（x[，2]）＜f（0）），则函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是减函数.
又如，对“单调函数的单调区间”的认识，也可利用变式来澄清和深化.尝试提出下列变式问题：
例3 函数y=（1/x）上是否为单调函数？单调区间是什么？
鉴于该函数的图像如图6所示，学生往往觉得它在整个定义域上是单调减的，因而就认为该函数的单调区间是（-∞，+∞）.这个变式在使学生深化对函数单调区间的认识有很好的启发意义.
图6 反比例函数
概念意义的建构不是一次能够完成的，必须经过不断运用，多次反思，反复辨析，勤于概括，才能对本质意义的认识逐步分化，不断综合贯通.
当然，这个过程并不是在一节课里就能全部解决的，尤其是意义的综合贯通，更不是一两次课堂教学所能解决.意义的综合贯通更多的是需要个人的体验和感悟，因而需要在后继教学和解题学习中，继续数学意义的同化过程，并通过个人不断的反思才能达到.
五、结束语
改革开放以来，我国引进了大量的外国教育理论，并对这些理论进行了充分的学习和讨论，但是对这些理论运用的研究总体上比较薄弱.如果理论不能贯彻于实践，那只能是空头理论.所以从行动上研究具体的数学教育实践，已成为当务之急.笔者从近年对国外的考察，以及与来访的美国、加拿大、新西兰数学与科学教育专家的交流中，发现他们完全不是停留在理论的议论上，他们更关注解决教育实践的具体问题，对教育教学的各种具体操作研究得很细致、很深入、很实在.任何一个好的理论最终应该体现在能够解决实际问题上.目前国际上盛行“行动研究”，正是把教育研究的中心视点转向具体的教育实践的研究.这并不是说不要理论研究，而是不要热衷于生产或猎奇所谓新的理论，不要总是说“应该这样”“应该那样”，也不是对某个教学操作过程简单的冠以某某主义的标签，而是要把理论融入实践，体现在指导实践上.在数学教育的实践研究上，张奠宙先生提议“上通数学，下达课堂”，把“数学的学术形态转化为数学的教育形态”，这指出了我国数学教育研究的一个正确的方向.
本文正是在行动研究的思想影响下，进行的关于“数学教学研究与实践”的研究生课程教学中一个内容的概括总结，以期在数学教育的行动研究上做一点实实在在的工作.
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