实施局部探究，提升复习课的有效性——高三“一轮”复习《抛物线》的教学片段及感悟，本文主要内容关键词为：抛物线论文,局部论文,片段论文,有效性论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
高三数学复习课，如何把“探究”元素融入有效性教学中，我们课题组作了一些有益的尝试：在有意义接受式学习的基础上，进行局部探究，即根据教材的特点，选择若干个局部探究的“点”，一堂课安排5～20分钟，在教师的组织、引导下，让学生经历自我探究与合作交流的过程，在知识、能力和发展三维目标中找到最佳结合点。下面以江苏省太湖高中何英老师执教的高三“一轮”复习课《抛物线》为载体，谈谈高三数学复习教学中实施局部探究的做法，供大家参考。
一、片段摘录
【片段1】（基础训练题1、2）
师：请看学案第1、2题，怎么解？结果是什么？
题1 抛物线
的焦点坐标为＿＿，准线方程为＿＿。
题2 若直线y=k(x-1)过抛物线
焦点，则抛物线方程为＿＿。
学生回答后师生共同归纳出：(1)抛物线标准方程四种形式、焦点坐标和准线方程；(2)一个定量条件即可确定抛物线的标准方程。
【片段2】（基础训练题3及变式）
题3 抛物线
上的点A到抛物线焦点的距离为5，则A到y轴的距离为＿＿；A到x轴的距离为＿＿。
先让学生画图、思考，再请学生回答。教师作适当提示并板书：重视抛物线定义的运用。
变式 已知抛物线
的焦点为F，定点P(4,-1)，在抛物线上找一点M使PM+MF最小，则点M的坐标为＿＿，最小距离为＿＿。
探究1 对两个动点P、M的位置实施局部探究
教师先请学生独立思考，有困难可与同桌合作探究，2分钟后交流。
生D：先作图。可判断出点P在抛物线内部。
师：理由是什么？
生D：将x=4代入抛物线方程，得y=±2，即(4,±2)在抛物线上，因此点P(4,-1)在抛物线内。
生E：准线为
，过点P作准线的垂线，垂足为C，PC与抛物线的交点即为所求的点M。求得点M的坐标为(1,-1)，最小距离为
。
师：为什么(1,-1)就是要找的点M呢？
生E：若在抛物线上任取一点M'不同于点M，过M'作准线的垂线M'C'，垂足为C'，由M'F=M'C'得，PM'+m'F=PM'+M'C'，由图易知，PM'+m'F=PM'+M'C'＞PM+MC=PC。即当P、M、C三点共线时所求的距离最小。
师：很好！还是利用定义，并结合平面几何的知识求解。从这里我们能够体会到：定义在解决问题中可以发挥出十分重要的作用，今后解题时一定要注意联想定义，学会运用定义。
【片段3】（典例分析的例1和3个变式）
例1 一个正三角形的三个顶点都在抛物线
上，其中一个顶点在原点，求这个三角形的面积。
让学生思考、尝试，教师巡视，过2分钟后请学生回答，学生I上黑板画图。
探究2 对“对称性”实施局部探究
第一步，提出问题
师：你画出这张图的依据是什么？
生I：感觉应该是对称的，因为抛物线和正三角形都具有对称性。
师：很好！这样对称放置的正三角形必满足题意，那么抛物线中是否存在不关于y轴对称的内接正三角形呢？
第二步，实施转化
将原问题转化为更易操作的问题。要证内接正三角形△OPQ关于y轴对称，只要证P、Q两点的纵坐标相等即可。
第三步，展示过程
学生探索2分钟后，展示其探究成果（由OP=OQ及，可得了
）。
第四步，结论引申
师：这个结论能推广吗？
生（齐答）：能！抛物线
的内接正三角形必关于对称轴对称。
师：请继续解答例1。
生I：由正三角形及对称性，可设
，代入抛物线方程得
，所以
。
师：还有其他方法吗？
生J：可以把顶点看做是直线与抛物线的交点，由对称性及正三角形的特点，知
，所以
，联立抛物线方程得交点坐标
（下略）。
师：由上面的研究，你对抛物线的内接特殊图形还能联想到哪些问题，可得哪些结论？
学生很快提出以下问题：
问题1 抛物线
的内接等腰三角形是否一定关于y轴对称？
问题2 抛物线的内接直角三角形，已知一边边长，能否求其面积？
问题3 抛物线
(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，已知斜边长和一条直角边所在的直线方程，求抛物线方程。
教师对学生的探究精神表示了高度的肯定和赞赏，并对学生提出的问题稍作整理，得到以下三个变式：
变式1 抛物线的内接等腰三角形如何放置？如抛物线的一个内接等腰△OPQ面积为12，O为坐标原点，则这样的三角形有几个？
变式2 已知抛物线
有一个内接Rt△OAB，直角顶点O为原点，OA所在的直线方程是
，求△OAB的面积。
变式3 已知抛物线(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长是
，一条直角边所在的直线方程是y=2x，求抛物线方程。
探究3 对变式1中抛物线内接等腰三角形的个数实施局部探究。
具体操作：
第一步，让学生独立思考2分钟。
第二步，小组合作，根据需要进行分组。
第三步，学生交流与展示。
师：请各组派代表谈谈你们的解题思路。
小组A：分成两类，(1)若P、Q关于y轴对称，转化为例1的问题；(2)若P、Q不关于y轴对称，感觉到有对称的两个，如何求解，还没有想好。
小组B：对于(2)，如图，若两点P′、Q′不关于y轴对称，设动点Q′(x′,y′)，则OQ′方程、OQ′的中点M的坐标都可以表示出来，OQ′的垂直平分线l与抛物线交于点P′，则△OP′Q′为等腰三角形，其面积可用x′、y′表示，因x′、y′满足
，试了一下，运算很繁。由于对称性，要么有两组解，要么无解。因此，结论可能是三组解，也可能是一组解。
小组C：我们的结论与B组一样，但解决的思路有所不同。如图，以点P″为圆心，OP″为半径画弧交抛物线于点Q″，则△OP″Q″为等腰三角形，根据对称性，应有三组解。
第四步，教师用《几何画板》演示，显示果然有三组解。
变式2、3请两位学生说说思路，具体解答留作课后作业。
第五步，师生小结。解决抛物线的内接几何图形相关问题：(1)充分利用图形的几何性质；(2)借助图形的直观性和坐标思想解决。
【片段4】（典例分析的例2）
例2 
上有两点A、B在x轴上下两侧，F为焦点，FA=2，FB=5，在AOB这段曲线上求一点P使△APB面积最大，求这个最大值及此时P的坐标。
师：这是抛物线内的一个斜三角形问题，想一想，如何解决呢？
教师巡视，发现大部分学生能由基础题3的定义法很快得出A、B。
学生回答后，教师追问：原问题可以转化为一个什么具体问题？
生H：在AOB这段曲线上求一点P，使点P到AB的距离最大。
师：这个距离如何求呢？
探究4 对难点、易错点实施局部探究
（思路1）代数角度
生L：y=-1能取到吗？
生M：能取到，但应先求范围。
师：生L的质疑意识很好，生M范围先行，确保了运算的正确，都值得大家学习。
（思路2）几何角度
第一步，猜想，验证
生N：作AB的垂直平分线，与抛物线的交点Q到直线AB的距离最大。
教师用《几何画板》作图发现，不是点Q。指出猜想不一定成立。
第二步，观察，议论
不少同学在继续思考，部分同学从演示中感觉到Q旁边的点到直线AB的距离最大。
师：你的根据是什么？
生O：作AB的平行线与抛物线相切，切点就是要找的点。
同学们在点头肯定，教师用《几何画板》演示、印证。
第三步，解答，对比
师：想想，如何求这个切点呢？一般地，直线与曲线相切是如何处理的？
师：请同学们对比两种思路，本题的处理策略，运用的思想方法，都值得我们好好品味！
【片段5】（小结与作业）
师：本课重点是运用定义法和联立方程组解决相关问题，实施了一些局部探究，彰显了大家的智慧。
二、教学感悟
从上面的教学片段中，笔者感受到：实施局部探究，是提升复习课有效性的一个重要的途径。那么，在复习课的教学中，怎样实施局部探究呢？
1.精心选取局部探究“点”
运用局部探究的方法实施复习课的教学，选准局部探究的“点”非常重要。为提高课堂探究的有效性，需要关注以下两个要素：(1)学生实际。教师对于所教班级学生的学习的水平、潜能、兴趣等要深入了解，做到心中有数，因为实施教学有了针对性才能实现有效性。(2)教材特点。要求教师对所教内容、课型以及重、难点等作深入钻研，因为它是提升课堂教学有效性的基础。在综合分析的基础上，精心预设局部探究的“点”。
就本节课而言，教学对象是江苏省四星级重点中学的文科班学生，基础较好，学习数学的积极性高。作为高三数学的“一轮”复习，《抛物线》这一内容的考纲要求是：了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；教学重点是：抛物线的定义及其简单几何性质；教学难点是：灵活运用抛物线的定义及性质解决问题。因基础题1、2是对抛物线标准方程及焦点、准线等的复习，属于知识回顾；基础题3是运用抛物线定义的常见问题；例1的变式2、3是联立方程组的常规问题，难度较低，只作为学生的巩固练习；例2前半部分得到定点A、B，AB的长度和AB的方程，前面已有铺垫，这些内容不用探究，只要学生练一练、老师讲一讲即可。本课主要针对下列四个“点”实施了局部探究：(1)关于抛物线定义及其运用。因回归定义能体现基础性，用定义处理问题能简化运算，两者兼具即构成重要的考点，复习时有必要强化。(2)对于例1中抛物线的内接正三角形为什么呈对称状？大部分学生不很清楚，为了今后能有效迁移，有必要设为小专题实施局部探究。(3)例1的变式1“抛物线内接等腰三角形的个数”本身就是一个不确定性的探究型问题，具有一定的开放性，组织好探究才能取得较好的效果。(4)例2是如何确定给定曲线上一点P到定直线AB的距离最大，可以从数、形两个角度进行，因角度不同，解答的难易程度也不同，需对比；二次函数绝对值的最值问题是学生的易错点，有必要让学生试误、辨析。
2.选用合理的探究形式
根据以上探究的“点”，考虑采用何种形式，预留多长时间。有的知识点或方法只要教师做点提醒，学生略作思考、动手画草图或代入数据检验即可（如点P的位置）；有的问题因个人的局限性，需要同伴的讨论、合作交流才能完成（如探究3）；有的问题涉及面广或为学生的疑难，需要教师的必要提示，再通过师生或生生之间对话，互相启发、互为补充（如探究4）；有的问题因具体解答的数据很繁琐，若定量研究，则耗时太多，因此改为定性探究，并辅助于《几何画板》的验证（如探究3）。有的问题需要经历“提出问题→猜想、验证→议论、解决→对比反思”的完整探究链。有的局部探究由课内延伸到课外（如探究3）。有的探究性材料不仅仅由教师提供，也可让学生根据当前问题联想、提出新问题，体现了学生是探究性学习的主人（如探究2中得出的几个问题）。当然教师还应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，或通过日常生活情景提出数学问题，进而提炼成探究性学习的材料。
3.有效整合局部探究与有意义接受式学习
有意义接受式学习的特点是以教师讲题、学生练题为中心，侧重接受、联系、记忆，“双基”训练扎实，课堂容量大，时间可控，但对知识的发生过程揭示得少，缺乏发现式教学的探究、合作，不利于学生能力的培养和发展。为了追求复习教学的有效性，需要处理好局部探究与接受式教学的关系，做好整合。
(1)吸取复习课的成功经验。对于高三“一轮”复习教学中的知识点，如本课抛物线的标准方程、焦点、准线等，运用“扫雷式”复习，以体现基础性；注意与其他相关知识点——函数最值、三角、几何等的结合，以体现联系性和综合性；对知识要点、思想方法和解题策略适时进行归纳和延拓，以体现系统性；让新颖与熟悉结合（如内接等腰三角形和直角三角形），交替呈现，以减少复习的疲惫感等。以上这些，都是复习课有效性的具体体现。
(2)精选教学内容，控制探究时间。由于探究式学习要比接受式学习多费时间，而时间是有效性的重要元素。因此，一方面例题、练习要精选，难度不宜过大，否则，预留探究的空间就小了，气氛也难以活跃，如本课的基础题及典型例题1、2，符合学生的实际，难度适中；另一方面局部探究的“点”要控制好时间。有的只需1分钟，有的需要5、6分钟。如本课例1中变式1的运算很繁，费时多，不适宜定量探究；研究完例1后让学生提出问题，教师做适当的整理和改编，或课内探究，或课后思考，凸显教师的专业引领；由于例2前半部分得出定点A、B等属于巩固旧知，则快速进行。可见，把握好探究的“度”对实施局部探究教学显得尤为重要。
当然还要根据课堂学生的生成情况作出必要的调整，以提高教学的针对性，提升复习课的有效性。