注重数学素养 关注可持续发展——2006年新课程中考数学试题特点分析，本文主要内容关键词为：新课程论文,素养论文,可持续发展论文,中考论文,数学试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2006年新课程中考数学试题倍受关注，试题的质量直接关系到课程改革的进程，影响着今后的初中数学教学。笔者研究了2006年部分课改实验区的中考数学试题，试题关注了学生的知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观的全面考查，其特点突出体现在以下几个方面。
一、注重考查最基础、最核心的内容，体现数学课程的基础性、普及性、发展性
基础知识、基本技能和基本数学思想方法是学生继续学习和进一步发展的基石，是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中最基础、最核心的内容。因此，各课改实验区试题坚持“切入容易，基础性强”的原则，力求使试题面向全体学生。大部分选择题、填空题和解答题都立足考查学生的基础知识、基本技能和基本数学思想方法。
1.注重《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中最基础、最核心内容的考查，体现基础性、普及性、拓展性和广泛性
对于基础知识和基本技能等核心内容，不是考查学生的机械记忆能力和一些特定的解题技巧，而是将考查的重心放在学生对数学知识的理解和运用上，突出知识间的内在联系，关注学生的可持续发展。
例1 （2006年辽宁省十一市）如图1，用三个边长为a的等边三角形拼成如图所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形（图中的1，2，3，4部分）。然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形。如此重复下去……求第n次截得的一个等腰梯形的周长和面积。
【点评】这是一道图形分割和探索规律问题，关注学生对数学关系的理解和解释。此题渗透了对基础知识的一种新的考查方法，即在探索性活动中考查学生对基础知识（图形全等、三角形中位线、梯形等）的理解水平，同时考查学生的合情推理能力。
例2 （2006年吉林省）如图2，小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作。
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球，量桶中水面升高______cm；
(2)求放入小球后，量桶中水面的高度y(cm)与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
【点评】此题改变了传统的函数、不等式问题的呈现方式，通过新颖、活泼的图片信息创设问题情境，学生在欣赏图片的过程中，读取了相关的信息，感受到数学的广泛应用，发展良好的数学观。此题考查了学生收集、分析、处理信息的能力和应用函数和不等式模型解决实际问题的能力。
2.注重各领域知识的考查，体现全面性和均衡性
各课改实验区试题还注重了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中规定的数与代数、空间与图形、统计与概率三个领域内容的比例分配，并将课题学习的内容渗透到其他领域之中考查，体现了考查的全面性，对今后的初中数学教学起到了很好的导向作用。经过调查和统计，笔者发现各领域内容在试卷中的分数分配比例大约为2:2:1或3:3:1。
3.突出数学思想方法的考查，体现发展性
数学思想方法是数学的本质属性，是学生数学素养的集中体现，它对学生进一步学习和发展起着举足轻重的作用。各课改实验区试卷都非常重视数形结合、化归、分类讨论、统计等数学思想方法的考查，促进了学生数学能力的形成和发展。
例3 （2006年锦州市）如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4，0)。∠AOC=60°。垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方）。
(1)求A，B两点的坐标；
(2)设ΔOMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求。S与t的函数表达式；
(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
【点评】此题是动直线与列函数关系式相结合的综合题，突出考查了学生的探究能力，同时，通过对直线l不同运动位置的讨论，既考查了三角形、菱形、函数等核心内容，又考查了数形结合、分类讨论等思想方法的运用。
二、试题突出能力立意，考查学生的数学素养，关注学生的可持续发展
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出：“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。”它明确了义务教育阶段学生数学学习过程中应该具备的六个核心能力。初中毕业数学学业考试的目的就是全面、准确地评估初中毕业生达到《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》所规定的数学学业水平的程度，因此，考查数学的六个核心能力是试题追求的主要目标。综观2006年的试题，我们可以从中看到，命题者力求从考查学生的能力出发，根据学生能力的需求选择适合的知识载体来编制试题，这是中考命题技术日趋成熟的结果。
1.注重考查建模能力，培养学生的数学应用意识
建模能力是学生数学素养的综合体现，我们发现各课改实验区的中考试卷都注重了从多方面考查学生将生活中的实际问题抽象为数学问题、建立数学模型、进而解决问题的能力。
例4 （2006年青岛市）“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元。60座客车的租金每辆为460元。
(1)若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？
(2)若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金。请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。
【点评】以学生日常旅游的现实问题为背景设计试题，具有很好的现实性和应用性。此题考查了学生建立数学模型的能力以及运用数学知识解决问题的能力，同时较好地考查了学生对数学知识的理解水平。
2.注重对学生探究能力和迁移能力的考查
有效的数学学习过程不能单纯地依赖于模仿和记忆，应该通过观察、操作、猜想、验证、推理等数学活动，形成对数学知识的理解，从而使知识得以内化、方法得以迁移、能力得以形成。从2006年的中考数学试题，我们看到各课改实验区加强了对学生探究、迁移能力的考查。
例5 （2006年锦州市）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，如图4所示。方法是：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于
的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB。则ΔABD就是直角三角形。
(1)请你说明其中的道理；
(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）。
【点评】此题考查了学生用已学的概念、定义、公式审视生活中的现象，发现新的问题和新知识的能力以及利用发现的新知识解决相关问题的能力。
3.注重对收集信息、处理信息能力的考查
收集信息、处理信息，并利用信息作出决策和预测是学生必须具备的能力之一，也是当今信息社会对人们的基本要求。今年，各课改实验区的试题力求多角度地考查学生收集信息、处理信息的能力。
例6 （2006年江西省）某文具店销售的水笔只有A，B，C三种型号，下面表格和统计图（如图5所示）分别给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量。
A，B，C三种水笔每支利润统计表水笔型号
A
B
C每支利润／元
0.6
0.5
1.2
(1)分别计算该店上月这三种型号水笔的利润，并将利润分布情况用扇形统计图表示；
(2)若该店计划下月共进这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A，B，C三种型号的水笔各进多少支总利润较高？此时所获得的总利润是多少？
【点评】此题考查了学生从统计表和频数分布直图中收集、分析、处理信息的能力。通过此题的解答，能较全面地考查学生的统计观念。
4.注重考查综合运用数学知识的能力
各课改实验区在设计试题时，注重了主干知识的网络交汇，以体现核心内容对学科知识的统领和支撑作用，充分体现了数学基础知识的综合应用。
例7 （2006年山东省）如图6，边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形。设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图像应为（
）。
【点评】此题考查学生在图形运动过程中探索规律、把握图形变化的能力，涉及到的知识既有图形的平移，又有函数及其图像的基础知识，体现了学生对动态几何中量的代数规律的理解，是数与代数和空间与图形知识的综合应用的典型范例。
三、试题注重从学生的生活中开发数学资源，体现处处有数学的理念
试题力求体现数学的应用性，把基础知识放在联系生活实际、社会热点问题之中考查，引导学生将所学知识应用到生活实际中，使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，用数学的眼光去看世界，为今后的发展打下扎实的基础。在设计试题时，命题者尽可能以生活中学生熟悉的实际问题为载体，充分体现了“在生活中用数学，从数学走向生活”的新课程理念。
例8 （2006年锦州市）锦州市疏港快速干道（锦州至笔架山）将于2006年8月正式通车。届时锦州至笔架山的公路运行里程将由目前的34千米缩短至28千米，设计时速是现行时速的1.25倍，汽车运行时间将缩短0.145小时。求疏港快速干道的设计时速。
【点评】锦州市疏港快速干道的开通是锦州地区的一件大事，是锦州市政府的形象工程之一。以这样的素材为试题的命制背景，使学生在作答过程中，感到亲切、熟悉，从而轻松、顺畅地解答问题。同时此题也使学生体会到了生活中处处有数学，处处用数学，学习数学会使我们的生活更美好，学习数学能发现生活中的问题、解决生活中的问题。
四、试题加大探索性、开放性问题的力度，培养学生的创新思维能力
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出，要培养学生观察、实验、比较、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例的能力。2006年各课改实验区的中考数学试题中，探索性、开放性试题的比重呈上升趋势。这类问题深刻地诠释了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的理念，较好地考查了学生过程性目标的达成情况。
例9 （2006年河北省）如图7，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转。
(1)如图8，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若三角尺GEF旋转到如图9所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
【点评】此题通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力。此题关注了学生认识数学对象的过程与方法。
为了考查和培养学生的创新思维能力，各课改实验区的中考试题中也越来越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答，亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解。同时，开放性试题对学生创新能力的形成起着重要的作用，这将对今后的初中数学教学起着正确的导向作用。
例10 （2006年锦州市）若多项式
能用平方差公式分解因式，则单项式M=____________（写出一个即可）。
【点评】此题是条件开放性问题，填上的单项式M只要与
组成的多项式能用平方差公式分解因式就符合题设要求。由于学生的学习经验和思考角度不同，此题必然会出现多样化的答案，也会展现出学生对平方差公式的不同理解水平。
五、试题关注不同认知水平、不同层次学生的发展要求
考虑学生认知水平的不同，一些课改实验区的中考试题，尽可能地尊重学生的差异，给学生以更多的自主性，让不同类型、不同水平的学生尽可能地展现自己的数学才能。
例11 （2006年江西省）
问题背景
某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图10，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图11，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN；
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③如图12，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN。
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；
（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分。）
(2)请你继续完成下面的探索：
①如图13，在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）
②如图14，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
【点评】此题从学生熟悉的正三角形、正方形和正五边形入手，设置了不同思维水平的小题，给学生创设了层次分明的选择空间，体现了以人为本的新课程理念，关注了学生的个性差异，也考查了学生的类比与迁移能力，引导学生从一些特殊的现象出发，发现、归纳、总结形成规律，再运用规律解决问题或对未来事件作出合理预测与判断。培养学生能对问题进行类比、联想、反思，能合理地评判自己的思维过程，总结、提炼已有经验形成规律，是数学教育追求的核心价值观。
例12 （2006年大连市）早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图15是他们离家的距离y（米）与时间x（分）的函数图像。妈妈骑车走了10分时接到小欣的电话，立即以原速骑车前往小欣学校，并与小欣同时到达学校。已知小欣步行速度为每分50米，求小欣家与学校的距离及小欣早晨上学需要的时间。
图15
【点评】此题从形式上看是函数问题，但解答方法却是多样化的，学生可以通过函数模型求解，也可列一次方程求解，也可以建立几何模型求解。此题为不同认知风格的学生提供了表达自己对相应数学知识理解的机会，给学生的自主选择提供了广阔的空间，不同思维水平的学生，可从不同的角度入手，代数基础好的学生可以利用方程或函数来解决问题，几何基础好的学生可以用解直角三角形的相关知识解决问题。体现了解题策略的开放性。因此，此题较好地体现了试题和求解方式的公平、公正原则。
综观今年新课程中考数学试卷，我们看到命题者或是通过试题条件、结论的开放，或是评分标准的开放，或是试题解法的多样性等方式关注不同学力水平和不同认知风格学生的差异，实现了个性化的数学评价。
六、试题注重本学科之间以及和其他学科之间的综合，体现学科的整合
各学科知识的整合既是课程改革的方向，也是培养学生综合素质及创新能力的有效途径。数学教学不仅要关注数学知识之间的联系，还应关注数学与现实世界、其他学科之间的联系，体现知识之间的整合性。2006年新课程中考数学试题不仅注意到学科内部知识之间的联系，同时也注意到与其他学科之间的联系。
例13 （2006年锦州市）小刚家装修，准备安装照明灯。他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当。假定电价为0.45元／度，设照明时间为x（时），使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为
（元）和
（元）［耗电量（度）＝功率（千瓦）×用电时间（时），费用＝电费＋灯的售价］。
(1)分别求出
与照明时间x之间的函数表达式；
(2)你认为选择哪种照明灯合算？
(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000时，一盏节能灯的使用寿命为6000时，如果不考虑其他因素，以6000时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？
【点评】此题是一次函数知识与物理电学知识相结合的综合性问题，体现了学科知识之间的内在联系。解答此题时，学生必然要理解相关的数学知识与物理知识。因而能较好地考查学生的综合素质和综合能力。
总之，2006年各课改实验区的中考数学试题与往年相比，命题思想和原则更加符合《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的理念和要求，试卷的效度和信度在不断提高。试题越来越贴近学生的生活实际，体现数学学科的本质，在加强基础知识与基本技能考查的同时，注重考查学生数学思考和解决问题的能力，体现人文关怀，关注学生的个性差异，为今后的数学新课程教学起到了正确的导向作用。我们有理由相信，通过一批致力于中考数学评价改革的有识之士的深入研究，2007年的新课程中考数学试题一定会更加科学、合理和公平。