随机波动率与跳组合情形的期权问题闭式解，本文主要内容关键词为：组合论文,期权论文,情形论文,闭式解论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O211.6
引言
在资产价格变动服从常值波动率的几何布朗运动的假设下，著名经济学家Robert C.Merton、Mvron S.Scholes和已故的Fischer Black于1973年发现了欧式看涨期权(European call option)的定价方法（简称B-S模型）。该方法是期权发展史上的里程碑，它为期权乃至其他衍生证券的定价打下了坚实的基础，使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据。Merton和Scholes因此而获1997年度的Nobel经济学奖。
然而，大量金融统计数据表明B-S模型与实际情形存在系统偏差，其中主要的两种不一致现象是：(1)由B-S模型确定的无条件报酬分布的峰度过小；(2)实际观测到的资产价格分布的两条拖尾曲线都比B-S模型假设的对数正态分布要宽，即存在隐含波动率“微笑”(implied volatility smile)的现象。为改进B-S模型、达到与实际相符的目的，目前文献上提出了许多方法，主要集中于如下两方面的推广：一是对于报酬过程引入随机跳，得到跳-扩散模型，例如，Merton[8],Aase[1],Frey[3]等；二是假设波动率是随机的，得到随机波动率模型，即允许报酬过程的波动率表现为某种随机过程，例如，Hull & White[5],Maghsoodi[7],Romano & Tonzi等，相对完整的论述可见Alan L.Lewis于2000年出版的最新专著“Option Valuation under Stochastic Volatility”。但实证表明（参见Das & Sundaram[2]）：虽然随机波动率假设更接近真实，二者效果均不太理想。
容易想到，随机波动率模型与跳-扩散模型各有优缺点：跳-扩散模型能很好地刻划各种重大突发事件对资产价格的影响，如新的发明发现、突发战争、自然灾害、新的经济政策的宣布实行、以及国际国内形势的突然变化等因素对资产（如股票）价格产生的剧烈影响，纯粹的随机波动率模型是不能迅速反映这种影响的；另一方面，在没有重大事件到来时，跳-扩散模型中的常值波动率与实际相违背，这已成为不争的事实，此时，随机波动率模型却能较好地解释资产价格的变化。因此有充足的理由认为，将跳-扩散模型与随机波动率模型组合得到的模型更能充分地反映资产价格的变化规律。然而，在文献上我们还没有发现对这种组合模型的讨论，我们认为这是因为：即使仅仅是随机波动率模型，一般也是很难得到闭式解的，而要得到这种组合模型的闭式解显然要困难得多。
下面我们在第一节引入这种组合模型，其中随机波动率为对数正态过程，而随机跳部分为相应平稳Poisson点过程的复合Poisson过程，同时在第一节也给出了一些重要的引理；在第二节给出该模型下欧式看涨期权定价的闭式解。
一、模型及若干引理
注1 当θ=σ=0即过程Y恒为常数（常值波动率）时，我们便得到著名的Merton[8]跳-扩散模型。当λ=0即过程
时，我们便得到Hull & White[5]、Maghsoodi[7]及Romano & Touzi[9]的随机波动率模型，其中[9]及[7]允许过程W与过程B可以是相关的，[5]与[9]没有得到期权问题闭式解，而是采用近似与模拟的方法。
注2 由于波动率不是可交易资产，毫无疑问这里的市场模型是不完备的。因而等价鞅测度（又称风险中性测度）以及相应的价格过程是不唯一的，即我们不可能得到与投资者风险态度无关的唯一定价。然而，由期权定价理论公平的价格一定等于某个等价鞅测度所确定的风险中性定价。因此，问题等价于从所有等价鞅测度中选择一个“正确”的鞅测度，而这里的所谓“正确”程度与投资者的风险态度是有关的。对于诸如此类不完备市场，目前已成为数理金融学研究的一个热点问题，已有许多不同的研究方法，例如：(1)在某个特殊鞅测度下得到一些特定的定价公式（参见Romano & Touzi[9]及Maghsoodi[7])；(2)在局部风险最小准则下讨论局部风险最小策略（参见Schweizer[10]）；(3)在全局风险最小准则下研究“均值-方差”最优策略（参见Gouriéroux et al[4]）。
下面旨在给出等价鞅测度。定义过程
，这里
注5 推论1是Merton[8]跳-扩散模型的定价公式；推论2是Maghsoodi[7]当过程W与B不相关时的结论。
致谢：感谢审稿人的宝贵意见。