“对数的概念”教学设计与教后反思，本文主要内容关键词为：对数论文,教学设计论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教材内容的理解与学习目标的制定
1.教材的地位和作用分析
“对数函数”作为学生进入高中后学习的第2类重要函数模型，被安排在必修①第3章“指数函数、对数函数和幂函数”的第2节，共分3个课时完成.“对数的概念”又是第2节中第1课时内容，对于高一学生来讲是一个全新的概念.此前，学生已经学习了分数指数幂及指数函数，知道了开方运算就是已知指数和幂求底数，而本节课将学习的对数则是已知底数和幂值反过来求指数.对数的概念的学习既能加深学生对指数式的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习打好基础，起到了承前启后的重要作用.
2.学习目标
①通过具体实例体会学习对数的必要性，通过挖掘内涵达成对数概念的理解；
②会熟练地进行指数式与对数式的互化，并掌握求解对数的值的一般步骤；
③感受化归与转化的数学思想方法，学会用相互联系的观点看问题.
3.学习重难点
①学习重点：对数概念的理解，求对数值的一般步骤.
②学习难点：对数符号语言的运用.
4.教学方法与教学技术
①教学方法：问题驱动法——设计问题串，引发学生数学思维活动.
②教学技术：计算机辅助教学.
二、教学过程的设计及其意图
（一）课前导入，数字游戏
已知下面两行数字，第一行表示2的指数，第二、三行表示2的对应幂：
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，…
1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048.…
如果我们要计算第2行中两个数的乘积，那么只需要通过第1行对应数字的和来实现.你相信吗？你知道其中的数学原理吗？
设计意图：这个数学游戏，一方面激发学生的好奇心，产生问题意识，尽快地进入学习状态；另一方面这是400年前苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550-1617年）首先发明了这种计算方法，重温对数发明的历史.实际教学表明，学生的兴趣与悬疑一下子被激发出来了，而且很快找到了其中的数学原理：
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（二）创设情境，引出概念
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，以此类推.设1个这种细胞经过x次分裂后，细胞的总数为y个，试写出y关于x的函数关系式.
（1）分裂5次后，细胞的个数是多少？
（2）分裂多少次后，细胞的个数为64？256呢？1024呢？
（3）这类问题有哪些解决方案呢？
2.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩余的质量是原来的84%.不妨设该物质最初的质量为1，经过x年后，剩余质量为y，请写出y关于x的函数关系式.
（1）经过3年后，这种物质的剩余量是多少？
（2）经过多少年后，这种物质的剩余量是原来的一半呢？
（3）这类问题又有哪些解决方案呢？
3.你能写出一个式子，概括出上述遇到的所有问题吗？这是一类什么样的问题？
设计意图：利用上节课中遇到的两个具体实例提出新的问题，温故而知新.问题1可以逆向估算，问题2可以借助指数函数图象求近似解.但是数学上更希望顺向求解，或者表示出准确解，怎么办呢？从而提出了一类新问题：已知底数a和幂N，求指数x.一般形式为：
=N.此时指数x就是我们要寻找的与幂N对应的数，简称为对数，这也就是我们本节课要研究的课题，体现了学习对数的必要性问题.实际教学中，问题1学生能够逆向估算出结果，反映学生数感很好；问题2学生遇到障碍，无从下手，课前预设的图象法求近似解只好跳了过去，但是这越发体现了研究这类问题的迫切性；问题3学生给出的一般形式为=b，教师指出
b=N更具有代表性，从而自然地进入下一个环节.
（三）学生活动，精致概念
1.在指数式=N中，
（1）已知b，N，求解a.这是一种什么样的运算方式？使用什么样的数学符号表示？
譬如，已知
=2，求解a.
（2）已知a，N，求解b.这又是一种什么样的运算方式？使用什么样的数学符号表示？
譬如，已知
=5，求解b.
设计意图：如何让对数的概念给出更为自然呢？笔者认为上一节内容中学习的根式就是一个非常好的引导性材料，为此设置了一个“并列组织者”，营造一个类比学习的氛围.这样从开方运算到对数运算，从根式符号a=
到对数符号b=
，新的数学符号引入及其表示就呼之欲出了，也让学生经历了数学符号的引进过程.实际教学表明，学生对于引入的新符号既感觉非常新鲜，又能够心悦诚服地接受它！
2.对数的概念
一般地，如果=N（a＞0，且a≠1），那么b叫做以a为底N的对数.记作：
N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
3.对数概念的精致
（1）数学符号N表示什么意义？怎么读？怎么规范地书写？
（2）运用对数的概念，尝试解决下列问题：
①在指数式
=0.5中，你能表示出对数x吗？
②已知
=5，按照对数的定义，在3，5，t中哪个数叫对数呢？
（3）=N与N=b表示三个量a，b，N之间的同一关系，你能说出两个式中每个字母的名称吗？
（4）对于两种特殊的对数，你能熟悉其记法与读法吗？
①通常将以10为底的对数称为常用对数，并把
简记为lgN；
②在科学技术中，经常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，称为自然对数，并把
N简记为lnN.
设计意图：让对数概念的给出遵循从特殊到一般的认知规律，尽量让学生先给出一个定义，再逐步完善.本环节的关键是设置了4个子问题构成的问题串，通过多角度、多层面、立体式挖掘对数概念的内涵与外延，促使学生对于抽象概念有了具体，深刻、明确的认识，这是一个从一般到特殊的认知过程，为下个环节的数学应用做好铺垫.同时，教师调整教材内容呈现的顺序，为后续的概念应用拓展了研究空间.实际教学表明：学生对于数学符号N表示的意义，怎么读，怎么规范地书写遇到了困难.笔者让学生联想补集符号
来理解对数符号N的意义，联系对数的英文单词logarithm的缩写来明白“log”的意义，联想英文单词书写中的“四线三格”来规范书写N，从后面学生的板演与交流来看效果非常好.
（四）数学应用，理解概念
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
设计意图：例1的功能就是从概念出发解决问题，解题就是针对概念的理解与应用.笔者把教材中两个例题合二为一，既避免了题型过于单一，又做了针对性的补充.实际教学表明：学生对于指数式化为对数式较为熟练，基本上都能够一步到位；但是对数式化为指数式则遇到障碍，尤其是第（7）（8）两题，反映了学生对于数学符号lgN和lnN认识比较模糊，甚至出现混淆.笔者引导学生把lga=-1.699先还原成
=-1.699，把ln10=2.303先还原成=2.303，再化为指数式，从而顺利突破了难关.
例2 求值：
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变式题：求值
归纳总结：①1=0，即1的对数是0，为什么呢？
②a=1，即底数的对数是1.为什么呢？
③在N=b中，字母a，b，N的取值范围分别是什么？
设计意图：例2的功能是运用对数的概念解决简单类型的对数求值问题，调整教材中例3的内容，目的是突出了求解对数值的一般性步骤：一设（建立对数式）；二化（化对数式为指数式，化生为熟）；三解（解指数方程）；四答（回代作答）.变式题，通过两组特殊对数值的求解，归纳概括出对数的2条性质，进而比较自然地研究了对数式N=b中，字母a，b，N的取值范围.实际教学中，笔者让一位听课精力集中的学生到黑板上板演，结果这位学生自主地给出求的值的基本过程.课堂巡视中发现有近3成的学生人都能够独立完成，在板演的基础上，笔者引领学生纠正完善，强调解题过程的规范书写，并引导学生归纳解题四步骤，教学效果明显比教师讲解之后学生模仿训练要好得多.变式题的求值学生先是口述解题步骤，继而产生顿悟.进而归纳出对数运算的两条性质，背后的原因则是化归为指数恒等式：
最后自然地给出了对数式N=b中字母a，b，N的取值范围，完善了对数概念的外延.
（五）回顾反思，升华概念
1.通过本节课的学习，谈淡您的收获与感受？
2.根据对数的概念，要解决本节课的起始问题，就只要计算的值x=
0.5；那么怎样计算0.5的值呢？请你带着这个问题，预习下一节内容——对数的运算性质.
设计意图：问题1是一个开放性问题.学生可以谈所学习的知识，也可以提炼解题中所运用的数学思想方法，还可以谈对于数学的感受与体验.问题2是封闭性问题，指向明确，提出一个本节课悬而未决的问题，让学生带着更新的问题离开课堂.实际教学中，由于笔者注重了板书设计的规划性与条理性，黑板上依次呈现出课题——定义——互化——特例——性质，学生对于本节课的知识体系已经一目了然.
三、教学后的反思
课后，有的老师给予了鼓励，有的老师争先恐后地要拷贝课件，也有几位老师的话语深深地烙在我的心头.有的说：这节课问题设计很精彩；有的说：课件非常简洁；有的说：辅仁高中的学生的数学能力很强；还有的说：教师驾驭课堂很大气，等等.聆听老师们的溢美之词，笔者认为这节课在以下几个方面进行了成功地探索.
1.精心研读教材，设计好问题串
接到上课通知之后，笔者就潜心学习著名特级教师于漪老师的备课经验“一篇课文，三次备课”.第一次备课，摆进自我，在不查看任何参考书的情况下，按照个人见解准备方案.笔者反复阅渎教材，初步拟定了教学过程的三大板块：一是设置问题情境，通过几个具体实例体会学习对数的必要性，从而引出课题；二是一定要对对数概念的内涵与外延进行深加工，要多角度、多层面地挖掘，从而实现对数概念的精致化理解；三是在运用中深化对于概念本质的理解，并归纳对数求值的基本步骤.第二次备课，广泛涉猎，查阅各种备课资料，不断修正原始方案.笔者查阅了人教版教材，首先发现对数的概念表述更为简洁：“一般地，如果=N（a，0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数.记作：N=x，其中a叫做对数的底数，N叫做真数”.一是省略了“a的x次幂等于N”的文字语言表述.二是用“x”突出已知底数与幂值求解指数.其次，对于两种特殊对数——常用对数和自然对数的处理顺序不同.人教版教材先做介绍，再通过例题当堂运用；苏教版教材例题处理后才做介绍，错失了运用的时机，也降低了例题的难度.第三次备课，边教边改.通过试上一次课，笔者深刻地认识到学生学习这节课的一大难点是“对数符号语言的识别、阅读、书写”，从而我把本节课教学难点确定为“对数符号语言的运用”.同时，在板书规划方面也做足功课，让书写帮助学生重温这节课的知识形成脉络，让书写便于提炼解题步骤.
有了三次备课打下的坚实基础，这节课共设计了三个问题串：第一个问题串是“创设情境，引出概念”中的3个子问题；第二个问题串是“对数概念的精致”环节中的4个子问题；第三个问题串是“数学应用，理解概念”中的例1与例2.这三个问题串构成了本节课的基本骨架，也是笔者反复磨课、洗课的结果.有了问题，学生的好奇心才能激发；有了问题，学生的思维闸门才能开启；有了问题，学生的探究活动才有载体.
2.精心组织活动，发展学生思维
设计好问题串，仅仅是完成了对教学内容的深刻解读，只是一节课成功的一半.教师只有通过组织恰当的数学活动，才能把冰冷的问题转化为学生火热的思考，把静态的问题转化为动态的创造.课堂教学真正的魅力在于针对问题组织好各种活动，通过师生之间良好的互动，让学生获得思维的经验与实践的经验.譬如.在课前导入环节中设计的“数字游戏”，由于笔者的精心组织与亲切互动，不仅融洽了师生之间的合作关系，消除了公开课的紧张氛围，而且激发起学生学习新知识的兴趣，挖掘了游戏背后的数学原理，充分发挥了先行组织者的功效.
3.精心取舍课件，发挥辅助功能
本节课的课件只有简单的15张片子，每张上基本上1～2个问题.课后不少老师要拷贝我的课件，问其原因，是课件非常简洁，拷回去参考学习.第一稿课件竟有20多张，而且每张上内容繁多.链接也不少.从教学效果来看，精心取舍后的课件，不仅简约美观，重点突出，而且没有喧宾夺主，让教师有更多的精力观察学生的神态举止、面目表情等变化情况，让教师能够设身处地站在学生立场看问题，想学生之所想，急学生之所急，让教师有时间去捕捉教学中偶发的、鲜活的教学资源.
4.精心预设学情，机智处理生成
课堂是一个充满变数的思维活动场域，生成资源的出现转瞬即逝，教师要善于捕捉、机智应对.譬如，在解决例1对数式化为指数式中第（7）、（8）题时，学生遇到了符号识别的障碍，课前没有考虑到这一点.笔者引导学生把lga=-1.699先还原成=-1.699，把ln10=2.303先还原成10=2.303，再化为指数式，从而让学生顺利突破难关.又譬如，对于例2求值：.原来设计是教师引导学生思考，通过师生互动完成解题过程.但是，笔者发现这个班级学生素质很高，而且课堂上非常专注，于是让学生先板演，然后请学生讲想法，最后师生共同纠正完善解题过程，不仅彰显了学生的主体地位，而且生成的内容更精彩，得到了不少观摩老师的肯定.
当然，课堂教学永远是一门遗憾的艺术，这节课也有不少缺憾.譬如，例2的变式题2没有来得及展示，这组题目的设置将拓展变量的不同位置空间，而且利用刚刚推导的对数性质进行解题，既提高了对数求值问题的思维量，又进一步加深对数概念的理解.再譬如，在“回顾反思、升华概念”环节中，本来可以形成认知升华的高潮，由于已经下课.只好仓促鸣金收兵.又譬如，这节课本来可以渗透更多的数学史，由于追求了概念生成的过程，这方面有所淡化，等等.