摘要：建立了多轴联动系统的同步误差模型，将交叉耦合结构等效为一种带敏感函数的模型，并用以分析耦合控制器对交叉耦合系统性能的影响。在Matlab/Simulink环境下对双轴和三轴交叉耦合系统进行仿真，验证了本文的分析结论。
关键词：多轴联动；交叉耦合；同步误差
1 引言
多轴联动系统广泛应用于各类精密机械加工、编织、缠绕及轧钢等机电一体化设备。随着自动化水平及生产工艺要求的不断提高，现有控制方式已不能完全适应现代化生产的需要。因此，研究开发高性能的多轴协调控制策略具有普遍的现实意义和广泛的应用前景。
现今的多轴联动系统存在两种较为典型的结构，一种是非耦合结构，另一种是交叉耦合结构[1]。前者各个单轴控制系统独立运行，相互之间的控制没有任何电气上的连接，每台电机各自跟踪给定的位置信号，这种结构较为简单，但是当各轴的位置输出出现不同步时，仅能依靠单轴控制器来矫正误差，这种情况下同步误差较大，不能满足一些对同步性能要求较高的应用场合；交叉耦合控制结构是将各台电机输出的位置信号进行比较，从而得到一个同步误差补偿信号，再经过耦合控制器进行放大后分别前馈到单轴系统的输入端，各轴都修正本轴的状态以与其它轴实现快速同步，系统能够很好地抑制因某一台电机输出受到扰动而出现的同步误差，从而获得良好的同步控制精度[2-4]。然而耦合结构中耦合控制器的增益受系统稳定性的限制不能设计得过大，否则会急剧恶化稳定性，因而设计耦合控制器时需要严格控制增益大小。
本文对双轴和三轴驱动系统进行了研究，根据工程实际定义了两种情况下同步误差的概念，然后推导了耦合环节引入前后同步误差的关系模型。由这一关系模型分析了耦合控制器所起的作用，并探究了过大的增益对系统稳定性的具体影响。最后，通过Matlab/Simulink环境下的仿真结果验证分析结论。
2双轴系统
2.1 双轴同步误差模型
在两电机联动实现位置轨迹控制的场合，X轴和Y轴的位移分别由两套电机系统执行，输出为两台电机转子位置角度，两台电机通过十字滑台或其他机械部件相连，将转子位置角度转换为X轴和Y轴的位移，共同实现被控制对象的二维运动轨迹。
设
T为被控对象期望达到的参考位置，P=[P1 P2]T为被控对象的实际位置，为目标位置轨迹的角度。
图1 双轴系统同步误差模型
理想情况下目标会沿着两台电机联动输出的位置信号运动，其路线为给定轨迹，然而实际情况中会由于各种扰动和控制精度的限制，实际运动的轨迹通常与给定轨迹存在偏差，由图1定义单轴跟踪误差e和双轴同步误差分别为
(1)
(2)
式中L=[-sinθ cosθ]为变换矩阵。由式(2)可知，双轴同步误差是由单轴跟踪误e1,e2和轨迹角度θ共同决定的。
2.2 交叉耦合控制系统
双轴交叉耦合系统中，X轴和Y轴系统的跟踪误差被转换为同步误差后经过耦合控制器前馈到系统输入端，通过双轴之间的耦合提升系统的同步性能，其结构如图2(a)所示。
图2 双轴交叉耦合控制系统
图2中
分别为X轴和Y轴电机调速系统的输入和输出转速信号，c为同步误差。C为耦合控制器，通常采用比例(P)控制，即C=kc；Gp1(s)，F1(s)，Gp2(s)和F2(s)分别为X轴和Y轴系统的位置环控制器和前馈控制器。交叉耦合系统中的X轴和Y轴均为带前馈的典型伺服系统，由调速系统，位置环控制器和前馈控制器组成。
引入交叉耦合环节前后，双轴系统的简化结构框图如图3所示，图3(a)为双轴并联运行的非耦合结构，图3(b)为交叉耦合结构。图中M=diag(M1，M2)，o为非耦合结构下的同步误差。
(a) 非耦合控制系统 (b) 交叉耦合系统
图3 控制系统简化框图
由图3(a)可得非耦合结构下跟踪误差和同步误差的表达式分别为
(3)
(4)
从图3(b)可得交叉耦合结构下同步误差c为
(5)
由矩阵求逆引理可知
(6)
将式(4)和式(6)代入式(5)可得
(7)
对式(7)再次应用矩阵求逆引理变换可得
(8)
式中F=(1 + LMLTkc)-1。
式(8)为交叉耦合系统的同步误差模型，描述了双轴系统引入交叉耦合环节前后同步误差的关系。定义F为同步误差传递函数，可以将F看作系统的敏感函数，用于交叉耦合系统的性能分析，当F的增益小于1时同步误差减小，同步性能提升。
另外，从式(8)中也可以看出，耦合控制器的增益kc的大小直接影响着F的值，通过调整kc能够达到减小同步误差的目的，但同时M的具体结构未知，通常M中会存在建模误差以及系统的扰动，因而当kc较大时式(8)所描述系统的稳定性难以保证。
3 三轴系统
图4 三轴系统同步误差模型
将同步误差的概念扩展到三轴系统中，图4中
为输入位置信号，
为实际位置，e和ε分别为单轴跟踪误差和三轴同步误差，均以向量形式表示，V为与给定轨迹同方向的单位列向量，L为单位行向量，与V垂直，且与V和e位于同一平面。定义三轴系统的跟踪误差为
(9)
用
、
和
分别表示X轴、Y轴和Z轴的进给速率，则V可表示为
(10)
由几何关系可知
(11)
，
(12)
三轴系统的同步误差可定义为
(13)
将式(10)-(12)代入式(13)可得到
(14)
对比式(2)和式(13)可以看出，三电机系统的同步误差与双轴有相似的结构，因而也可以带入式(8)，即三轴交叉耦合系统也可用式(8)来描述。
4 仿真分析
为验证在不同耦合控制器增益下耦合控制策略对多轴联动系统的控制效果，使用Matlab/Simulink软件中的SimPowerSystems模块进行仿真，各轴给定跟踪位置信号为斜坡轨迹，斜坡角度为45°，各轴的进给速率均为100mm/s。仿真中所使用的电机为永磁同步电机，XYZ轴的电机参数如表1所示。首先验证双轴交叉耦合控制的效果，取XY两轴，电机空载启动，2s时电机Y突加5Nm负载转矩，验证受负载突变干扰时系统的同步性和稳定性。选取耦合控制器增益kc=20、40，仿真结果如图5所示。
表1 电机参数
图5 双轴系统仿真结果 (a)非耦合同步误差；(b)交叉耦合kc=20时同步误差；(c) 交叉耦合kc=40时同步误差；(d) 非耦合跟踪误差；(e) 交叉耦合kc=20时跟踪误差；(f) 交叉耦合kc=40时跟踪误差
从图5中可以看出，与非耦合结构相比交叉耦合控制结构下同步误差明显减小，且增大kc有助于进一步减小同步误差c。需要指出的是，当kc增大至60时交叉耦合系统发生了震荡，X轴与Y轴无法同步，即系统不再能够稳定运行。出现这一现象的根本原因式(8)所描述的不再是一个稳定的系统，kc将系统中的建模误差和扰动因素放大了，超出了稳定裕量，导致系统无法平稳运行。
进一步验证三轴系统的交叉耦合结构下的特性，XYZ轴空载启动，2s时电机Y突加5Nm负载转矩。选取耦合控制器增益kc=20、40，仿真结果如图6所示。
图6 三轴系统仿真结果 (a)非耦合同步误差；(b)交叉耦合kc=20时同步误差；(c) 交叉耦合kc=40时同步误差；(d) 非耦合跟踪误差；(e) 交叉耦合kc=20时跟踪误差；(f) 交叉耦合kc=40时跟踪误差
当进一步增大kc时，三轴系统也无法稳定运行。图6的结果与图5基本一致，可知无论对于双轴还是三轴系统，交叉耦合结构均能够有效减小同步误差，且增大耦合控制器增益kc能够进一步提升同步精度，但过大的增益会导致系统不稳定。
5 结束语
本文对多轴联动控制系统进行了研究，定义了双轴和三轴系统的同步误差概念表达式，并建立了交叉耦合结构引入前后多机系统的模型，指出交叉耦合结构的作用主要由耦合控制器来体现，该控制器增益的大小会影响耦合控制性能，将这一增益增大虽能改善同步性能，但也有可能会使系统失去稳定，因而实际应用中需根据现场实际情况调节增益值。在Matlab/Simulink环境下的仿真结果验证了本文的分析结论。
参考文献:
[1]M．Tomizuka．Zero phase error tracking algorithm for digital control[J] Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，1987，109：65–68．
[2]王丽梅，李兵．直线电机驱动XY平台的速度场轨迹规划与控制研究[J]．中国电机工程学报，2014，34(3)：438-444．
[3]Dong Sun，Xiaoyin Shao，Gang Feng．A model-free cross-coupled control for position synchronization of multi-axis motions：theory and experiments[J]．IEEE Transactions on Control Systems Technology，2007，15(2)：306-314．
[4]Chin-Sheng Chen，Li-Yeh Chen．Cross-coupling position command shaping control in a multi-axis motion system[J]．Mechatronics，2011，21(3)：625-632．
论文作者:李仁伟
论文发表刊物:《电力设备》2018年第9期
论文发表时间:2018/7/3
标签：误差论文; 系统论文; 控制器论文; 结构论文; 增益论文; 电机论文; 位置论文; 《电力设备》2018年第9期论文;