从PAL看认知逻辑的动态转换，本文主要内容关键词为：认知论文,逻辑论文,动态论文,PAL论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
文章编号：1000-8934(2006)01-0040-04
中图分类号：B81
文献标识码：A
1 引言
动态认知逻辑是近年来一个相对比较新的研究领域。它旨在为信息变化提供一套形式化的处理办法。因此它通常可以分为两部分，一部分处理信息，另一部分处理变化。处理信息的这一部分是由原先的认知逻辑完成的。随着认知逻辑研究的不断深入，人们逐渐意识到在博弈论、人工智能等许多学科领域中多主体之间的互动更受重视。上个世纪70年代以来，在模态逻辑的基础上，动态逻辑(dynamic logic)得以迅速地形成和发展[1]。在动态逻辑中，一个程序的调用和执行就被认为是一个行动。动态认知逻辑(dynamic eplstenlic logic)参照动态逻辑的做法把行动作为模态引进到语言中之后，它们和认知逻辑中的知道算子共存并且相互作用，关于知识的命题和关于行动的表达式合在一起就能表达和处理主体的知识变化和发展了。
公开宣告逻辑（public announcement logic亦简称PAL）是Jan.A.Plaza建立的第一个动态认知逻辑系统[2]，后来的许多动态认知逻辑都是在PAL逻辑的基础之上通过各种扩张建立起来的[3]。本文主要通过考察PAL逻辑系统的语言、语义及公理化系统，从而介绍动态认知逻辑研究的一些基本思路和处理方法，重点考察动态认知逻辑是如何完成静态向动态的转换。
2 直观背景和分析
例1 主体a和b来到一个房间，房间里摆放着一台可以遥控的抛掷硬币的机器。其中一人按下按钮，硬币抛向空中最后落在一个盒子里边，盒子马上就关上了。事实上硬币是头朝上，但由于相距较远，a和b都没法看清硬币最终是哪面朝上。
上面这一情景发生后的两个主体的知识分布可以用认知逻辑的语言来表达。假设硬币一面是头，另一面是尾，用p和﹁p分别表示“硬币头朝上”和“硬币尾朝上”这两个原子命题，用K[,i]p表示主体i知道命题p。这样的话，主体的知识状态可以用以下语句来表达：
(1)﹁K[,a]p主体a不知道硬币头朝上；
(2)﹁K[,b]p和主体b也不知道硬币头朝上；
(3)K[,a](p∨﹁p)主体a知道硬币或者头朝上或者尾朝上；
(4)K[,a]（﹁K[,b]p∧﹁K[,b]﹁p）主体a知道主体b不知道硬币是否朝上；
(4)表明我们用认知语言不仅能表达主体关于世界本身的知识，而且可以表达关于其他主体的知识，而这对于我们刻画和表达主体间的互动是至关重要的，因为主体间的互动往往就是建立在主体关于群体中其他成员的知识基础之上的。这是后来动态认知逻辑相对于其他一般的信念修正理论的优势之一。此外，假设主体还有内省能力的话，那么还有：
(5)K[,a]﹁K[,a]p主体a知道自己不知道硬币头朝上；
(6)K[,a]K[,a](p∨﹁p)主体a知道自己知道硬币或者头朝上或者尾朝上；
(5)表明主体知道自己不知道，称为负内省能力；由于苏格拉底的名言“自知自己无知”，所以在认知逻辑中刻画主体负内省能力的这条公理又称为智者公理。(6)表明主体知道自己知道，称为正内省能力。
例2 接着例1，如果a和b一起打开盒子，看到硬币头是朝上的。上述情景发生之后，主体a和b的知识状态又发生了变化。以a为例：
(1)K[,a]p主体a知道硬币是头朝上；
(2)K[,a]K[,a]p主体a知道自己知道硬币头朝上；
(3)K[,a]K[,b]p主体a知道主体b知道硬币头朝上；
(4)K[,a]K[,b](K[,a]p∨K[,a]﹁p)主体a知道主体b知道主体a知道硬币是否朝上；
(5)K[,a]K[,a]K[,b](K[,a]p∨K[,a]﹁p)主体a知道自己知道主体b知道主体a知道硬币是否朝上；
原来静态认知逻辑语言能帮助我们刻画和描述主体的静态知识分布，但是对于如何刻画从例1到例2的变化还无能为力。在这一过程中，主体a、b各自根据外界的变化分别对自己的知识进行了更新。静态认知逻辑对于这种主体知识状态的变化还无法表达和处理。动态认知逻辑正是要对这种由于外部行动引起的知识变化中的推理进行表达和刻画。PAL逻辑则从最基本的公开宣告这一认知行动入手，将通过刻画动作对于知识的影响来完成对于动作的处理。国内更多一些关于动态认知逻辑的直观背景和分析可参考文献[4]。
3 语言和语义
要表达和处理由于公开宣告这一行动引起的从例1和例2的知识变化，我们需要一个动态认知的形式语言。公开宣告逻辑对于动作的处理是通过行动模态词来实现的。因此，公开宣告逻辑的形式语言是原来静态认知逻辑的语言的一个扩充。
定义1（语言L[,PAL]） 给定一有限主体集N和一有限命题变元集P，公开宣告逻辑语言L[,PAL]中的语句归纳定义如下：
φ∷＝│﹁φ│（φ∧ψ）│K[,i]φ│[φ]ψ│
其中K[,i]φ表示主体i知道φ，[φ]ψ表示如果宣告φ成功则ψ成立。
从语言[φ]ψ的定义可以看出，其中的φ可以是语言中的任意公式，这样的话，我们除了可以对表达世界本身的命题和主体的知识进行宣告之外，还可以对这些宣告本身进行宣告。因此，这里把宣告作为模态来处理，它实质是无穷多的一元模态。
这里我们只考虑真宣告，就是说宣告φ这一动作能够执行的前提条件是“φ是真的”。跟通常的模态词一样，我们还可以得到一个它的对偶模态词＜φ＞ψ：＝﹁[φ]﹁ψ，它的直观意思是并非如果宣告φ成功则ψ为假，即成功宣告φ之后ψ成立。
有了公开宣告逻辑语言之后，我们就可以表达前面例子中动作对于知识的影响和变化了。主体a、b一起打开盒子相当于是对a和b作了“一个硬币是头朝上”的公开宣告，那么这个行动发生之后主体a就可以知道主体b知道硬币是头朝上了，这在我们形式语言中可以表示为[p]K[,a]K[,b]p。
有了上述动态认知语言之后，还需要为之建造一个认知模型。它是我们语言要表达的对象。我们采纳的是建立在可能世界语义学基础上的克里普克模型。
定义2（认知模型） 给定一有限主体集N和一有限命题变元集P，一个认知模型是满足下列条件的三元组M=
·W≠
，W是一个非空的可能世界的集合。
·R:N→2[w*w]，R对每个主体指派W上的一个等价关系。
·V:P→2[w]，V对每个命题变元在每个可能世界上进行赋值。
从认知的角度看，W中的每个可能世界都是现实世界的一种可能情况，主体因为各自的处境不同拥有对现实世界的不完全知识，每个主体对应的W上的R关系表示主体根据自己的知识对这些情况无法区分、不可辨别。模态逻辑中的S[,5]被认为是刻画知识内在性质最好的一个模型，因此这里采纳的是S[,5]模型即可及关系都是等价关系的模型。
定义3（语义） 给定一个认知模型M=
φ，归纳定义如下：
(M,ω)p当且仅当ω∈Vp；
(M,ω)﹁φ当且仅当并非(M,ω)φ；
(M,ω)φ∧ψ当且仅当(M,ω)φ且(M,ω)ψ；
(M,ω)K[,i]φ当且仅当对所有的υ，如果（ω，υ）∈R[，i]，那么(M，υ)φ；
(M,ω)[φ]ψ当且仅当如果(M,ω)φ，那么(M│[，φ]，ω)ψ；
其中M│φ：=φ｝
·W′=‖φ‖[,M]
·R′=R∩（‖φ‖[,M]×‖φ‖[，M])
·V′=V∩‖φ‖M
(M，ω)<φ>ψ当且仅当(M，ω)φ并且(M│[，φ]，ω)ψ。
这里我们对主体知道一个命题给出了一个严格的定义，即如果命题在主体认为的所有可能情况下都是真的，那么我们就说该主体知道这一命题。这里我们始终是从一个外在的观察者的角度为各个主体构建模型的，主体的意图、愿望等内在活动并不考虑。
在我们的语义中，是通过刻画一个动作的影响来刻画一个动作的。我们把一个点模型(M,ω)称作一个认知状态。公开宣告命题φ的影响是把认知状态限制到φ成立的那些可能情况，同时继承原来的认知择换关系。这和我们平常对公开宣告的直观是相符的，因为公开宣告一个命题为真的直接结果就是各个主体抛弃那些原先自己还认为可能为假的那些可能情况。经过这一变化之后，主体的认知状态就发生了改变。因此，这里的行动模态算子[φ]相当于起到从一个认知状态到另一个认知状态的动态转换功能。
命题1（公开宣告是部分函数）
(A)公开宣告如果能执行的话，则只有一种执行方式，即<φ>ψ→[φ]ψ是有效式。
(B)公开宣告只能部分执行，即<φ>[T]不是有效式。
命题2（公开宣告和个体知识） [φ]K[,i]ψ和φ→K[,i][φ]ψ是语义等值的[2]。
值得注意的是，[φ]K[,i]ψ和K[,i][φ]ψ并不语义等值，因为由命题1知道宣告是部分函数，则我们容易找到一个φ为假的模型使得[φ]K[,i]ψ为真而K[,i][φ]ψ为假。命题2的直观意思是说，如果成功宣告命题φ之后主体i知道一个命题ψ的话，等于是说“如果φ是真的，那么主体i宣告前就知道如果成功宣告命题φ之后ψ成立”。命题2的意义在于它把宣告对主体知识的影响结果和宣告前主体的推理能力联系起来。这样，主体对于行动的推理机制通过知识和行动的相互作用刻画出来了。有了命题2之后，在后面的公理系统中我们就可以把[φ]K[,i]ψ
（φ→K[,i][φ]ψ）作为一条重要的公理。
命题3 下列各组公式也是语义等值的[2]：
(1)[φ]p和φ→p
(2)[φ]﹁ψ和φ→﹁[φ]ψ
(3)[φ]（ψ∧χ）和[φ]ψ∧[φ]χ
(4)[φ∧[φ]χ]ψ和[φ][ψ]χ
4 公理系统
定义4（证明系统PAL) 给定一有限主体集A和一有限命题变元集P，PAL的证明系统由下列公理和推演规则组成：
(1)所有的命题逻辑重言式：
(2)├K[,i]（φ→ψ）→(K[,i]φ→K[,i]ψ）(K公理）
(3)├K[,i]φ→φ（知识公理）
(4)├K[,i]φ→K[,i]K[,i]φ（正内省公理）
(5)├﹁K[,i]φ→K[,i]﹁K[,i]φ（负内省公理）
(6)[φ]p（φ→p)
(7)[φ]﹁ψ（φ→﹁[φ]ψ
(8)[φ]（ψ∧χ）([φ]ψ∧[φ]χ）
(9)[φ]K[,i]ψ（φ→K[,i][φ]ψ）（知识宣告公理）
(10)[φ][ψ]χ[φ∧[φ]ψ]χ（组合宣告公理）
推演规则：
(1)从｛φ，φ→ψ｝，可以得到ψ（分离规则）
(2)从φ，可以得到K[,i]φ（N－规则－1）
(3)从φ，可以得到[ψ]φ（N－规则－2）
定理1（可靠性定理） 如果├φ，那么φ。
证明：只需证明证明系统PAL的每条公理都是有效式并且推演规则保持有效性。由已有模态命题逻辑系统S[,5]的可靠性和命题2、命题3容易得到。
定义5（翻译） 翻译是一个满足下列条件的从L[,PAL]语言的公式集到L[,K]语言的公式集的函数：
t(p)=p
t（﹁φ）=﹁t（φ）
t（φ∧ψ）=t（φ）∧t（ψ）
t(K[，i]φ)=k[，i]t（φ）
t([φ]p)=t（φ→p)
t([φ]﹁ψ）=t（φ→﹁[φ]ψ）
t([φ])（ψ∧χ））=t([φ]ψ∧[φ]χ）
t([φ]k[，i]ψ=t（φ→K[，i][φ]ψ）
t([φ][ψ]χ）=t[φ∧[φ]ψ]χ）
引理1（翻译的正确性） 对任意一个点模型，对任意一个公开宣告逻辑的公式α∈L[,PAL]来说，都有：
(M，ω)α当且仅当(M，ω)t（α）
证明：对α的复杂度施用结构归纳法，由命题3可得。
定理2（完全性定理） 如果φ，那么├φ。
证明：由引理1知，L[,PAL]中的每个公式都等值于L[,K]中的一个公式，由S[,5](n)的完全性从而得到PAL也是完全的。
尽管可以把PAL翻译到S[,5](n)中去，但和S[,5](n)不同，公开宣告逻辑PAL并不是一个正规的模态逻辑系统，因为它对普遍代入规则不封闭。例如[p]p系统中的内定理，而├[p∧﹁K[，i]p](p∧﹁K[，i]P)则相反，它是矛盾式。这也表明宣告模态是不能在L[,K]中通过真值联结词定义出来的。因为如果可以的话，PAL应该和S[,5](n)一样是正规模态逻辑系统。因此PAL是一个比S[,5](n)更强的逻辑。
当然这里的公开宣告逻辑系统PAL还并没有把群体知识如公共知识(common knowledge)和群体隐含知识(distrbuted knowledge)考虑进来，而群体知识在多主体互动的过程中无疑具有重要的地位。以公开宣告为例，公开宣告的一个直接结果就是产生一些公共知识。加进群体知识以后认知语言的表达力将进一步增强，但与此同时完全性证明的难度也提高了。目前[3]建立的动态认知逻辑系统中把公共知识考虑了进去，并成功地证明了它们的完全性[5]。则提出一个相对化公共知识的概念，通过给出了一些归约公理的方法简化了完全性的证明，并且认为通过归约给出的逻辑系统会更明晰和通用，从而更有前景。因此，带有群体知识的动态认知逻辑的很多问题值得进一步深入研究。
有意思的是，我们前面提到├[p∧﹁K[,i]p](p∧﹁K[,i]p)在公开宣告逻辑系统中是矛盾式，它的直观意思是说如果对一个原子命题P并且某成员不知道p这一事实作公开宣告成功的话，那么宣告以后该复合命题所断定的事实就不再成立了，因为该成员已经通过公开宣告知道了原子命题P。这和我们通常认为凡是宣告一个命题之后都可以成为公共知识并且依然为真的直观不符，而正是用逻辑形式化的方法揭示出我们通常的这一直观是有问题的。有了公开宣告逻辑以后，使我们对原来历史上的很多悖论有了新的分析工具，目前公开宣告逻辑已经运用到孩子智力游戏和考试悖论等认知问题的动态分析中去。
5 总结
从上面可以看出，公开宣告逻辑首先为了实现静态向动态的转换，是通过引入行动模态算子的办法，把宣告作为一种模态来处理。但是最后在完全性的证明中，是利用翻译的方法，把公开宣告逻辑翻译到原来的静态认知逻辑系统S[,5](n)中去，通过S[,5](n)的完全性证明了PAL的完全性。公开宣告逻辑的这种方法在动态认知逻辑中很具有代表性。从这我们也可以看出，动态认知逻辑是立足于已有的模态逻辑，吸收最新模态逻辑的研究成果，是模态逻辑在认知领域的一个应用，它对于研究人的动态化的认知过程和人工智能都有重要意义。
收稿日期：2005-09-19