预测复杂装备研制费用的 GM( 0, N)模型
吴利丰1，于 亮2，文朝霞2
(1.河北工程大学管理工程与商学院，河北 邯郸 056038；2.中国运载火箭技术研究院，北京 100076)
摘 要： 针对横截面数据的复杂装备研制费用预测问题，研究了GM(0,N)模型的稳定性，证明了当样本较少时，GM(0,N)模型相对稳定。依据所提出的相似度对原始数据排序，在此基础上建立GM(0,N)模型，与待预测对象越相似的样本数据对GM(0,N)模型解的影响越敏感，从敏感性角度说明与待预测对象越相似的样本数据，其影响权重越大。由于相关因素相似的装备往往产生趋同的研制费用，充分利用与待预测对象相似的样本数据，有助于提高预测精度。通过实例说明了本模型的实用性与有效性。
关键词： 导弹研制费用；灰色模型；横截面数据；相似度
1 引言
大型复杂装备是指客户需求复杂、产品组成复杂、产品技术复杂、制造过程复杂、项目管理复杂的一类装备，如航天器、飞机、航空母舰、武器系统等。随着科技飞速发展及其在军事领域的广泛应用，大型复杂装备费用增长在国内外都成为普遍现象。费用成为影响装备发展的首要问题。为有效控制费用增长，提高经费使用效率，准确预测装备各阶段的费用成为重要问题。
由于对复杂装备费用有影响的参数很多，样本较少，刘铭等[1]利用GA和BP融合的算法估算装备费用。Deng和Yeh[2]利用最小二乘向量机方法估算机体机构的制造成本。Curran等[3]利用genetic causal技术估算飞机全寿命周期的费用。Lin等[4]利用一种混合方法估计转子叶片的制造成本。Hart等[5]从系统工程的角度提出一种估算船舶全寿命周期费用的方法。Trivailo等[6]总结了在航空计划的早期阶段，硬件成本估算的方法、模型和工具。文献[7-11] 分别用GM(0,N)模型及其改进模型预测复杂装备的费用。我们建模的目的是为了预测，不仅仅为了拟合，但是文献[7-11]所用的模型没有从理论上证明该方法对提高预测精度有帮助。本文从理论上分析已有GM(0,N)模型的稳定性，提出一种可以充分利用与待预测对象相似数据的GM(0,N)，实例说明了该模型的有效性和实用性。
2 GM(0, N)模型的稳定性分析
定理1 设A∈Cnn×n, ∂A∈Cn×n,b∈Cn,∂b∈Cn, 向量范数
与矩阵范数相容，若对C n×n 上的某矩阵范数有
则非齐次线性方程组Ax =b 与(A +∂A )(x +∂x )=b +∂b 的解满足：
从学习兴趣来看，绝大多数学生认为学习这门课后对学习英语的兴趣有所提升。绝大多数的学生认为学习这门课会促进课后的英语学习，学生更加倾向于通过观看英语电影和学唱英文歌曲来学习。
相关证明过程见戴华[12]。
在图2中，商业银行与政府方成立基金，在项目公司中充当社会资本方的角色。政府引导基金通常以股权、债权、股+债方式投资于PPP项目公司，通过项目公司还本付息、政府关联企业回购股权/基金份额等方式进行退出。
相似度越小，表示A i 与A n+1 越相似，如果γ p <γ q ，表示样本A p 比样本A q 更相似A n+1 。在预测c 0时，A p 的权重大于A q 。
设X1(0)为系统特征数据序列，
为相关因素序列，
为
的一阶累加序列，则灰色GM(0,N)模型
参数的最小二乘估计满足
=(B T B )-1B T Y
其中
定理2 设GM(0,N)模型
为样本A i 与A n+1 的相似度，其中
由于
则发生扰动后，模型参数的解为
设
解的相对扰动为
则
钱教授所说“主要靠自己”，所表达的无疑是他的学术地位和成就，不是靠父亲在学界的影响力，主要是靠自己的努力。
证明:如果只发生扰动
则
则
由定理1得
即扰动
时，解的扰动界记为
“当然考虑到了，我怀疑夏冰已经从公厕看守那里知道了车祸的真相，所以，我最不希望他被警方抓到，但是，婚礼上，我派去的人还是输给了警方。不过，现在那个守厕所的老头儿已经死了，死无对证。”
这个消息立刻引起了一些华侨和中国留学生的注意。这些人有的怀着崇敬情绪，有的抱着好奇心理，都想见到孙中山这位赫赫有名的革命领袖人物。其中有些迂腐的人推测，孙中山肯定是一个大字不识的“绿林豪杰”。
定理3 其它条件如定理2，如果只发生扰动
时，解的扰动界
依次类推，如果只发生扰动
时，解的扰动界
2.2.2 改进的粗粒度划分AP聚类 通过利用类内和类间距离来构造样本数据点之间的相似性，使得聚类算法能同时考虑到样本类内的紧密程度和样本类间的离散程度.假定有n个数据，这些数据点构成N×N的相似度矩阵S′，S′(i， j) 即为样本数据点i和j之间的相似度，根据公式(9)可得：
则
由于
由定理1得
如果只发生扰动
时，此时
由于
同理，解的扰动界
如果只发生扰动时，
可得
证毕。
注1：可以看出
是关于原始序列样本量n 的增函数，即：原始序列样本量越大,解的扰动界越大。由于扰动不超过扰动界，虽然解的扰动界大，并不意味扰动一定大，但是随着原始序列样本量变大，解的扰动界变大，给人一种“美中不足”的感觉。由于原始序列样本量较小,解的扰动界较小，所以从扰动界大小的角度看，灰色GM(0,N)模型适合于小样本建模。
注2：可以看出
是关于r 的减函数，即：r 越大,解的扰动界越小。
比
对解的影响更敏感，从敏感性角度说明比
的影响权大。
等到玉玦啸叫停息，它射出的光芒也达到了极盛，就是这样的极盛，也只是亿万星河中的一粒，长安上元夜万千灯火中的一盏，黄梁村后池塘夏夜流萤中的一点，夏日莲花中的一瓣。只是我们的天地，又何曾忽视过一粒、一盏、一点与一瓣呢？少年们好像听到由银河里传来的一声叹息，感到纤细星光微微的悸动，大榆树轻轻震颤，积雪忽忽飘落，黄梁村像簸箕中的一粒黄豆上下跳动，跳动的轻微，连村里最灵醒的狗子与公鸡，都没有感应出来。
3 原始数据序列的排序方法
何莎伟等[7]仅仅数据的增长规律对原始数据排序，但是难以从理论上严格证明这种排序方法对改善模型对未来的预测精度是有帮助的。本文将依据样本相关因素数据与待预测对象相关因素数据的相似度排序。
定义1 设有n 个复杂装备样本A 1,A 2,…,A n ，已知每个样本有N -1个相关因素，
表示样本费用，数据矩阵如下：
在小学阶段的音乐教学中，之所以要培养学生的节奏感，就是为了让学生在听音乐中，更好的感知、判断音乐中节拍强弱的转换等，使其能更加准确的体会到音乐表达的思想情感，使其的音乐能力、素养得到逐步的提升。
A n+1 表示要预测费用的样本(待预测对象)，如果
为待预测对象的已知相关因素，
为待预测对象的系统特征数据。称
教研室依托国家级生物制药实验教学示范中心，重新装修实验室，装备先进的多媒体设备和实验示教设备，添置了高速冷冻离心机、凝胶自动成像仪、核酸杂交仪、等电聚焦系统、PCR仪、酶标仪、超净工作台等实验仪器，每年都会不断淘汰更新实验室设备，学生较以往更容易接触到前沿的生物化学与分子生物学实验技术。
参数的解为x ，如果只发生扰动
证明：如果只发生扰动
1077 Clinical value of contrast-enhanced ultrasound-guided biopsy in early diagnosis of pleural tuberculoma
双拥办是该区对口解决退役军人问题的部门之一。这些年一起走过的风风雨雨，让这些退伍老兵已经把这里当成了“娘家”，一有空就前来扎堆，互诉衷肠，互相鼓励。他们对杏花岭区为他们千方百计排忧解难的做法非常认可，对王业发这样肯扑下身子实干、能不畏艰难敢于担当的干部很是钦佩。王业发得到了部队官兵、家属、复退转军人、军烈属和社会各界的广泛赞誉。
(i =1,2,…,n ,j =2,3,…,N )
由于所有矩阵范数是等价的，不管采用哪种范数，本质上是一致的，为讨论方便，这里取矩阵的m 1范数，与之相容的向量范数为向量1范数。
定理4 若样本的系统数据发生仿射变换，即
近年来，国民经济快速发展，我国的测绘事业也实现了由传统向信息化的转变和升级，测绘项目呈现出“规模不断增大、生产组织复杂、技术含量高、成果形式多”等特点，发包方对测绘成果质量的要求也越来越高，特别是由财政资金支出的测绘项目，投资方多为政府部门，原有的一套测绘产品质量保证体系已明显不能适应新时期的要求。伴随着测绘项目责任制的逐步落实，测绘监理制度应运而生，新版《测绘资质分级标准》在2014年8月1日施行，其中就增加了测绘监理的专业标准和通用条款，为测绘地理信息行业开展测绘监理业务提供了执业依据。
样本A i 与A n+1 的相似度保持不变。
依据相似度排序，数据矩阵第1行的数据是与待预测对象A n+1 最相似的样本数据，依次排列，第n 行的样本数据与待预测对象A n+1 最不相似的样本数据，最终排列的数据矩阵记为
为了充分体现数据矩阵第1行数据对模型的影响，利用最终排列的数据矩阵建立GM(0,N)模型
此时参数的最小二乘估计满足
=(B T B )-1B T Y
其中
进一步预测待预测对象的费用。
周六整整一天，阿东没出门。他在家里翻箱倒柜。冬天眼看到了。他要把冬衣找出来，以便冷空气一来，阿里和爸爸都有厚衣抵寒。房子小，每到天热，母亲都会把冬衣和棉被翻晒一天，包捆起来，装进木箱。然后掀开床的铺板，将整个箱子都塞在床底下。而凉风一起，母亲又会从床下把箱子打开，将冬衣棉被悉数取出，放到门外重新翻晒，且将夏日衣物置放入箱。现在，这些事都得阿东来做。
4 实例分析
为便于比较，本文采用刘建[13]的实例。设序号1-7的导弹为样本，预测序号为8的导弹研制费用。拟合精度的比较、预测精度的比较分别见表2、表3。
从表2、3看，无论是拟合精度，还是预测精度，本文模型都明显高于多元线性回归，说明本文模型能够挖掘系统的演化规律。
4 结语
1)由于原始序列样本量较小,解的扰动界较小，所以从扰动界大小的角度看，本文的GM(0,N)模型适合于小样本建模。并不是样本越小模型越好，模型的优劣包括模型的拟合和预测效果、模型的稳定性等。本文只是从稳定性的角度考虑，当样本量较小时，GM(0,N)模型相对稳定。
表1 导弹研制费用与性能参数原始数据表
表2 拟合精度比较表
表3 预测结果比较表
如果模型的原始数据完全满足线性关系，样本量再多，模型也是稳定的；如果模型的原始数据完全满足线性关系，也不需要建立GM(0,N)模型，可以建立一般的多元线性回归模型，但是我们经常遇到的数据不一定完全满足线性关系。
2)本文所建GM(0,N)模型中，与待预测对象A n+1 越相似的样本数据对GM(0,N)模型解的影响越敏感，从敏感性角度说明与待预测对象A n+1 越相似的样本数据，其影响权重越大。
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GM (0 ,N )Model for Its Application on Forecasting the Development Cost of Complicated Equipment
WU Li -feng 1,YU Liang 2,WEN Zhao -xia 2
(1.College of Management Engineering and Business, Hebei University of Engineering, Handan 056038, China； 2.China Academay of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076, China)
Abstract ： Complicated equipment development cost forecasting of the cross section data is studied, the GM(0, N) model is relatively stable when the sample is small. The data is sorted according to the similarity degree proposed, then GM(0,N) model is established, the more similar to the prediction the object sample data, the more sensitive to GM(0,N) model, the greater weight GM(0,N) model determine from the angle of sensitivity. Due to the similar equipment often produce similar development costs, making full use of the similar sample data to prediction object is helpful to improve the forecasting accuracy. The practical example is given to illustrate the practicability and validity of this model.
Key words ： missile development cost; grey model; cross-sectional data; similarity degree
文章编号： 1003-207( 2019) 07-0203-05
DOI: 10.16381/ j.cnki.issn1003-207x.2019.07.020
中图分类号： N941.5
文献标识码： A
收稿日期： 2017-10-04； 修订日期： 2018-05-27
基金项目： 国家自然科学基金资助项目(71871084,71401051)；河北省青年拔尖人才项目；河北省高校百名优秀创新人才支持计划项目(SLRC2019001)
通讯作者简介： 吴利丰(1983-),男(汉族),河北邯郸人,河北工程大学管理工程与商学院副教授,博士,研究方向:灰色系统理论,E-mail:wlf6666@126.com.
标签：导弹研制费用论文; 灰色模型论文; 横截面数据论文; 相似度论文; 河北工程大学管理工程与商学院论文; 中国运载火箭技术研究院论文;