关键词：几何；数学；不等式；证明
引言：将几何思想代入不等式其实是解不等式的一个重要思想。一般具有几何意义的不等式都比较简单，大可归为几大类。接下来，我们将用几个实例来谈谈如何利用几何方法证明不等式。
1 构建平面几何图形
将不等式与几何结合起来就只有几个关键点，一是构建平面几何图形，这里我们常常借助的是三角形，这得益于三角形有一个很好的性质;两边之和大于第三边[1]。利用这个性质我们可以引申出多个不等式：a+b＞c，a-b＜c（a，b，c分别为▲abc的三条边）。我们用一个实例在说明。例1：已知函数f（x）=√（x2+1），当a，b∈R时，求证|f（a）-f（b）|＜|a+b|。看到f（x）=√（x2+1），我们首先就想到了勾股定理，因此构造▲ACD，作AB⊥CD交CD于点B，AB=1，BC=a，BD=b。则AC=√（a2+1），AD＝√（ｂ2+1），CD＝ａ＋ｂ。在▲ACD中，｜AC－AD｜＜｜CD｜，因此，|f（a）-f（b）|＜|a+b|。
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2 构建平面解析几何图形
还有一种就是构建平面解析几何图形。这里我们常用的是距离公式：点到点的距离|AB|=√{（a1-b1）2+（a2-b2）2}，其中A（a1，a2）、B（b1，b2）；点到直线的距离d=|a1m+a2n+c|/√（m2+n2），其中点（a1，a2），直线mx+ny+c=0。我们还是用实例来说明。例2：设ｘ，ｙ∈（０，１），求证√（ｘ２＋ｙ２）＋√[（x-1）2+y2]+√[x2+(y-1)2]+√[(x-1)2+(y-1)2] ≥2√2。 观察这个不等式我们不难发现它与两点间的距离公式很相似，因此，我们就利用该点，在坐标系中构建一个正方形OABC，使其边长为１，即OABC四个顶点在坐标系中的坐标分别为（０，０）、（１，０）、（０，１）、（１，１）。再设一点P(x,y),根据两点间的距离公式可知，点P到正方形OABC四个顶点的距离之和为√（ｘ２＋ｙ２）＋√[（x-1）2+y2]+√[x2+(y-1)2]+√[(x-1)2+(y-1)2]，因此√（ｘ２＋ｙ２）＋√[（x-1）2+y2]+√[x2+(y-1)2]+√[(x-1)2+(y-1)2]就可以表示为P点到正方形四个顶点的距离之和。|PO|+|PC|＞|OC|＝√２，｜PB｜＋｜PA｜≥｜AB｜＝√2，所以|PO|＋｜PC｜＋｜PB｜＋｜PA｜≥｜OC｜＋｜AB｜＝２√2，因此√（ｘ２＋ｙ２）＋√[（x-1）2+y2]+√[x2+(y-1)2]+√[(x-1)2+(y-1)2] ≥2√2。
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例3：已知a，b，m，n∈R+，求证：am+bn≤√（a2+b2）*√（m2+n2）。拿到这个题目我们可能觉得比较陌生，这个怎么代入几何思想，感觉和几何图形没有关系呀。那么我们先对原式进行变个形得到：（am+bn）/√（a2+b2）≤√（m2+n2）。这样就很明显了，不等式的左部分可以看作是点到直线的距离，右部分则是点到原点的距离。因此我们设一条直线l：ax+by=0。点P（m，n），则P到l的距离d=|am+bn|/√（a2+b2），P到原点的距离|OP|=√（m2+n2），因为直线l过原点，所以，点P到直线的距离小于等于P到原点的距离，即am+bn≤√（a2+b2）*√（m2+n2）。
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3 构建立体图形
另外一种就是构建立体图形，这种看似比较难理解，其实就是将平面几何图形拼接起来构成一个立体几何图形[２]。常用的有三角形中的余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，a，b，c分别为▲abc的三条边，A为比a对应的角。我们还是通过实例来说明。例4：a、b、c∈R+，求证√（a2+b2+ab）-√（b2+c2+bc）＜√（a2+c2+ac）。首先看到题我们应该就想到余弦定理了，但是这两个相加小于第三个又让我们想到三角形，因此，我们需要构建一个立体几何图形。设一个三棱锥A-BCD，设∠BAC＝∠BAD＝∠DAC＝１２０°，设AB＝ａ，AC＝ｂ，AD＝ｃ，利用余弦定理我们可以得到BC２＝AC２＋AB２－２AC*ABｃｏｓ∠BAC，即BC=√（a2+b2+ab），同理，CD=√（b2+c2+bc），BD=√（a2+c2+ac）。然后在▲BCD中BC-CD＜BD，因此√（a2+b2+ab）-√（b2+c2+bc）＜√（a2+c2+ac）。
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4 不等式的几何意义
归根结底，用几何方法证明不等式我们还要掌握一个重要的东西，那就是不等式的几何意义，这也是使用几何方法解不等式的基础。一些基础的几何公式原理我们都懂，那么我们只要理解了不等式的几何意义，那么自然就能利用集合方法来证明不等式[３]。不等式的几何意义就免不了长度、面积、体积等直观的东西。我们常常用这些平面图形或者立方体来拼凑不等式。举个例子说明，不等式a+b+c≥3*3√（abc）。这样一个不等式的几何意义是什么呢？不等中存在abc三个未知数，这三个未知数让我们习惯性的构造一个长a宽b高c的长方体，那么给这个不等式赋予几何意义就变成了：一个长方体的长、宽、高之和不小于3倍体积的立方根。但是这样看起来有点别扭，而且这个表述也一点都不直观[４]。因此，我们想要通过所谓几何意义来理解，或者说利用几何关系来证明这个不等式。
立方根本身是一个很不直观的东西，为此，我们把这个三元不等式两边取立方变成：（a+b+c）3≥27abc。我们尝试对这个不等式赋予一个较直观的几何意义：有这样一个正方体，它的边长是a+b+c，那么我们就做这样的分割：以一个顶点O开始，OA，OB，OC是O所在的三条棱。作如下划分：OA１＝ａ，A１A２＝ｂ，A２A＝ｃ?OA。OB１＝ａ，B１B２＝ｂ，B２B＝ｃ?OB。OC１＝ａ，C１C２＝ｂ，C２C＝ｃ?OC。那么这个正方体的体积是不小于２７ａｂｃ的，而２７ａｂｃ 恰好是27个全等的长ａ宽ｂ高ｃ的长方体的体积和。我们再看之前划分中的长ａ宽ｂ高ｃ的长方体，根据对称性，一共是6个。而这个正方体一共被分成27块，也就是说剩下的体积是不小于２１ａｂｃ的。ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａ２ｃ＋３ａｂ２＋３ａｃ２＋ｂ３＋３ｂ２ｃ＋３ｂｃ２＋ｃ３，把除去ａ３＋ｂ３＋ｃ３，因为ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ和原命题等价，而剩下的两两组合显然是成立的[５]。我们可以用这种方法说明原正方体的体积是不小于27个全等的长ａ宽ｂ高ｃ的长方体的体积和。这就是更直观的几何意义。
5结束语
不等式的证明在数学整个体系中占据了绝大部分的地位，并且它的灵活性很强。而用几何方法去证明不等式恰恰是一个很好的方向，很多让人难以费解的不等式代入几何思想后就迎刃而解了。因此，我们需要多多阅读相关方面的知识点，多多掌握这种方法，以后再遇到不等式证明问题，自然就能从容应对。
参考文献：
[1]张鹏.用几何方法证明不等式[J].蒲白科技,2004(1):77-80.
[2]冯作维.利用几何法证明不等式[J].理科考试研究：高中版,2006,13(9):11-13.
[3]姜印明.也谈用几何方法证明不等式[J].中学生数学：初中版,2011(10):24-24.
[4]冯玉平.利用几何法巧证不等式例说[J].成都师范学院学报,2004,20(S2):93-93.
[5]刘学才.利用定积分的几何意义证明不等式[J].高师理科学刊,2013(1):30-33.
论文作者:刘宇航
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第7月14期
论文发表时间:2020/3/10
标签：不等式论文; 几何论文; 几何图形论文; 距离论文; 意义论文; 长方体论文; 体积论文; 《教育学文摘》2019年第7月14期论文;