常见反证法解题的几种类型，本文主要内容关键词为：反证法论文,常见论文,几种类型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
相对于命题的直接证法，反证法是一种间接证法。直接证法和反证法好比通向同一目的地的两条道路，前者径直，后者曲折。如果直路好走，当然选择直路；如果直路上布满荆棘崎岖难行，那么我们宁可走那条虽然曲折，但是较好走的道路了，至于直路闭塞断绝，那么就非走曲折迂回之路不可了。在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证明更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明。如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型，宜用反证法。
1 待证命题以否定判断作为结论，如“没有什么”、 “不是什么”、“不能怎样”、“不存在什么”等，这些否定的对象的反面是肯定判断，它比原始“结论”更明确，易于用反证法证明
例1 设A，B，C为不相等的实数，求证3个二次方程Ax[2]＋2Bx＋C＝0，Bx[2]＋2Cx＋A＝0，Cx[2]＋2Ax＋B＝0，不可能有等根。
证明 设3个二次方程都有等根，则显然应有B[2]－AC＝0，C[2]－AB＝0，A[2]－BC＝0，将该3式相加，得
A[2]＋B[2]＋C[2]－BC－AC－AB＝0，
即 （A－B）[2]＋（B－C）[2]＋（C－A）[2]＝0，
由此可推得A＝B＝C。这和已知矛盾。
∴3个二次方程不可能都有等根。
2 待证命题的结论属“唯一性”命题类型， 如证明方程（组）有唯一解、图形唯一、几何图形共唯一点等，宜用反证法证明
例2 如果A，B，C，D是空间4点，且∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝π/2，那么A，B，C，D在同一个平面内。
证明 如图1，设A，B，C，D不在同一个平面内，则AB，CD 为异面直线。
∴∠ABC＝∠BCD＝π/2，
∴BC⊥AB，BC⊥CD，即BC为AB，CD的公垂线。
同理可知，AD也是AB，CD的公垂线。这和两异面直线公垂线的唯一性矛盾，因而命题结论正确，即A，B，C，D共面。
3 待证命题的结论是无限的， 结论涉及的对象无法一一列出，而这些命题结论的反面事项是有限的、肯定的，这时宜用反证法
例3 证明方程x[5]＋x＝10的正根是无理数。
证明 当x＞0时，函数y＝x[5]＋x－10单调上升。又当x＝1.5时，y＝x[5]＋x－10＜0；当x＝1.6时，y＝x[5]＋x－10＞0，
∴此方程的正根是在1.5与1.6之间。设正根是有理数p/q，p，q是互质的自然数，则（p/q）[5]＋p/q＝10，即p[5]＋pq[4]＝10q[5]·p（p[4]＋q[4]）＝10q[5]由于p，q互质，p，q只有公因数1。上式说明只能是10的因素，但是p取1，2，5，10的既约分数时，p/q都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。
4 一些不等量命题的证明，宜用反证法
例4 在△ABC中2cosA＋cosB＋cosC＝2，求证：A≤π/3。
证明
由已知条件得
2（1－2sin[2]（A/2））＋2cos（（B＋C）/2）cos（（B－C）/2）＝2，
即2sin（A/2）（cos（（B－C）/2）－2sin（A/2））＝0，
∴sin（A/2）≠0，
∴2 sin（A/2）＝cos（（B－C）/2），而A＜π，
∴π/2＞A/2＞π/6。
假设A＞π/3，则sin（A/2）＞1/2，
∴cos（（B－C）/2）＞1，这与cos（（B－C）/2）≤1矛盾。故假设不成立，
∴A≤π/3。
5 待证命题的逆命题已知正确的，证此类命题宜用反证法
6
待证命题的结论以“至少存在”或“不多于”等形式陈述时，也宜用反证法
例6 设x＋y＋z＝1/x＋1/y＋1/z＝1，求x，y，z中至少有一个等于1。
证明 假设x，y，z中没有一个等于1，则x－1≠0，y－1≠0，z－1≠0，因而（x－1）（y－1）（z－1）≠0，即
xyz－（xy＋yz＋zx）＋（x＋y＋z）－1≠0。（*）
∵1/x＋1/y＋1/z＝1，
∴xy＋yz＋zx＝xyz；
代入（*）式，有x＋y＋z－1≠0，这和已知x＋y＋z＝1相矛盾，故x，y，z中至少有一个等于1。
7 基本定理或某一知识系统的初始阶段，宜用反证法。 立体几何线面平行判断定理，面面平行判断定理等都宜用反证法证明
例7 求证两直线平行则同位角相等。
证明 如图2，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于E，F。假设∠MEB≠∠EFD，则过E作直线PQ，使∠MEQ＝∠EFD，显然PQ与AB不重合，由平行线的判断定理，有PQ∥CD，即过E有两条直线PQ，AB平行于CD，这与“过直线外一点仅有一条直线与已知直线平行”这一公理矛盾。
∴假定不成立，原结论成立。
8 某些命题直接利用公理、定义或根据题设难以进行推理论证时，有时用反证法可绝处逢生
例8 若n为自然数，且n≥1，则
不是有理数。
9 有关某些定理的逆定理也常用反证法
例9
试证勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
证明 假设此三角形不是直角三角形，则当最大边a所对角A为锐角时，a[2]＝b[2]＋c[2]－2bc cosA＜b[2]＋c[2]，
∴ a[2]＜b[2]＋c[2]。
当最大边a所对角A为钝角时，
a[2]＝b[2]＋c[2]－2bc cosA＞b[2]＋c[2]，
∴ a[2]＞b[2]＋c[2]。
这都与已知矛盾，故这三角形一定为直角三角形。
上面我们给出了应用反证法较多的几种命题，但反证法的应用远不止这些，有些命题，虽然用的是直接证法，但是证明过程中某一个结论的证明却需要应用反证法。从某种意义上可以这么说：没有反证法，就没有数学的今天。
应该指出，有些命题虽然属于上述几种类型的某一种，但不是一定要用反证法来证明，有的仍可用直接证法。对某一命题究竟用哪一种方法证明为好，都要具体情况具体分析，灵活运用，切忌生搬硬套。