赵新中[1]2001年在《边值问题与初值问题有限元超收敛的相似性》文中研究表明本文针对在改进的单元正交性估计的基础上，利用文[3]提出的新想法，得到一维四阶两点边值问题和二阶常微初值问题的n次赫米特有限元u_h∈C~1的新误差估计式，以及导数误差的最佳阶超收敛，并且两者有相同的超收敛结果。 全文分为两个部分： 一、利用文献[3]的新思想，即在余项中补充某些待定的低次项，使余项在一个单元上满足更多的正交性条件，从而使构造的u_l更加超接近于u_h。讨论一维四阶两点边值问题，对n≥3次C~1有限元u_h，证明了在节点上有如下最佳阶超收敛： u-u_h=O(h~(2n-2))，D_x(u-u_h)=O(h~(2n-2))，并且计算数值例子，其计算结果与理论值完全吻合。 二、讨论二阶常微初值问题，对m≥3次(C~l有限元u_h，证明了在节点上有如下最佳阶超收敛： u-u_h=O(h~(2m-2))，D_l(u-u_h)=O(h~(2m-2))，并且计算数值例子，其计算结果与理论值完全吻合。 我们可以看到，一维四阶两点边值问题和二阶常微初值问题有相同的超收敛结果。
杜炎[2]2012年在《基于EEP法的一维非线性有限元自适应分析》文中研究说明常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）的数值求解对力学研究和工程计算均具有重要意义，而非线性常微分方程的数值求解更是其中的难点和热点。本文针对非线性常微分方程，提出了一套新型的自适应求解的有限元方法（FEM）。该方法通过对非线性问题进行线性化，将基于单元能量投影（Element Energy Projection，简称EEP）法的线性问题自适应求解方法直接引入非线性问题的求解，无需对非线性问题本身单独建立超收敛公式及其自适应算法，从而构成一个一般性的、统一的非线性问题自适应求解算法，进而开发了非线性ODE求解器的雏形。全文主要工作如下：1.提出了基于弱形式的非线性有限元自适应迭代的基本策略。基于有限元弱形式推导了Newton迭代格式，提出“理想线性问题”的概念，以其为桥梁直接引入现有的线性问题自适应求解算法；将非线性迭代和自适应求解有机结合起来，提出了有限元求解非线性ODE问题的基本策略。该思路简明清晰，通用性强。2.将基本策略成功地推广到一维C0和C1非线性问题的自适应求解，提出了相应的整套算法。数值算例表明本文算法高效、稳定、可靠，能够得到逐点满足给定误差限的FEM解，且误差分布均匀，精度冗余较小。3.将基本策略成功地推广到非线性一阶方程组的自适应求解，提出了相应的整套算法。一阶方程组的自适应求解研究具有基础性意义，任意高于一阶的初值或边值问题的求解都可以等效地转化为一阶方程组的求解。非线性一阶方程组自适应求解的成功拓宽了本文算法的求解范围，并对非线性问题的求解形成了统一的模式。4.对非线性边界条件、初始解选择、解路径追踪和临界点求解等关键问题给出具体处理算法。利用Newton格式，给出了对非线性边界条件进行线性化的处理方法，进一步完善求解器功能；结合ODE转化技巧，以简明直观的方式实现非线性求解中常用的延拓法；对非线性问题中的临界点求解问题，可直接精确计算出临界点的位置及其对应的解答。大量算例表明，本文算法高效、稳定、可靠，解答可逐点以最大模度量满足用户给定的误差限，可作为先进高效的非线性ODE问题求解器的核心理论和算法。
鲁文英[3]2009年在《具有周期初值条件的Schr(?)dinger方程全离散有限元格式及其校正》文中指出本文研究了一类具有周期初值条件的Schr(o|¨)dinger方程的全离散有限元格式。我们首先利用具有周期初值条件的Schr(o|¨)dinger方程在空间上的周期性,将问题转化成等价的初边值问题,然后在空间上进行半离散有限元逼近,得到一个关于时间的常微分方程组的初值问题。接着对该常微分方程组作时间二次连续有限元逼近,又得到一个高精度全离散有限元格式。我们论证了该格式所得的数值解在一些特征点上具有超收敛性,考虑到全离散格式在边值的值的不稳定性,直接计算可能出现很大的误差,为了得到长时间后的稳定数值解,我们将空间限制为双周期,并提出了一个逐层校正的计算方法。通过数值实验表明我们的理论结果是正确的,计算方法是有效的。
沈万芳[4]2005年在《几类发展方程的数值方法》文中研究指明本文就实际问题中经常遇到的两类不同发展方程作了相应的数值逼近,并对每一种逼近格式作了理论上的分析.分析结果表明,这两类方程的数值逼近解是稳定的,可靠的. 本文的第一、二章分别考虑(1)伪抛物型积分微分方程的初边值问题(2)伪双曲型积分微分方程的初边值问题的有限元超收敛结果。从上述两类方程的特点出发,通过提出一类新的有限元投影Sobolev—Volterra投影,并利用特殊的初值取法,给出问题(1)和(2)的解u的Sobolev—Volterra投影V_(h)~(u)与其离散解u在L_(p)与w~(1,p)(2≤p<∞)中的二阶超收敛结果.
侯玉芳[5]2013年在《外推多网格方法解非线性问题》文中提出外推多网格方法是大规模计算中的高效率、高精度的方法,而且程序实现简单.在物理,力学,热传和反应动力学等问题中,我们经常会遇到半线性椭圆问题和抛物问题.对于这种半线性方程,采用插值系数有限元法,可使求解计算工作量显着减少.与经典Newton法相比,插值系数有限元法不用多次计算切矩阵,从而简化了解非线性方程组的计算过程,大大缩短了计算时间,而且还保持着最佳收敛性与超收敛性.本文用插值系数有限元法求解了半线性椭圆问题,并将经典外推方法以及新外推方法用于插值系数有限元法,验证了此两种方法对插值系数有限元法的有效性.同时用新外推多网格方法求解了半线性椭圆问题,并给出了相应的数值结果.
王传丽[6]2017年在《非线性Volterra积分微分方程及分数阶微分方程的谱配置法》文中认为谱方法是求解微分方程的一种重要数值方法,已被广泛应用于科学和工程问题的数值模拟中。谱方法的主要优点是计算的高精度,也就是所谓的"无穷阶"收敛性,即真解越光滑,谱方法的收敛速度越快。Volterra型积分微分方程和分数阶微分方程等都具有记忆性质,在物理、生物、激光以及人口增长等模型中得到广泛应用,相关的数值研究正日益受到重视,并已成为该领域的一个新热点,而谱方法是一种整体方法,非常适合该类问题的数值模拟。现有的针对Volterra型积分、微分方程谱方法的研究主要基于单步格式,并不适合奇性解或长时间的计算。此外,所研究的问题主要是线性的或仅讨论光滑解情形,而实际问题大多是非线性的且解呈弱奇异性的。因此本文主要工作之一是研究带弱奇异核的非线性Volterra型积分微分方程的多步谱方法。我们建立了相关问题的多步谱配置格式,并对所提算法进行了误差分析,数值结果表明该方法对光滑解和弱奇性解的模拟都非常有效。对于非线性Caputo型分数阶微分方程的边值问题,本文将在前人的基础上提出一种新的谱配置法。为了适应分数阶方程的整体性特点,并克服非线性项的存在所造成的理论分析的困难,我们采用两种多项式插值,即Legendre-Gauss与Jacobi-Gauss插值,构造相应的Legendre-Jacobi单步谱配置法,并分析了该算法的数值误差。数值算例验证了该算法的有效性。本文由以下几个部分组成:在第一章,我们简单地回顾了谱方法的基本思想及发展概况,介绍了Volterra积分微分方程与Caputo型分数阶微分方程的问题背景及数值方法的研究进展。在第二章,我们具体介绍了与本文工作相关的基础知识:Jacobi多项式及其插值误差,移位Jacobi多项式,移位Legendre多项式及其插值误差,并给出了本文工作所需的几个重要引理。在第叁章,对带有弱奇异核的非线性Volterra积分微分方程提出了一个结构简单、容易实现的算法,然后详细地分析了多步谱配置格式的收敛性,获得了该方法在H1范数下的hp型误差估计,最后通过数值算例展示了该方法的高效性。在第四章,我们考察了 Caputo型分数阶微分方程的两点边值问题,提出了基于等价积分方程的Legendre-Jacobi单步谱配置法,详细地分析了谱配置格式在L2及L∞范数下的误差上界,并通过数值算例验证了该方法的有效性。最后,对本文工作的主要结果做出总结,分析了其中的不足之处,并在当前工作的基础上提出改进的方向和措施。
袁驷, 袁全, 闫维明, 李易, 邢沁妍[7]2017年在《运动方程自适应步长求解的一个新进展——基于EEP超收敛计算的线性有限元法》文中提出本文采用最简单的Galerkin型线性单元,对运动方程构建了简捷高效的单步法递推公式;进而基于EEP超收敛计算技术,开发了单元步长自动优化和结点位移精度修正两项关键技术,可在整个时域上得到误差分布均匀且逐点满足给定的误差限的解答——堪称数值解析解。文中给出了单自由度和多自由度的数值算例以验证本法的有效性。
袁磊[8]2009年在《状态受限最优控制问题的有限元方法》文中指出在近叁十年来,分布参数最优控制问题的数值方法一直是一个非常活跃的研究领域.有限元方法已经被广泛的应用于数值求解不同类型的分布参数最优控制问题.并且很多学者都认为有限元方法特别适合处理这一类型的问题.关于这一主题可以参阅相关的专着.虽然,最优控制问题的有限元方法已经有了大量优秀的成果,但大部分的研究工作主要集中于控制受限的最优控制问题.近些年来,一些学者开始考虑状态受限的最优控制问题的有限元方法.这类问题在实际应用中经常出现,但却又非常难于处理.在这些学者中,大部分研究工作主要关注于一个比较特殊的问题一状态逐点受限问题.该问题具有约束形式:y≥φ,相关的工作参阅.在一些适当的条件下,对于状态逐点受限的最优控制问题,Casas在中证明了Lagrange乘子在测度意义上存在.一般情况下对于纯状态受限问题,乘子是一个Radon测度.同时接触集包含一些未知的自由边界,而且在自由边界附近解的正则性较低.因此,对于这个问题的有限元分析是非常困难的.然而,在近几年中,对于状态逐点受限的最优控制问题的有限元方法还是有了一些进展,见,例如.对于这个问题学者们还研究了一些其它的数值方法:拉格朗日函数方法,原始对偶(Primal-Dual)策略算法,水平集(Level Set)方法,Uzawa类型的算法,Lavrentiev正则化方法和变分不等式方法,等等.然而在实际的工程应用中,人们通常更为关心如何约束状态变量的平均值或者状态变量一些能量范数(本质上是积分类型的约束).例如,我们希望控制流体的浓度或者流体的动能.所以其实也存在很多其它类型的状态约束,如积分约束,L~2模约束,H~1模约束,等等.以前的有些学者研究了一些抽象形式的状态约束,参见.他们讨论了相应于问题的Lagrange乘子的存在性.但是对于这些问题的有限元逼近和误差分析,很少有系统的研究.近些年来,一些研究者开始关注这类问题的数值方法.在中,Tiba和Tr(o｜¨)ltzsch使用不精确的罚方法研究了一个状态积分形式受限,抛物方程作为状态方程的最优控制问题.由于他们使用了不精确的罚方法,因而讨论依赖于罚参数ε,并且对于观测状态正则性的一些假设在实际中也不太合适.另外一个相关工作是由Casas在中给出的.对于半线性椭圆方程作为状态方程,在有限个状态约束下的最优控制问题,Casas给出了有限元逼近的收敛性证明.随后Casas和Mateos在中扩展了他们的结论:降低了对于状态的正则性要求,并且也对半线性分布和边界控制问题的有限元逼近也给出了收敛性证明.在他们的讨论中,需要对解的局部性质做很多假设,并且没有给出有限元解的L~2和L~∞模的最优阶误差估计.在本篇论文中,我们将对几类整体型状态受限的最优控制问题及其有限元方法给出系统的研究.在分布参数最优控制问题的有限元方法研究中,另一个非常重要的方向是自适应方法的研究.最近的研究表明合适的自适应网格可以大量减少有限元离散解的误差,见.正如我们所知,在众多类型的有限元方法中,自适应有限元方法是极为重要的一类方法.关于这种方法的算法设计,理论分析和实际计算的相关研究也是近年来比较活跃的领域.为了得到精度可以接受的数值解,自适应有限元方法的本质是应用后验误差估计子去指导网格的加密生成过程.只有当后验误差估计子数值比较大的地方才会被加密,因而计算节点比较高密度的分布在精确解比较难于被逼近的地方.所以,对于具有奇性的解,可以使用最少的自由度得到较为精确的数值逼近解.自适应有限元方法目前已经被广泛的应用于各种科学计算.对于有效的处理偏微分方程的边值问题和初边值问题,自适应有限元方法的理论和应用已经到达了某种成熟的地步.相关的一些理论和技巧,可以参见.通常,最优控制问题中的最优控制具有一些奇性.例如在一个障碍类型的约束下,沿着接触集边界最优控制的梯度有间断.因此,数值计算的误差通常主要分布在这些解有奇性的地方,参见.显然,一个有效的离散格式应该有较多的计算节点分布在这些地方.相反地,如果计算网格不能适当的生成,那么在控制有奇性或状态有边界层的地方会产生较大的计算误差.所以大量的研究表明,自适应有限元方法应用于计算最优控制问题是非常有效的.已经有大量文献研究了控制受限最优控制问题的自适应方法.我们简要的回顾一些相关工作,基于残量方法的后验误差估计分别被:Liu和Yan,Hinterm(u｜¨)ller和Hinze,Gaevskaya、Hoppe和Repin研究过.将对偶含权残量方法应用于最优控制问题,可以参阅Becker和Rannacher的文献.近来的一些研究可以参阅.关于这一领域中的一些未解决的问题可以参阅.与控制受限的问题不同,自适应方法处理状态受限的最优控制问题也是最近才有了一些初步的进展.对于状态逐点受限问题,Hoppe和Kieweg在中给出一个基于残量的方法后验估计.G(u｜¨)ther和Hinze在中将对偶含权残量方法应用于状态受限的最优控制问题.Bendix和Vexler在中也给出了一个类似的方法.Wollner在中给出一个基于内部点方法的自适应方法,并且他还处理了状态梯度受限的问题.但是一般学者都认为,状态逐点受限问题的自适应有限元方法还是一个未解决的问题.另一方面,限于作者的知识,目前还没有关于积分或L~2模状态受限最优控制问题的自适应有限元方法的研究工作.此外,多套网格在计算最优控制问题中通常也是非常有用的,见Liu.在一个有约束的最优控制问题中,最优控制和状态通常具有不同的光滑性,因此它们奇性的分布位置也是不同的.这就意味着用一套网格的策略通常可能是效率很低的.多套自适应网格(即:根据不同的后验误差指示子,对不同变量分别给出不同的自适应网格)通常是必要的.由于通常最优控制问题是一个非线性问题,需要迭代求解.对控制和状态分别用不同的自适应网格,可以允许用较粗网格去求解状态方程和伴状态方程.因为计算最优控制主要的计算负载是在重复的求解状态方程和伴状态方程,所以大量的计算工作可以被节省,相关方面的研究,参见.在本篇论文中,结合使用多套网格,我们将对于状态受限积分约束和L~2模约束的最优控制问题给出相应的自适应有限元方法.求解最优控制需要将求解优化过程和求解状态方程统一结合起来.在现有的科学文献中,已经有大量关于最优控制问题的快速数值算法的研究.主要有两种方法:一种是着眼于最优性条件,直接求解最优性条件.这种方法通常需要求解一组偏微分方程.另外一种是直接离散原优化问题,使其转化成一个有限维的优化问题,然后可以用标准现成的优化软件求解.关于这一领域的最新进展可以参阅和.然而上述两种方法不能被视为完全无关.在本篇论文中,基于优化算法的思想,我们将介绍一个简单但却有效的梯度投影算法去求解离散后的有限元系统,并且我们给出了算法收敛性的证明.同时对于不易计算投影的问题,我们也给出了两个鞍点搜索算法,并且证明了算法的收敛性.本篇论文由一些关于状态受限最优控制问题的有限元方法的工作所构成.状态变量的约束在本质上是积分类型.同状态逐点受限问题不同,通常这类问题的解具有较高的正则性,所以可以预期能得到一些有限元方法的成果.然而,限于作者的知识,到目前为止还很少有对此类问题作系统有限元分析的工作.我们发展了一系列的技巧去研究这些不同类型的问题.显然,我们在研究过程中使用的技巧和前人的完全不同.下面我们逐章的介绍论文的创新点:在第二章中,讨论了积分状态受限的最优控制问题.首先,我们证明了Lagrange乘子是一个实数,这一点为我们的数值分析奠定了基础.其次,我们得到了有限元解的误差先验估计.再次,通过使用一个L~2投影,我们得到了一些超收敛性的结果.并且利用这些结果,得出了最优的L~2和L~∞模误差估计.最后,我们提出了一个简单但有效的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.所有的结论都是基于使用多套网格,这种方式特别适合处理控制和状态具有不同奇性的问题.在第叁章中,讨论了L~2模状态受限的最优控制问题.首先,我们证明了Lagrange乘子满足:λ=ty,其中t是一个实数,而y是状态.其次,我们得到了有限元解的误差先验估计.再次,通过使用一个L~2投影,我们得到了一些超收敛性的结果.并且利用这些结果,得出了最优的L~2和L~∞模误差估计.最后,我们给出了相应的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格.对于状态积分受限和L~2模受限的最优控制问题,第四章研究它们相应的自适应有限元方法.我们分别得到了这两类问题的等价的后验误差估计子.这些估计子特别适宜应用于多套自适应网格,去捕捉控制和状态的不同奇性分布.在第五章中,我们讨论了H~1模状态受限的最优控制问题.首先,证明了Lagrange乘子满足:λ=t(u+y),其中t是一个实数,u,y分别是控制和状态.其次,我们得到了有限元解的先验误差估计.最后,我们给出了相应的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格.基于第二章的一些结论,我们在第六章研究了一个积分形式控制和状态同时受限的最优控制问题.我们得到了有限元解的收敛性结论和误差先验估计.给出了两类鞍点搜索算法来处理同时受限的最优控制问题,并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格.在第七章中,我们讨论了一个目标泛函不带罚项的L~2模控制受限的最优控制问题.首先,我们证明了伴状态满足:p=tu,其中t是一个实数,u是控制.其次,我们得到了有限元解的收敛性结论和误差先验估计.最后,我们给出相应的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.在每一章中,我们都通过数值试验去验证理论分析的结果.
于妍妍[9]2016年在《(回火的)分数阶扩散方程的差分数值算法》文中研究说明连续时间随机行走(CTRW)模型,包含随机等待时间和随机跳跃步长两个基本要素,它是统计物理学中刻画反常动力系统的支柱.幂律的等待时间分布一般用来刻画欠扩散模型;而幂律的跳跃步长分布用来刻画Lévy飞行.基于相应的CTRW模型,可以分别导出粒子的概率密度函数满足的时间分数阶,空间分数阶和时间-空间分数阶扩散方程.当CTRW模型的随机跳跃步长是回火的形式|x|-(1+α)e-λ|x|时,其对应的粒子概率密度函数满足回火的空间分数阶扩散方程.本文的具体研究内容如下:一、对标量的非线性欠扩散方程组,本文构造了半隐式的数值格式.从理论上证明了构造的数值格式是稳定的,而且这个稳定与时间步长和空间步长的比率无关.此半隐格式在时间方向是一阶收敛的,空间方向是二阶收敛的.作为一个具体的模型,本文分析了欠扩散捕食模型数值解的性质.用构造的数值格式计算了欠扩散捕食模型,并从理论上证明了所给格式可以很好地保持解析解的正性和有界性.二、讨论了带有空间Riesz分数阶导数和时间Caputo分数阶导数的非线性的捕食扩散模型.分别使用分数的中心差分算法和转移的Grünwald-Letnikov算法对捕食模型中的空间分数阶导数进行离散.所得数值格式的稳定性和收敛性是在离散的L2范数下进行讨论的.本文理论地证明了所得格式的稳定性与收敛性都是与时间方向与空间方向的网格比无关的,并确认了给定格式是时间方向一阶收敛,空间方向二阶收敛的.之后,证明了构造格式下的数值解能很好的保持解析解的正性和有界性.多个数值实验验证了理论结果和所得格式的收敛性.叁、本文提供了高阶拟紧离散Riemann–Liouville回火的分数阶导数的基本策略.CTRW模型是非平衡统计物理中许多随机过程的基础.当CTRW的跳跃步长服从幂律分布时,相应地描述Lévy飞行的Fokker-Planck方程含有空间分数阶导数.Lévy飞行的无限方差意味着粒子会有无限大的步长,而现实生活中物理空间是有界的,在这个意义下,CTRW的指数回火的幂律跳跃步长是更加‘物理’或合理的选择.对空间分数阶扩散方程,本文用一个高阶紧算法离散,并用Fourier分析法讨论了格式的稳定性.此外,数值地求解了回火的分数阶扩散方程,数值实验结果可以很好地吻合理论结果.四、侧重于寻求离散回火的分数阶导数的高阶拟紧数值算法.由于回火的分数阶导数中回火因子的存在,导致方程离散格式的稳定性分析方法与经典的分数阶扩散方程有很大差异.本文引入了一些分析技术来证明稳定性:结合矩阵的生成函数和Weyl定理,严格证明了格式的稳定性.本文还从多个方面验证了格式的有效性及误差阶.
刘小佑[10]2009年在《连续有限元求解非线性动力系统的高效算法》文中进行了进一步梳理用有限元方法求解各种微分方程,在科学研究、工程技术等方面有广泛的应用。本文研究用二次有限元方法求解非线性动力系统。我们利用四级显示R-K公式,提供单元右节点上的初值,并寻找了不用重新计算新的函数值(K_i),只需要用在计算右节点时已经得到的K_i(i=1,2,3,4)值的一个新的线性组合就可得到单元中点具有叁阶精度的值。并证明了在利用四级显示R-K公式时这是能达到的最高阶精度。而且得出对任意次元,我们都可用类似的方法得到单元内部具有同样精度的初值。这样利用这些初值和单元左端点的已知值对用有限元方法(或插值系数有限元法)离散后的非线性方程组进行几次简单迭代修正即可。从而在求解离散后的非线性方程组时可以不用牛顿法。这样能大大地减少了计算量。最后我们还提出了一个可以提供初值的方法,即利用前面已经计算的两个单元上的五个节点值(含中点值)构造四次插值。利用这个插值函数为后面的单元提供中点和右节点上的初值。而最前面两个单元可以利用任意方法启动。数值实验结果表明上述计算方法有效。而且此方法还可以用于半线性抛物型方程的计算。
参考文献：
[1]. 边值问题与初值问题有限元超收敛的相似性[D]. 赵新中. 湖南师范大学. 2001
[2]. 基于EEP法的一维非线性有限元自适应分析[D]. 杜炎. 清华大学. 2012
[3]. 具有周期初值条件的Schr(?)dinger方程全离散有限元格式及其校正[D]. 鲁文英. 湖南科技大学. 2009
[4]. 几类发展方程的数值方法[D]. 沈万芳. 山东师范大学. 2005
[5]. 外推多网格方法解非线性问题[D]. 侯玉芳. 湖南师范大学. 2013
[6]. 非线性Volterra积分微分方程及分数阶微分方程的谱配置法[D]. 王传丽. 上海师范大学. 2017
[7]. 运动方程自适应步长求解的一个新进展——基于EEP超收敛计算的线性有限元法[C]. 袁驷, 袁全, 闫维明, 李易, 邢沁妍. 第26届全国结构工程学术会议论文集（第Ⅰ册）. 2017
[8]. 状态受限最优控制问题的有限元方法[D]. 袁磊. 山东大学. 2009
[9]. (回火的)分数阶扩散方程的差分数值算法[D]. 于妍妍. 兰州大学. 2016
[10]. 连续有限元求解非线性动力系统的高效算法[D]. 刘小佑. 湖南师范大学. 2009
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