宽容合情推理，提高思维的流畅性，本文主要内容关键词为：流畅性论文,宽容论文,思维论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
众所周知，思维有两大构成要素，即逻辑思维和直觉思维.要提高思维的流畅性，一是必须允许逻辑思维有跳跃性，二是必须接受直觉思维.严谨规范的逻辑思维固然重要，但如果在思考的时候，也像书写的时候一样，逻辑思维不许跳跃、直觉思维必须逻辑化，每一步都要严谨规范、每一步都要有理有据，就必然会增加思维的分支点、拉伸思维的长度，思维的流畅性就会受到损害.所以，我认为：在思维过程中有时不妨“少问几个为什么，提高思维的流畅性”.
一、少问“为什么要选择这条路？”
对于常规性的问题，用常规性的方法来解是自然而然的事情，不应该去追问为什么.而对于非常规性的问题，学生在多重途径中选择了其中的一种，其原因多数时候是说不清楚的，也不该追问.
应当说，这个解答相当自然流畅，给出的也是一个很常规的解法.但是，面对这样的解答，有的人却要追问“为什么要提取
？你是怎么想到的？为什么不是提取其他的系数？辅助角为什么选为
？选其他角行还是不行？”对于这几个为什么，我们知道实际的“答案”是这样的：
“为什么要提取？”——因为这样就可以把函数化为基本形式；
“你是怎么想到的？”——我就是想把它化成最基本的形式；
“为什么不是提取其他的系数？”——提取其他数没有用；
“后面的辅助角为什么选为？”——因为正好；
“选为其他角行还是不行？”——选其他角也可以.有无数多个角可以选，可是那也仅仅是相差若干个周期，对函数的各种性质没有影响.是这些角中最简单的一个，凭直觉我们都会选这个！
像“为什么要选择这样做？”之类的问题，回答只能是“这样做可以成功”.其实，有时不这样做也照样成功，一题多解的情形太多了.因此，“为什么这样做？”没有必然的答案.
二、少问“为什么这样可以做出来的？”
其实能把一个题目解出来，往往是尝试的结果.可能因为最近几十年来计算数学的发展比较快，近年毕业的大学生对算理和算法的研究比较充分，所以喜欢在做题之前就“评估”所选方法的合理性.又加上《算法初步》进入中学教材，引发了对“算法选择”问题的关注.于是就有越来越多的教师喜欢追问“为什么这样可以做出来”.在解题后引导学生进行“解题反思”固然是重要的，但是过高地要求学生把其中的数学思想清晰地表述出来，却可能是不现实的.
这样，学生不得不一次又一次地停下来，细细地回答老师的追问.其实老师所问的“依据”也就是“因为根据诱导公式，sin（π-α）=sinα，所以sinA=sin（B+C）”之类显而易见的结论.更为严重的是，在学生说了“因为sin（π-α）=sinα，所以sinA=sin（B+C）”后，老师还追问一个“为什么？”无非就是想让学生再加上sinA=sin[π-（B+C）]这一条件，可是这种做法已经引起学生心理上的烦躁，不光是回答的学生失去耐心，其他的同学也认为这简直是“扫了大家的兴”.
三、少问“为什么会这样想？”
“你为什么会这样想？”或“你是怎么想到的？”，这样的问题有时无法回答.一种想法的出现，更多的是来自于直觉或经验，而不是逻辑的必然.有些“好点子”其实来自于飘忽不定的“灵感”，那就更是只可意会不可言传的了.
例3给出数列的前5项，请写一个通项公式.
（1）1，3，7，15，31，…
对于第一个数列，根据经验联想到
依次为2，4，8，16，32，于是每项都减去1就写出这样的通项公式；第二个则要把第二项的2写成
，改写成
，至于“为什么”想到作这样的变形，其实真的没有必然的逻辑性.如果硬要按照逻辑追究下去的话，反而会发现这个题目是没办法解下去的：从逻辑上看，上述的答案都不完全，还有无数多个通项公式也符合题目要求.比如第一个数列的通项可以是
=-1+k（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）（n-5），其中k可以是任意实数或代数式（只要n取任意自然数时代数式有意义即可）.上述所给的只是当k=0时的特例.这样一看，过多地追问“为什么”将适得其反.
例4 《孙子算经》的鸡兔同笼问题：一个笼子中装有若干只鸡和兔，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.求笼中鸡兔各有多少？
可以有这样的解法：假设兔子也是两条腿，那么35个头应该共有70条腿，现在有94条腿，多出来的24条全是来自于兔子，所以兔子共有12只，鸡则有23只.
这个好主意是怎么想到的？只能说是妙手偶得，并无严密的逻辑.事实上也并不是一定要这样想，也有人想到把鸡和兔子各“砍去一半的脚”，则剩余47只脚.47只脚减去35个头，就得到12只兔子.《孙子算经》提供的就是这样的解答，所以“好主意”有时没有逻辑必然性，难以说清、说出是“怎么想到的”.
四、从图形上能看出来的结论少问“为什么？”
从图形上能看出来的结论，往往就是直观或常识，虽然有时是不可靠的，但不必因噎废食.其实“数形结合”本身就是我们应该着意培养的数学素养，不能因为偶尔的视觉偏差就对直观结论畏首畏尾.特别是对于中学生而言，非要对明显的图形问出个所以然来的做法也是大可不必的.数学的教育形态不同于学术形态，中学数学只需“适度严谨”即可.
例5 平面的一条斜线在这个面上的射影是什么呢？我们通常是这样做的：在直线上取斜足以外的一点，作这点在平面上的射影，则过斜足和垂足的直线就是该斜线在平面上的射影.但是，有的人偏偏要追问：“斜线上其他点在平面的射影一定与刚才的那个垂足和斜足共线吗？能证明吗？”
然后再利用线面垂直的性质定理构造共面，共面以后再用两个平面的交线（公理2）加以“证明”.这样一个简单直观的问题，被他节外生枝搞成了一团糨糊.也许他想追求的是理论上的“严谨性”，岂不知数学也有其“经验”的成分.就算是顶级的数学大师，也不会拒绝直观解释，何况是中学生呢？
例6 抛物线
=4x的焦点为F，另有点A（3，2），点P在抛物线上运动，则PA+PF的最小值________.
这也是个老题目，解法也很简单，只要利用抛物线的定义，作出准线来（如图），即可看出结果是4.
但是，就是有人问“为什么当PA与准线垂直时，PA+PF会最小？”于是又去作一些辅助线，对这一结论进行“严格的证明”，而证明的依据也还是“直角三角形的斜边大于直角边.”真是令人着急.
五、模式化的东西不需要再问“为什么”
我们国家对数学的定义是“数学是关于空间形式和数量关系的科学”，美国对数学的定义是“数学是关于模式和秩序的科学”.两种不同的数学观，导致了两种不同的价值观和方法论.举例来说，对于某一个问题的解法，我们的老师可能要考虑“为什么要这样想为什么要这样做？”（因为我们是要探究关系），而美国老师的观点却可能是“就是该这样想，就是该这样做”（因为他们训练的是模式）.
教学上的这两种价值观，不是生硬对立的，但有明显的不同，孰优孰劣也难以一言以蔽之.笔者的观点是，在起始课教学和概念课教学中，中国老师的方法更可取更成功；在规律课和实验课教学中，美国老师的方法更快捷更有效率；如果把二者结合起来，找到一个恰当的平衡点，可能既有利于思想的感悟、基础的形成，又有利于头脑思路的明确和动手能力的提高.
我们培养的学生，终归是要到社会上去生存、去合作、去贡献的，现代大工业社会，每个公民都有一系列的模式需要遵守.大的有国家的法律法规、社会道德；小的有行业标准和公司章程；具体的还有某个工序的技术标准和操作规范，这是当代社会的普遍价值.对这些模式化的东西，我们只能去遵循，不需要诘问那是“为什么”，否则你很难立足于社会.记得我十年前曾到新加坡参加东亚国际数学大会，的士司机提醒我在后排也要系安全带……我问为什么，司机一脸茫然答是政府规定的……
数学课上的教学，就算撇开“情感态度价值观”目标，单就提高数学能力这一项来说，我们也需要让学生在思维、运算、表达、验证、评价等多个方面形成固定的行为模式.如果连根本性的、必不可少的“套路”都不具备，奢谈“创新”是毫无意义的.而对那些模式化的东西，老师就不需要追问“为什么”了，就像不需要追问“走路时为什么要迈腿？”一样.
结束语
20世纪30年代，著名数学教育家波利亚提出“逻辑推理”以外还有“合情推理”，被认为是对数学思维和数学教育研究的巨大贡献.我国的《教学大纲》中关于数学三大能力之一的“思维能力”的表述是“逻辑思维能力”，但是在新的《课程标准》中已经改为“思维能力”.据此编撰的教材中也专门安排了“合情推理”的训练，但是有的人还是不能接受合情推理这一并不新鲜的“新生事物”，凡事非要问个“为什么”，否则就不放心.
固定化的逻辑推理可以形成“思维块”，“思维块”的应用又导致思维的跳跃性；合情推理中有很多的直觉思维，直觉思维又有“模糊性”.如果纠缠于一个又一个的为什么，思维块将被打破，模糊性将被梳理.思维的浓度被稀释，思维链被拉长，思维的跳跃性没有了，大范围的联系被阻隔了.剩下的只能是按部就班的线性推进，肯定谈不上飞跃与突破，又何来创造性呢？