Vasiek利率模型下的亚式期权的定价问题和数值分析，本文主要内容关键词为：期权论文,数值论文,利率论文,模型论文,Vasiek论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
与经典的看涨和看跌期权(Call/Put Option)不同，金融市场中更多的衍生工具都是依赖其历史行情的，这就是文献中所谓的奇异期权(Exotic Option)。研究表明，即使在最简单的Black-Scholes框架下，这类依赖路径的期权定价也很少有显式公式。而实际中有些期权的生存期限比较长，比如说员工持股计划中的期权工资，其合同一般都长达数年，这个时候利率的波动对其定价和相关问题都将具有一定的影响。所以在许多情况下都有必要把利率的随机因素考虑进去。但这种变化将在理论的实际应用中产生很多技术性的困难，比如说解的奇异性问题以及数值分析时的收敛性和稳定性问题。
本文所研究的是在随机利率下的亚式期机的定价问题。我们假定利率服从是单因子Vasi
ek模型，而期权是到期时间为T，敲定价格为[0,T]上基本资产的算术平均值的看涨亚式期权。在实际市场中，这种衍生工具常被用来在某一时段内交易不太频繁的基本资产进行套期保值，同时也被用来避免普通的欧式期权在到期日所可能蕴涵的基本资产价格被投资人操纵的市场风险。
但是这一期权的定价和套期保值问题从理论上来说是非常难以解决的。由于我们得不到几何布朗运动算术平均值的具体分布，或者说所对应的抛物型方程不能通过一一变换转化成常系数的线性方程，所以对这一期权至少在短时期内还看不到有任何显式定价公式的可能。大量的文献都在研究近似的数值计算方法，在常利率之下这些研究大体上可以分成如下几类：
第一类是数值方法。在这一类方法中，有从概率统计的角度通过逼几何布朗运动泛函的分布来设计Monte Carlo方法，如见[1,2]（参考文献见原文，下同），但这种方法的缺点在于无法控制最大误差；也有文献直接对所涉及的偏微分方程进行数值计算，如[3～5]。
另一方法是所谓的解析逼近。从概率论的角度，这种方法是通过构造股票价格的算术平均值的相对简单的渐进序列来近似计算，这种方法的局限性在于方法本身难以估计相应的误差，如Turnbull & Wakeman(1991)和Levy(1992)。也有利用反Laplace变换或Taylor展开的方法做近似计算的若干结果（见[6～9]），但这些方法同样没有解决误差的估计问题。
还有一种方法是对价格做上下界的估计，通过计算上下界来得到价格的近似数值，如[3,10,11]。
除此之外还有利用微扰理论对退化的Cauchy问题进行分解，得到一部分显式表达公式以及易于数值计算的残差项，如[12]。
所有上述的研究都是基于利率是常数的前提。当考虑到利率的随机因素时，状态空间的维数就要增加1维，从计算的角度来说，要提高速度和精度都会遇到技术性的困难。通过对所涉及的退化的抛物型方程的Cauchy问题进行变量代换，我们把状态空间的维数降低了一维。为克服其中的奇异性的对数值结果的影响，本文则利用已有的随机利率下的期权定价公式，对方程进行了分解，第一部分的方程虽然保持奇性，但是其解具有一个精确表达式；而残差部分满足系数和初始条件都充分光滑的Cauchy问题，我们运用一般的差分方法对该部分进行了有效的数值计算。
本文行文如下：第二节简单回顾了随机利率下的期限定价公式，并对亚式期权的价格进行分解；第三节则对残差项进行有差分分解，设计具体的运算格式；第四节在列举了若干数值运算的结果；最后我们讨论了本文方法的普遍意义。
一、随机利率下的亚式期权的定价理论
本文假设所考虑的金融市场中包含一个基本风险资产，比如说股票，以及其上的一个到期日期为T敲定价格为[0,T]上股票价格的算术平均值的看涨亚式期权。但是利率是随机的。为保证市场的完全性，我们还假设在市场中还存在一个到期时刻为T的0息票(Zero-Coupon)。以概率空间（Ω，F,P）描述市场的随机性，并假定短期利率γ和股票价格S模型如下：
由于此方程的所有系数包括初始条件的都是充分光滑的，所以我们将运用显式的有限差分格式对此Cauchy问题进行数值计算。为此，取
二、计算结果分析
我们对不同的市场参数计算了欧式期权的价格。所得结果如表1和表2给出（表略，见原文，下同），同时也给出了不同参数下相关f的变化曲线。
三、结论
本文利用解的分解的方法对随机Vasiek利率下的欧式期权的价格进行了处理，回避了解的奇异性对算法造成的影响。并用有限差分格式设计了Cauchy问题的有效算法。所应用的方法可以作更一般的推广，有关结果见作者们的另一工作。实践表明，我们这样的处理技巧在实际计算中有着明显的优势。