何 涛 甘肃省瓜州县三道沟中学 736102
数学中的分类讨论思想与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题。究其原因，主要是平时的教与学中对“分类讨论”的数学思想渗透不够，学生对分类讨论思想的运用不熟练。
以下就四种常见的问题，分别举例说明：
一、应用问题中的分类讨论
例1.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带均按定价的90%付款（两种优惠方案不可同时采用）。某商店老板要到该服装厂购买西装20套和领带若干条(超过20条)，请你帮助商店老板选择一种较省钱的购买方案。
分析：因已知条件中未明确所购领带的具体数量，因而较省钱的购买方案是不确定的，而是由不同的领带购买数量所决定的。
解：设商店老板需购买领带x条，则按方案一购买，应付款200×20+(x-20)×40=40x+3200(元)；按方案二购买，应付款(200×20+40x)×90%=36x+3600(元)
设y=(40x+3200)-(36x+3600)=4x-400(元)
(1)当y＜0时，4x-400＜0，即20＜x＜100，方案一比方案二省钱。
(2)当y=0时，4x-400=0，即x=100，方案一与方案二同样省钱。
(3)当y>0时，4x-400>0，即x>100，方案二比方案一省钱。
综上所述，当购买领带超过20条而不到100条时，选择方案一省钱；当购买领带等于100条时，选择两种方案同样省钱；当购买领带超过100条时，选择方案二省钱。
二、方程问题中的分类讨论
例2.已知方程(a-3)x|a-1|+x2-3=0是关于x的一元二次方程，求a的值。
分析：由题意可得，指数|a-1|可以取不大于2的所有自然数，即2、1、0。而常见的错误是只取|a-1|的值为1。
解：（1）当|a-1|=2时，a=3或-1，此时方程为x2-3=0或-3x2-3=0。
（2）当|a-1|=1时，a=2或0，此时方程为x2-x-3=0或x2-3x-3=0。
（3）当|a-1|=0时，a=1，此时方程为x2-5=0。
综上所述，a的值为-1、0、1、2或3。
三、三角形问题中的分类讨论
例3.如图，已知直线l1、l2和线段AB。
求作：直线l1、l2上的点P，使△PAB是等腰三角形。
分析：已知等腰三角形的一边AB，作等腰三角形需分成两类：AB为底边；AB为腰。而第二类又可细分为：∠A为顶角；∠B为顶角。
解：(1)当AB为底边时，作线段AB的中垂线，交直线l1、l2于点P1、P2；(2)当AB为腰时，①以点A为圆心、AB为半径作圆，交直线l1、l2于点P3、P4、P5、P6；②以点B为圆心、AB为半径作圆，交直线l1、l2于点P7、P8、P9、P10。
综上所述，P1、P2……P10为所求作的点。
四、圆中的分类讨论
例4.如图，在平面直角坐标系中，P是经过O(0，0)、A(0，2)、B(2，0)的圆上的一个动点，(P与O、B不重合)，求∠OPB。
分析：显然动点P在圆上有两种不同的位置。(1)点P在优弧OAB上；(2)点P在劣弧OB上。
解：∵∠AOB=90°，OA=OB=2
∴∠OAB=∠OBA=45°
(1)当点P在优弧OAB上运动时
∠OPB=∠OAB=45°
(2)当点P在劣弧OB上运动时
∠OPB=180°-∠OAB=135°
∴∠OPB=45°或135°。
五、结语
分类讨论思想涉及初中数学的全部知识点，其关键为分清引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，按可能出现的所有情况做到准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对数学学习的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。
参考文献
[1]李明 初中数学操作型探究题的分类解析[J].黑龙江教育（中学教学案例与研究），2008，(4)。
[2]母先琴 分层教学分类指导——初中数学教学与实践[J].考试周刊，2008，(29)。
[3]张佩玲 初中数学“开放型”题目的分类研究[J].中学数学杂志（初中版），2006，(2)。
论文作者:何 涛
论文发表刊物:《教育学文摘》2013年12月总第106期供稿
论文发表时间:2014-1-21
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