新疆乌鲁木齐市第十中学 830000
摘要：掌握正确的解题技巧和高效的解题方法对于学生学习和掌握立体几何相关知识来说具有非常重要的作用。因此，应该加强学生对于相关知识的学习，深入分析如何能够更加正确、更加快速的解决问题，促使学生能够在实际的解题当中总结解题经验，掌握解题技巧，促进学生解题能力的提升。基于此，本文针对高中数学立体几何题的解题技巧加以深入的分析和研究。
关键词：高中数学；课堂教学；立体几何题；解题技巧；教学策略
在高中数学重难点内容当中立体几何是非常重要的内容之一，对于增强学生的逻辑运算能力、培养学生的空间思维等方面，掌握和学习立体几何相关问题的解题方法和技巧具有非常重要的作用和影响。由此能够看出，加强对高中数学立体几何题的解题技巧的相关思考和研究具有十分重要的作用和现实意义。本文就以一道立体几何题为例，针对相应的解题技巧进行思考和解析。
如右图1所示，边长是2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面之间相互垂直，M是CD上与C、D不同的点。
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M-ABC的体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。
这道题所考查的就是学生能够理解面面垂直的定理、证明，空间几何的结构特征以及二面角等相关的数学知识。由于在解答立体几何题的过程当中要求学生应该提炼相应的图形特征，推理几何条件，然后开展对于数学问题的综合性计算和分析，因此，针对学生的数学运算能力、逻辑推理能力以及空间想象能力等方面的要求非常高，同时，在解答这样问题的过程中需要学生能够渗透一些相应的数学方法和思想等，充分利用化归思想、数形结合等解题技巧对问题进行分析和讨论。
第（1）问求证的就是面面垂直，可以使用常规的几何法进行求解：
【思路一】
根据面面垂直的定义能够获得，如果两个平面的二面角是直二面角，那么这两个平面之间相互垂直。因此，就可以依照面面垂直的定义建构结题模型，首先应该确定什么是二面角的平面角，分析平面角的角度，逐渐的完成相应的证明。这个解题思路的难点就是如何构建二面角的平面角，因此，就可以运用绘制平面角的交线获得。
解：如图2所示，过点M作直线m，使得m∥AD，
依照线面平行的性质能够得知，m是平面ADM与平面BMC的交线，
所以，平面ADM∩平面BMC=m，
深入分析得知MC⊥m，DM⊥m，
所以，∠DMC实际上就是二面角D-m-C的平面角，
由直径所对的圆周角为直角能够得出，∠DMC=90°，
所以平面AMD⊥平面BMC。
【思路二】
由题可知，线面垂直的判定定理完成相应的线面垂直证明，然后再根据面面垂直的判定定理对面面垂直进行构建，这个解题思路的难点就是如何证明线面垂直，在进行证明的过程当中要求学生应该深刻挖掘问题当中所包含的垂直关系，然后再根据平面几何的线线垂直方面着手进行证明和完成。
解：由题可知，平面CDM⊥ABCD上的射影在线段CD上，并且CD⊥BC，因此，DM⊥BC。
如图3所示，连接CM，因为，CD是半圆的直径，点M在圆弧上，
所以，∠DMC=90°，所以，DM⊥BC，
又因为DM平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC。
第（2）问求解三棱锥M-ABC体积最大的时候，平面MAB与平面MCD所构成的二面角正弦值，因此，可以将这个问题拆分成为两个问题：
①三棱锥M-ABC的体积最大的时候；
②两个平面所成的二面角正弦值。
根据①当中体积最大等条件能够确定圆上的点M位置，然后使用几何当中相应的方法构建二面角，需要两个步骤进行和思考，首先，三棱锥M-ABC的体积是△ABC的面积与点M到地面距离的乘积的三分之一，能够得出——
所以，三棱锥M-ABC的体积大小会受到h大小的影响，直接体现于点M到直线CD的距离之上，这是三棱锥的体积是最大的，针对第二步当中构建二面角应该运用多元化的解题方法，主要的方法可以选择射影面积、向量法以及几何法等三种，针对不同的解题方法存在不同的转化方法和难点。
【方法一】——射影面积法
在求解二面角正弦值的过程当中可以先求解二面角的余弦值，然后再进行转化，而在求
面与平面所成的二面角的平面角。在进行求解的过程当中，可以使用平行和垂直的方法构建相应的摄影图形，从而能够获得射影图形的面积，然后再根据面积比值，求解二面角的余弦值。
解：因为AD∥BC，平面DMC⊥平面ABCD，所以△MCD实际上就是△MAB在平面MCD上的投影。
【方法二】——几何法
充分使用几何法去解答二面角的问题，应该考虑到面MAB与面MCD之间不存在交线，所以，所成的二面角是没有棱的二面角，针对这样的二面角在求解的过程当中应该明确两个平面所构成的交线，然后在构建二面角的平面角的时候，具体的做法就是先作辅助线，然后再找出二面角，并且加以证明和思考，最后求解二面角。
解：MO⊥CD的时候，三棱锥M-ABC的体积是最大的，
过点M作之间EF，得EF∥DC，所以，OM⊥CD，
由线面平行的性质能够得出，EF就是面MAB和面MCD的交线，
所以EF就是二面角的棱，
连接PM、OP，则PM⊥EF，能够得出∠PMO就是二面角的平面角。
结语：综上所述，对于高中生来说，立体几何知识是数学学习中非常重要的一部分。因此，在实际教学中，教师应从基础知识入手，掌握学生的实际学习情况，正确引导学生形成良好的立体几何思维，从根本上巩固学生对数学知识的学习和掌握。
参考文献：
[1]平克.让立体几何变得不再“立体”——浅谈高中数学教学中“肢解”立体几何[J].数学教学通讯,2018(30):42-43.
[2]杨芳燕.化归思想培养方略——以一道经典的立体几何问题为例[J].数学教学通讯,2018(24):48-49.
[3]房亚姿,杨军.从一道二面角问题管窥高中数学教师的解题能力[J].上海中学数学,2018(Z1):10-12.
论文作者:张进
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第08期
论文发表时间:2019/10/16
标签：立体几何论文; 平面论文; 平面角论文; 棱锥论文; 方法论文; 几何论文; 体积论文; 《教育学文摘》2019年第08期论文;