构造平行四边形解题,本文主要内容关键词为:,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。
平行四边形是特殊的四边形,它具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等诸多性质。在证(解)一些几何问题时,若能根据图形的特征,添加恰当的辅助线构造平行四边形,并利用其性质,可将问题化难为易,化繁为简。下面分类举例说明。
一、构造平行四边形证两线段平行
例1 在△ABC中,AC>AB,在它的两边AB、AC上分别截取BD=CE,F、G分别是BC和DE的中点。求证:FG和∠BAC的平分线AT平行。
分析 要证FG∥AT,可通过角平分线AT和中点与FG去构造平行四边形。
图1
证明 如图1,过B、D分别作AT的垂线,垂足分别为K、N,且分别交AC于M、Q,连接GN、FK,则由AT平分∠BAC,得DN=NO,BK=KM。
又由DG=EG,得
又由AT平分∠BAC,DN⊥AN,BK⊥AK,得BD=MQ。
因为BD=CE,所以MQ=CE,
则EQ=MC,NG=FK。
又NG∥FK,所以四边形GFKN是平行四边形。故FG和∠BAC的平分线AT平行。
二、构造平行四边形证两线段相等
例2 如图2,在△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF。
图2
证明 过E作EG∥AC,交BC于G,连接CE、GF,
则∠EGB=∠ACB。
因为AB=AC,
所以∠ABC=∠ACB。
所以∠ABC=∠EGB,
所以EG=BE。
因为BE=CF,所以EG=CF。
又EG∥CF,
所以四边形EGFC是平行四边形,
故DE=DF。
三、构造平行四边形证两线段互相平分
例3 在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,AF与BE相交于G,CE与DF相交于H,求证EF与GH互相平分。
图3
分析 欲证EF与GH互相平分,只需证四边形EGFH为平行四边形。利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都是平行四边形,可得AF∥EC,BE∥DF,从而四边形GFHE为平行四边形。证明过程略。
四、构造平行四边形证两角相等
例4 如图4,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是CD、AB的中点,直线EF分别交BC、AD延长线于点S、T,求证:∠ATF=∠BSF。
图4
分析 由于∠ATF和∠BSF不在同一个三角形中,又不可能在两个全等的三角形内,那么可通过作平行线使要证明的两个角有一定的关系。由于所给中点和线段相等的条件都在四边形ABCD上,因此可以把∠ATF和∠BSF移到四边形ABCD内。
证明 如图4,作平行四边形DEGA和平行四边形ECBH,连接GF、HF。
于是AG∥DE,AG=DE,
BH∥CE,BH=CE。
所以∠GEF=∠ATF,
∠HEF=∠BSF。
因为DE=EC,
所以AG∥BH,AG=BH,
故四边形AGBH是平行四边形。
因为F是AB的中点,所以H、F、G三点共线且F是GH的中点,所以EF是△EGH的中线。
又因为EG=AD=BC=EH,
所以EF是∠GEH的平分线。
即∠GEF=∠HEF。
所以∠ATF=∠BSF。
五、构造平行四边形证线段的倍分关系
例5 如图5,已知AB=AC,B是AD的中点,E是AB的中点,
求证:CD=2CE。
图5
证明 延长CE至F,使EF=CE,连结AF、BF。
因为E是AB的中点,所以四边形CAFB是平行四边形,
于是有AC∥BF,AC=BF,
所以∠CAB=∠FBA。
因为AB=AC=BD。
所以BD=BF,∠ABC=∠ACB,
所以∠DBC=∠ACB+∠BAC=∠FBC。
又BC=BC,
所以△DBC≌△FBC(SAS)。
所以CD=CF=2CE。
六、构造平行四边形证线段的和差关系
例6 如右上图6,在梯形BCED中,DE∥BC,延长BD、CE交于A,在BD上截取BF=AD,过F作FG∥BC交EC于G。求证:DE+FG=BC。
证明 作FM∥AC交BC于点M,
则四边形FMCG是平行四边形,
∠BFM=∠A。
因为DE∥BC,
所以∠ADE=∠B。
又BF=AD,
图6
所以△BFM≌△DAE。
故BM=DE。
在平行四边形FMCG中,FG=MC,
所以DE+FG=BM+MC=BC。
七、构造平行四边形证(解)面积问题
例7 等腰梯形的中位线长为m,且对角线互相垂直,求梯形的高和面积。
分析 梯形的面积是中位线与高的乘积,可考虑添加辅助线构造平行四边形,使梯形的两条对角线和“两底”放在同一个三角形内研究。
解 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,EF是中位线,AC⊥BD于O。过C作CG∥BD交AB的延长线于G,则四边形BGCD是平行四边形,于是
BG=CD,BD=OG。
图7
因为BD⊥AC于O,所以CG⊥AC,
即∠ACG=90°。
又因为四边形ABCD是等腰梯形,
所以AC=BD,
所以AC=CG,△ACG是等腰直角三角形。
过C作CH⊥AG于H,
则H是AG中点,