陕西省咸阳市渭河电厂幼儿园雷燕 712000
陕西省西安市高陵区通远小学 李艳710200
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摘要：上世纪90年代，国外数学家发现了两组自然数平方的对半和仍然是平方数的现象。笔者对其进行了深入研究并有惊人发现，同时发现了递推特性，并提出了完全平方数对半和猜想。
关键词 平方数 对半和 递推 猜想
§1.导言
1992年2月，两位印度数学家发现了一组非常奇特的平方数：
9562=913936 913+936=1849=432
…………………………………
9682=937024 937+024=961=312
这13个连续自然数每一个数平方的对半和仍然是平方数，而且是连续自然数的平方。
这个发现令数学家们感到十分惊讶，被称为几千年来自然数研究的“漏网之鱼”，被当代人捉住了【1】。
1996年9月，美国数学家欧文?托马斯发现了一组具有同样特点的42个平方数【2】：
98592=97199881 9719+9881=19600=1402
…………………………………
99002=98010000 9801+0000=9801=992
自然数的这个特性引起了笔者浓厚的兴趣。于是就想到，还有类似的现象存在吗？接着就对这个问题进行了深入研究。
§2.平方数对半和性质的新发现
笔者经过计算，发现了两组具有同样性质的平方数。第一组是：
782=6084 60+84=144=122
882=7744 77+44=121=112
982=9604 96+04=100=102
第二组是：
492=2401 24+01=25=52
392=1521 15+21=36=62
292=841 8+41=49=72
192=361 3+61=64=82
笔者由492=2401受到启发，就从499、4999切入开始研究，并向199、1999逐渐递减，终于有了新的发现：
49992=24990001 2499+0001=2500=502
然后每次从4999中递减100，竟然得到了惊人的结果：
48992=24000201 2400+0201=2601=512
47992=23030401 2303+0401=2704=522
……………………………
32992=10883401 1088+3401=4489=672
31992=10233601 1023+3601=4624=682
从3099开始，其平方变成了7位数，无法求真正的对半和。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆笔者采用变通的方法，以前3位加后4位，其特性仍然成立：
30992=9603801 960+3801=4761=692
29992=8994001 899+4001=4900=702
……………………………
11992=1437601 143+7601=7744=882
10992=1207801 120+7801=7921=892
笔者逐一计算出了这40个四位数平方的对半和（包括变通），正好是连续自然数50~89各数的平方，而且准确无误。
§3.神奇的递推特性
然而，更奇特的现象还在后面。笔者经过进一步研究发现，上面的40个四位数平方的对半和，其特性还可以递推。
我们从这40个四位数中选取3个数来观察：
48992=24000201 2400+0201=2601=512
44992=20241001 2024+1001=3025=552
32992=10883401 1088+3401=4489=672
给每个四位数的个位数后面添两个9，经过笔者计算，其特性仍然是成立的：
4899992=240099020001 240099+020001=260100=5102
4499992=202499100001 202499+100001=302500=5502
3299992=108899340001 108899+340001=448900=6702
经过笔者试验研究，这个特性还可以继续递推，变成八位数、十位数、十二位数……，其特性仍然是存在的。
§4. 递推特性的推广
笔者从这个递推特性受到了启发：如果从499999中每次递减1000，情况又会怎样呢？
4989992=249000002001 249000+002001=251001=5012
4979992=248003004001 248003+004001=252004=5022
…………………………………………………
1019992=10403796001 10403+796001=806404=8982
1009992=10200798001 10200+798001=808201=8992
笔者逐一计算了从498999~100999这些数的平方，求出其对半和（包括变通）并开平方，准确无误地得到501~899这连续399个自然数。
§5. 再深想一步
根据递推特性，笔者再从49999999中每次递减10000，就得到：
499899992=2499000000020001
24990000+00020001=25010001=50012
499799992=2498000300040001
24980003+00040001=25020004=50022
…………………………………………………
100199992=100400379960001
1004003+79960001=80964004=89982
100099992=100200079980001
1002000+79980001=80946009=89992
笔者逐一计算了从49989999~10009999这些数的平方，求出其对半和并开平方，准确无误地得到了5001~8999这连续3999个自然数。这不能不说是一个奇迹！真所谓大千世界，无奇不有。
按照这个递推特性继续计算下去，一定还会得到几万、几十万个具有这个特点的数。
§6. 完全平方数对半和猜想
根据以上计算分析，笔者提出完全平方数对半和猜想：
32~50各数与102之积减1，其平方的对半和必定是完全平方数；
319…9（n个9）~499…9（n+1个9）各数与10n+2之积减1（n=1，2,3……），其平方的对半和必定是完全平方数。
请数学爱好者予以证明。
以上新发现，是对几千年自然数研究“漏网之鱼”的重要补充。
参考资料
1.戴宏图. 一个有趣的连续数组. 小学数学教师. 1996，6.
2.蒋秀章.有趣的连续数组的再发现. 小学数学教师. 1997，2.
论文作者:雷燕,李艳,,杨勇先
论文发表刊物:《创新人才教育》2019年第2期
论文发表时间:2019/4/8
标签：自然数论文; 笔者论文; 特性论文; 陕西省论文; 求出论文; 仍然是论文; 四位论文; 《创新人才教育》2019年第2期论文;