辩证看待解题经验，培养思维的灵活性，本文主要内容关键词为：灵活性论文,思维论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
心理学家N.R.F.梅伊尔在研究过去经验对于问题解决过程的作用时指出：“一个人不会解一道题，不是因为他不能找到一种解法，而在于他习惯的运算方法妨碍了他去想出恰当的解题方法。”[1]这也是为什么我们有时能看懂别人的解法，但自己却想不到的原因。
在解题教学中，思维的灵活性表现为在解题出现错误或无法进行下去的时候，或者在觉得第一种解法冗长笨拙的情况下，能够从已经确定的思路中跳出来去发现新的思路。[2]
由于受应试教育的影响，数学教学中一直非常重视解题经验的传授，学生解题时，往往单纯地套用“经验”，效仿范例，一旦解出就大功告成。如果长期藉用这种简单而粗糙的“耕作”方法，不让学生去独立自主地思考、分析，探求规律，那么学生将永远停留在低水平的简单模仿水准上。当碰到套用“经验”失效时，他们就会一筹莫展、无计可施，因此在解题教学中，不但要自觉地使用以前积累的教学模式，而且更应努力突破在过去经验中形成的定势思维，灵活思考问题。下面联系《普通高中数学课程标准（实验）》（下面简称《课标》）“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解”[3]的要求，将平时解题教学中引导学生突破经验的约束，灵活思考的一些做法、体会形诸文字，请方家批评指正。
一、山穷水复疑无路，回本溯源又一村
这是一道经典的“老”题，难住了很多学生。通常见到分式和三角二次项我们都习惯于通分和降次，如果循着这个思路证明，是多么的复杂？况且《课标》已淡化了半角公式、和差化积、积化和差等公式运用的要求。但当我们从正面解决问题感到困难，尝试从问题反面去分析并且解决了问题时，他们感到非常的惊讶——我们怎么就想不到呢？
一般地若从正面直接解决问题较为困难、或不能解决时可考虑用反证法，常见的模式有“证明××至少一个成立”，“证明××至多一个成立”，“证明××不成立”等等时可用反证法。有些学生由于习惯于套用模式解题，当问题中模式结构不明显或不出现时，就不能够从解题经验中走出来领会“若从正面直接解决问题较为困难、或不能解决时可考虑用反证法”其含义并运用之。
师：同学们考虑得很全面，求解一元三次不等式对我们来说确实困难（除非很特殊的）。然而有一些数学问题涉及若干个量，其中有变量也有常量，由于受思维定势的影响，我们不太习惯把其中的常量暂视为变量、变量暂视为常量，结果便导致解题过程异常复杂、甚至无法解出。其实，常量与变量两者的关系是相对辩证统一的。我们学习了导数知识，大家解此题时，习惯地将x看作主元，引入三次函数，通过求导，求函数极值，再求a，这是常见的解法，但当这条路不容易走通时，我们可以换一个角度考虑问题。如果将题中x与a的地位对调，将方程视为关于a的一元二次方程，这样问题就转化为研究一元二次方程根的情况，就会迎刃而解。
一元二次方程是中学阶段学习的最基本的方程，它与一元二次不等式、二次函数有密切的联系，贯穿于整个高中教学过程，具有广泛的应用性、联系性、基础性和本质性。现在中学数学内容去掉了韦达定理，也是强化运用一元二次方程思想方法的体现。
四、勇往直前诚可贵，适时回首价更高
例4 甲、乙、丙三人约定于6时到7时之间在某地会面，已知三人都不会违背约定且无两人同时到达，求甲第一个到、丙第三个到的概率。
此题并不复杂，可是学生却不得其解。
设甲、乙、丙三人到达约会地点的时间分别为6时x分，6时y分，6时z分，则甲第一个到、丙第三个到的充要条件是0≤x＜y＜z≤60。
用A表示事件“甲第一个到、丙第三个到”，则每个试验结果可表示为(x,y,z)(0≤x＜y＜z≤60)。
所有可能事件组成的集合D=｛(x,y,z)10≤x,y,z≤60｝，它表示边长为60的正方体。
所有事件A构成的集合D=｛(x,y,z)10≤x＜y＜z≤60｝，然而解答至此，学生们便做不下去了。中学数学不介绍空间解析几何，学生们没学过平面的解析表示法，因此他们不知道事件A构成的集合D究竟表示何种区域图形。此时，若补充讲授平面方程的知识，固然可以解决问题，但无论是课时还是学生的认知水平等条件都不允许，即使讲解了，也是为临时解题而补讲，只会事倍功半。
由于受到“两人相约6点到7点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。求两人会面的概率”类似题目解题方法的影响，学生们立刻从几何概型的角度分析解题，然而却遇到了知识缺陷的障碍，不知道事件A构成的集合D究竟表示何种区域图形。
思维的灵活性表现为当解题过程中遇到困难时，能够及时调整解题思路，适时回首，寻求新的解决途径。不妨从古典概型的角度来看。实际上，进一步抽象，抛开甲、乙、丙具体的到达时间不看，只看其到达时间的先后关系，即x,y,z的大小关系，共有六种。由于甲、乙、丙某一时刻到达会面地点是等可能的，且x,y,z的大小关系共有六种，故甲第一个到、丙第三个到的概率
。
五、问渠哪得清如许，为有源头活水来
定义是最基本的概念，它是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明。数学运算法则是进行数学运算、推理的基本依据，是开展数学演练活动所依靠和遵照的守则，运用好定义或运算法则可简化思维及运算过程，使复杂问题简单化。
方法三 运用求导法则。
因为f(x)=(x-2)[x(x-1)(x-3)…(x-100)]。
所以f(x)=[x(x-1)(x-3)…(x-100)]+(x-2)[x(x-1)…(x-100)]'。
所以f'(2)=2·1(-1)(-2)…(-98)+0=2.98！。
方法一当f(x)右边的因式较少时可运用，因式较多时实际上运算困难（甚至不可行），如再补充讲解多项式理论，既增加教学困难，也增加教师与学生负担。方法二紧扣导数概念的本质，让学生再次感受函数求导的过程。当学过常见函数的求导公式和函数的求导法则后，许多学生已将运用定义求导这一“原生态”方法淡忘了。方法三紧扣教材中导数求导法则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，运用化归思想，将一百零一个因式的乘积转化为两个因式的乘积求导。当我们运用“习惯性的方法”解决问题不奏效时，不妨返璞归真，考虑运用最原始的工具——定义或法则。
六、小荷已露尖尖角，理应让其展风采
三角方法、解析方法、向量方法等等都是解决数学问题的基本工具，针对不同问题灵活选择运用合适的基本工具，有利于问题的顺利解决。
例6 边长分别为7和8的矩形内，放置了5个大小相同的正方形（如图2），求正方形的边长。
这是日本的一道奥赛试题[4]，题目新颖，解法较多，文[5]运用三角方法和解析方法作了解答。而文[4]给的解法，运用了向量方法，将传统的几何问题，转化为代数运算，化难为易，化繁为简，简捷明了。
三角方法、解析方法等都是我们解题的常用的工具，是几何问题代数化的有效武器。然而“设向量”的方法更具有其独特的优越性，但在国内才开始运用，尚未“流行”。目前中学内容涉及的向量问题多以向量为载体，或者只用一下向量表示，真正地把向量作为工具和方法运用的问题较少，但运用向量的概念和运算方法去解决某些不以向量形式出现的问题，往往显得简明、便捷。因此，为适应新《课标》、新教材的要求，我们教师应给予向量方法一定的重视，培养运用向量工具的习惯。[6]
辩证看待解题经验，培养思维的灵活性，不仅表现在我们解题遇到挫折时，能重新审视思维，调整思路，寻求解决问题的新途径，还应表现在我们顺利解题后，能不满足现状，挑战传统习惯，不断学习新知识，培养新意识，探求新路子，运用新观点，推广新方法。下面我们再通过一题，体会向量方法的运用。
例7 一个空间六边形（六个顶点不在同一平面内），如果有三组对边平行，求证此三组对边长分别相等。
此题一出，便难住了学生，他们画不出满足题意的图形，运用传统方法（构造平行四边形、全等三角形等）证明两边相等的思路受阻。其实无需画图，运用向量方法很易证明。
设空间六边形六边依次为a,b,c,d,e,f，它们首尾相连组成一个封闭图形，不妨设a∥d,b∥e,c∥f，由向量加法法则可知a+b+c+d+e+f=0。
由题设知a与d共线，b与e共线，c与f共线，则存在非零实数k、m、t使d=ka,e=mb,f=tc。
于是(k+1)a+(m+1)b+(t+1)c=0。
又因为a,b,c非共面向量，则k=-1,m=-1,t=-1。所以|a|=|d|,|b|=|e|,|c|=|f|，即三组对边长分别相等。
行文到此，不妨再赘言几句。
(1)辩证看待解题经验就是用运动的、联系的、发展的观点看待解题经验，并不是对解题经验的全盘否定。不可否认，“解题经验”在初学者的入门阶段是有效的，有时甚至“效益”很明显，特别对考试来说，可能会起到“立竿见影”的效果。而且只有积累一定的解题经验，熟悉一些解题模式，才能比较容易产生联想，灵活思考。但是“解题经验”都是有局限性的，如果我们长期套用解题模式，囿于经验解题，就会受已有经验和方法的支配，使思维产生惰性，对于提高学生独立思考问题的能力、创造性的思维能力是非常不利的。
(2)灵活思考，培养思维的灵活性，并非“活”而无章可循。从以上几例可以看出，教学中最根本的是要重视最基本的概念、公式、思想方法。培养思维的灵活性，就要努力引导学生凭借已有解题经验，积极思考，克服思维定势的消极影响，通过观察、联想、转化等手段，对解题思路进行反思、调整、提升，使学生领悟核心概念和基本思想方法的重要作用，达到创新解决问题的目的。
(3)“解题经验”具有相对性、时效性。当我们对一类问题的解决形成一种经验后，若遇到此类问题稍有“出格”，而已积累的方法又无法处理时，我们就会努力去探求新的解决途径，形成新的方法、新的经验。培养思维的灵活性过程也就是不断地用“新经验”否定“旧经验”的过程，在不断的否定过程中，使我们的思维能力螺旋式提高。