基于不确定性变量的均值—方差—熵投资组合模型
杨天山
（南宁职业技术学院，南宁 530008）
［摘 要］ 在金融大数据时代，文章在不确定性变量的均值—方差模型中将风险厌恶因子、单个资产投资比例控制引入模型中，构建新的投资组合模型，并给出收益为三角模糊时的具体投资组合模型。利用上海证券交易所的实际交易数据进行模型数值检验，计算证明模型策略有效且可行。
［关键词］ 不确定性；熵；均值-方差；投资组合
1 引言
德国著名物理学家克劳修斯（R.Clausius）在19世纪60年代提出熵的概念，在物理届引起了极大的反响。1948年Shannon提出信息熵并被成功引入金融领域，得到广泛的应用。Mehmet Aksarayli和Osman Pala［1］研究均值—方差—偏态熵多目标投资组合模型，周荣喜［2］等研究六种基于熵的风险度量方法并对不同模型做比较得出平均模糊熵模型在日收益率和相对累积收益方面表现最好，杨继平［3］等研究期望效用和Shannon熵共同决策风险投资的必要性并证明熵在不确定性度量中的重要性，张鹏和舒燕菲［4］使用比例熵和绝对偏差度量投资组合中的分散程度与风险，建立熵约束的均值—绝对偏差模型，黄晓霞［5-7］从对不确定性方面对投资组合做了很多研究，也得到了很多很好的成果，但是针对不确定性变量下的均值—方差模型同时考虑风险厌恶因子、信息熵和单个资产投资比例控制方面学者们研究较少。
文章在不确定性变量的均值—方差模型中将风险厌恶因子、单个资产投资比例控制引入模型中，建立更贴近投资者真实投资策略的模型，并给出收益为三角模糊变量的具体投资组合模型。利用上海证券交易所的实际交易数据进行模型数值检验，计算证明模型策略有效且可行。
2 信息熵
信息熵由Shannon提出，其核心思想就是用信息熵描述信息源的不确定性程度。令Y为离散的随机变量，其可能取的每一个值 yi对应概率为 pi（i=1，2，…，n），则信息熵［8］可以表示为：
其中
，且信息熵有如下性质：Ⅰ.非负性：信息熵值H（Y）≥0；Ⅱ.最值性：信息熵取到最小值当且仅存在yi发生的概率为1，取到最大值当且仅当对于每一个可能的yi发生的概率都相等；Ⅲ.上凸性：信息熵函数
是严格上凸函数。
3 均值-方差-熵投资组合模型
1952年Markowitz［9］创造性地提出均值—方差模型，使用期望度量投资收益，使用方差度量投资风险，其核心思想是投资者要想获得理想的收益而又不承担太大的风险，就要进行合理适当的分散投资。黄晓霞将模糊的思想和信息熵运用到投资组合中，提出分散化的均值—方差模糊投资组合模型［5-6］：
其中λ值越大表示投资者对风险关注度越高且不愿承担高风险，属于风险厌恶者，反之为风险喜好者，xi表示第i证券的投资比例，ξi表示第i证券的模糊收益率，E（*）表示模糊变量的期望值算子，V（*）表示方差值算子，β为投资者能承受的信息熵值，A表示投资者控制单个资产投资比例的下限，B表示投资者控制单个资产投资比例的上限。
模型（Ⅰ）使用信息熵做约束条件，在一定程度上做到分散化投资的效果，但是其未考虑投资者对风险的厌恶程度以及投资过程中对单个资产投资比例控制的因素，不利于投资者在收益与风险中做权衡以及单个资产投资比例的控制，因此我们在模型中加入风险厌恶因子λ，同时考虑单个资产投资比例控制最低限和最高限，建立不确定性均值—方差—熵投资组合模型如下：
经过处理后，模型（Ⅲ）即为考虑风险厌恶因子和单个资产投资比例控制因素而建立的新模型（Ⅱ）的具体形式，模型更清晰、更具有可计算性。
假设投资组合中每个证券收益率为对称三角模糊变量ξi=（ai，bi，ci），其隶属函数为：
已有研究表明，在不同螺栓松动比例的情况下，风机塔筒法兰盘的上、下盘之间的1阶相位差即使螺栓在松动较小的情况下其相位差也会发生明显的突变特征[10]。基于此项研究，文中拓展并提出一种利用分析两被联件振动相位差来判断其螺栓连接紧密程度的系统。
通过矩阵理论的应用，向量组之间的线性表示的问题可转化为矩阵语言。这样不仅简化了问题，且把抽象的向量组转化为具体的矩阵方程，更加直观。矩阵方程的求解，即线性方程组的解的结构的问题。然而，线性方程组的求解还是要用到矩阵理论中的秩。通过不断转化，向量组是否能相互表示等价于矩阵方程是否有解。为了更清晰，三者之间的转化可用示意图表示如下。
“彼童子之师，授之书而习其句读者。”韩愈在《师说》中提到“习其句读”是学习古诗文的基本功，以前的国文考试，也会考断句这类题型。现在的古诗文教学，呈现给学生的是校注非常规范的文本，通常情况下教师都会忽略掉断句。笔者认为，至少应将没有断句的文本和教材中的文本进行比较，让学生思考断句的依据，如此才能为辨明章句做好准备。
4 数值检验
为了检验模型策略具有可行性，我们选取上海证券交易所的历史数据来做数值实验。首先，根据基本面分析和技术面分析选出10个股票；其次，10个股票2014-2016年交易数据下载来源于通达信；紧接使用月收盘价格计算收益率ξi=（pit-pit-1）/pit-1并且将 ξi理解成对称三角模糊数，即 ξi=（ai，bi，ci），其中 ci-bi=bi-ai，ai=min｛（pit-pit-1） ／pit-1｝，ci=max｛（pit-pit-1）／pit-1｝，因此每个股票的证券代码、证券名称和处理后的模糊收益具体信息见表1。
同时根据刘宝碇［10］提出的模糊变量的和、期望值和方差值运算法则，我们可以将模型（Ⅱ）转化为如下形式：
表1 证券模糊收益率
假设模型中的风险厌恶因子 λ=0.7，β=1，A=0，B=0.6 时，利用Matlab 2016a软件对模型进行求解，可以得到均值—方差—熵模型的投资策略情况见表2。
一是专利数量庞大但转化率低。2017年我国发明专利申请量达到138.2万件，同比增长14.2%，连续7年位居世界首位。我国科技成果转化率仅为10%左右，真正实现产业化的还不足5%，与发达国家40%的水平相比，我国科技成果转化率和转化速度明显过低。① 参见《发改委：我国科技成果转化率仅10%远低于发达国家》，载http://money.163.com/13/1221/13/9GKDB7UU002540BQ.html，最后访问日期：2018年10月5日。
表2 投资策略情况
此时，投资组合的收益
，方差
=1.035 6，即按照此策略进行投资，投资者可以获得20.04%的投资收益，投资比例分散在中国联通、贵州茅台、中国石化、美尔雅、长江投资、生益科技、航发科技和北方导航八个股票上，模型的策略具有良好的收益率和分散能力，新模型具有可行性、有效性，对投资者起到一定的指导作用。
5 结论与展望
文章从投资者风险厌恶程度、单个资产投资比例控制方面做探讨，数值检验得到保守型投资者按照模型的策略进行投资将获得良好的投资收益，对其投资起到一定的指导作用。新建立模型仍有待探讨在有交易费用和最小交易单位下的投资策略变化情况，因为在国内市场上这两个因素对投资也有很大影响，今后继续探讨该方向也具有重要意义。
主要参考文献
［1］Aksarayli M， Pala O.A Polynomial Goal Programming Model for Portfolio Optimization Based on Entropy and Higher Moments ［J］.Expert Systems with Applications， 2017.
［2］Zhou R， Liu X， Yu M， et al.Properties of Risk Measures of Generalized Entropy in Portfolio Selection［J］.Entropy， 2017， 19（12）：657.
［3］Yang J， Feng Y， Qiu W.Stock Selection for Portfolios Using Expected Utility-Entropy Decision Model［J］.Entropy， 2017， 19（10）.
［4］张鹏，舒燕菲.具有熵约束的均值—绝对偏差模糊投资组合优化［J］.统计与决策，2016（14）：68-70.
［5］Huang X.Portfolio Selection with Fuzzy Returns［C］.不确定系统年会.2004：383-390.
［6］Huang， Xiaoxia.An Entropy Method for Diversified Fuzzy Portfolio Selection［J］.International Journal of Fuzzy Systems， 2012， 14（1）：160-165.
［7］Huang X， Di H.Uncertain Portfolio Selection with Background Risk［J］.Applied Mathematics＆ Computation，2016，276：284-296.
［8］C E Shannon.The Mathematical Theory of Communication ［M］.Urbana，IL：The University of Illinois Press，1949.
［9］Markowitz H M.Portfolio Selection［J］.Journal of Finance，1952，7：77-91.
［10］Liu B， Liu Y K.Expected Value of Fuzzy Variable and Fuzzy Expected Value Models［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2002， 10（4）：445-450.
［11］Liu B.Theory and Practice of Uncertain Programming ［J］.Studies in Fuzziness＆ Soft Computing，2002， 102（4）：295-318.
doi： 10.3969/j.issn.1673-0194.2019.01.062
［中图分类号］ F830
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1673-0194（2019）01-0141-03
［收稿日期］ 2018-08-22
［基金项目］ 广西高校中青年教师基础能力提升项目（2017KY1017）。
［作者简介］ 杨天山，男，广西贵港人，中级经济师，主要研究方向：数量经济学、量化投资、最优化。
标签：不确定性论文; 熵论文; 均值-方差论文; 投资组合论文; 南宁职业技术学院论文;