华东师范大学附属周浦中学 上海 201318
直线与圆锥曲线综合题，一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于x或y的方程，利用判别式和根与系数的关系求解。但是利用向量或者三角函数有时也很简单，其中利用向量已经成为近年的考查热点。我们首先通过一个题目的三种解法来了解三种方法的一般过程。
引例：已知椭圆C： ＋ =1上一动点Q关于x轴的对称点为P，点D的坐标为（4，0），直线PD交椭圆C于点F，求证：直线QF经过定点，并求定点的坐标。
一、三种解法
解法一（设k法）：设P（x1，y1），则Q（x1，-y1），设F（x2，y2），显然直线PD有斜率，设直线PD的方程为y=k（x-4），代入C： ＋ =1，并整理得：（3+4k2）-32k2x+64k2-12=0。
由题意必有△>0，于是由根与系数关系得：
x1+x2= ，x1x2=， 直线QF方程为y-y2= （x-x2），当 ≠0，令y=0有x=x2- ，把y1=k（x1-4），y2=k（x2-4），
代入整理得：x= ，再将x1+x2= ，x1x2= ，
代入上式化简得：x=1，所以直线QF过定点（1，0）。
当 =0时，y2=y1=0，直线QF即x轴，也过定点（1，0）。
综上直线QF过定点（1，0）。
解法二（设 法）：设P（x1，y1），则Q（x1，-y1），设F（x2，y2），直线QF与x轴交点为M（m，0），则DP=（x1-4，y1），DF=（x2-4，y2），MQ=（x1-m，-y1），MF=（x2-m，y2）,设DP=λDF，MQ=μMF（由图知λ≠±1），
又P（x1，y1），F（x2，y2）在C： + ＝1上，
×λ2得： － =1-λ2， （2λx2-4λ）（-4λ+4）=（1+λ）（1-λ），注意到λ≠1。
上式化简为2λx2-4λ+4=1+λ，即2λx2-5λ+3=0，由（2），（4）知μ=-λ，于是（3）即x1=-λx2+λm+m，
λx2-4λ+4=x1 （7）
这样我们有 -λx2+λm+m=x1 （8），
2λx2-5λ+3=0 （9）
（7）-（8）-（9）得（λ+1）-m（λ+1）=0，即（λ+1）（1-m）=0，注意到λ≠-1，所以m=1，即直线QF过定点（1，0）。
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解法三（设θ法）：设P（2cosθ， 3sinθ），Q（2cosθ，- 3sinθ），F（2cos， 3sin），设直线QF与x轴交点为M (m，0)，又D（4，0），显然P，F，D所在直线有斜率，于是 = ，
即=，
即sinθcos-cosθsin=2（sinθ-sin），
即sin（θ-）=2×2sincos，
即2sincos=2×2cossin，
显然sin≠0，否则P，F重合，于是cos=2cos，
由Q，F，M三点共线得：= ，
=，于是当sinθ+sin≠0时，
m==
= =1，
即直线QF过定点（1，0）。
当sinθ+sin=0时，y2=y1=0，直线QF即x轴，也过定点（1，0）。
综上直线QF过定点（1，0）。
二、三种解法的比较
仔细分析题意，可以发现，题目的条件有三个点在曲线上（考虑到P，Q的对称，实际上可以看作只有两个点在曲线上），有两个三点共线。现在把三种解法中对于点在曲线上和三点共线的转化作一次比较，我们希望从这个比较中看到它们的优点与缺点，并进一步研究面对具体问题应该如何选择简单的方法，请看下表：
三、在一个具体的问题中，如何选用这三种方法呢？下面结合具体的例子谈谈一般规律：
1.当题目条件与结论涉及交点个数、长度、倾斜角与斜率等问题时，一般选用设k法这个一般方法：
例题1：过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，且|AB|≤8，直线AB与椭圆3x2+2y2=1交与两个不同的点，求直线AB倾斜角a的取值范围。
解：由已知得F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）。
由，得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，显然k≠0，△=[2（k2+2）]2-4k2·k2=16（k2+1）>0，所以AB|= =≤8，解得k2≥2。
由，得：（2k2+3）x2-4k2x+2k2-2=0，显然2k2+3≠0，△=16k4-4（2k2+3）（2k2-2）=8（3-k2）>0，解得k2<3,所以1≤|k|< 3，即1≤|tana|< 3，又a∈[0，π），所以a∈[ ， ）∪（ ， ]。
2.当题目条件与结论涉诸点共线或者线段之比时，一般选用设λ法：
例题2：已知椭圆C： +y2=1，过右焦点F作直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，B，F在A，M之间，求－的值。
解：设MA=λ1AF，MB=λ2BF，则OA= ，OB= ，其中O为坐标原点，设M（0，y0），由于F（2，0），所以A（，），B（，），
把A（，）代入椭圆C： +y2=1得： （）2+（）2=1，去分母整理得：λ12+10λ1+5-5y02=0，同理可得λ22+10λ2+5-5y02=0，所以λ1，λ2是方程λ2+10λ+5-5y02=0的两个根，所以λ1+λ2=-10。
结合图形可知，λ1=-，λ2=，所以-=λ1+λ2=-10。
3.遇到求曲线上的点与直线的距离的最值问题、范围问题时，选用设θ法比较简单：
例题3：求椭圆C： + =1上的点与直线l：x+y=10距离的最大值。
解：设P（3cosθ，4sinθ）椭圆C： + ＝1上任意一点，P到直线x＋y-10=0的距离是d= = ，
当sin（θ+）=-1时，dmax=
= = ，所以椭圆C上的点到椭圆距离的最大值为 。
对于同一个题目用不同的方法计算，量可能相差很大，因此要注意选用合理的方法。
论文作者:郭玉华
论文发表刊物:《教育学》2018年10月总第155期
论文发表时间:2018/10/30
标签：直线论文; 椭圆论文; 解法论文; 方程论文; 三种论文; 圆锥曲线论文; 斜率论文; 《教育学》2018年10月总第155期论文;