基于多元表征的“基本不等式”教学设计，本文主要内容关键词为：不等式论文,表征论文,教学设计论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 表征，是认知心理学的核心概念之一.认知心理学认为，表征的意义是指在对象不显现的情况下，替代这个对象的任何符号或符号集.在数学教育领域，数学表征从本质上说，是指能反复替代某一数学学习对象的任何符号或符号集，可区分为外在表征和内在表征，即以语言、文字、图形、符号、具体物、活动或实际情景等反映数学学习对象的外在形式和存在于个体头脑里而无法直接观察的心理活动的表征.一般地，认知心理学和教育心理学领域中对“多元表征”的定义为：同一学习对象用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来.同时，在数学教育领域，数学多元表征的定义基本与认知心理学和教育心理学领域中一致.因此，数学多元表征应该是指同一数学学习对象所具有的多种表现形式. 数学多元表征能够具体形象地凸显一个数学对象的多元属性，运用多元表征学习有助于加深学生对学习对象的理解.同时，学习者通过学习在不同表征之间进行转换和转译，有助于学习者对知识进行完整建构.高中阶段是学生思维从具体的直接经验上升到抽象演绎的关键时期，是对数学多元表征深入理解的关键阶段. 基本不等式作为一个数学命题，不少研究者已对基本不等式的教学进行了探讨，但大多是基于经验、遵循教材的教学设计，或对其变式应用等作探讨.本文试图在新课程标准的背景下，基于多元表征的视角探讨基本不等式学习中的多元表征教学设计. 二、教学内容分析 以苏教版教材为例，“基本不等式”是高中必修5中第3章第4节内容，教学内容分为基本不等式的证明、基本不等式的应用两节.为什么称“
≤
（a≥0，b≥0）”为基本不等式呢？从“数及其运算”的角度看，
是两个正数a、b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形的面积，
就叫做两个非负数的“几何平均”.可见，两个正数通过加法、乘法、除法和开方四种运算，催生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律.因此，不等式涉及的是代数、几何中的“基本量”，它与重要的数学概念和性质相关，不纠缠于细枝末节，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂.数学之美，数学之奇，数学之简，数学之趣尽在其中.这也是江苏高考考试说明中将其定位于8个C级考点之一的原因.
三、基本不等式的多元表征 基本不等式具有丰富的表征形式，可以用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来.基本形式有以下几种. （1）语言表征.两个非负数的几何平均数不大于它们的算数平均数，也可表述为两个非负数的等比中项不大于它们的等差中项，前一种表述更具一般性.学生通过用准确的语言表述公式，不仅有助于学生理解基本不等式，还有助于培养学生的概括能力，加强学生数学化语言的修养及表达交流能力. （2）符号表征.
≤
（a≥0，b≥0）.数学教学不能止于具体经验，而要形成概念就必须向抽象发展，符号表征具有高度抽象性的特点.基本不等式的结构特征是教学的重、难点，而符号表征是突破该难点的重要辅助工具. （3）操作表征.利用Excel，分别取值计算
和
的值，通过对比结果发现两个代数式之间的关系，猜想出基本不等式，从而为学生提供具体和易于理解的直接经验. （4）情境表征.①把一个物体放在天平的后个签盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂的长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量.我们作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，称得物体质量为b，那么如何准确地表示物体的质量呢？若把两次称得的质量“平均”一下，以A=
表示物体的质量，这样的做法合理吗？ ②某种产品的两种原料相继提价.因此，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现有三种提价方案：方案甲，第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙，第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙，第一次提价
%，第二次提价
%，其中p＞q＞0.比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？ 通过创设生活情境，让学生经历抽象提炼数学模型和数学应用的过程，既能增强学生学习探究的兴趣，又能增强学生对基本不等式的感性认识，为学生运用不等式解决更多的实际问题提供了范式.
四、基本不等式的教学设计 学生学会数学的主要标志就是会对各种表征进行系统间的转换和转译.教学中，各种表征出现的不同顺序会影响学习者对学习对象的理解.最为关键的是：在公式教学时，我们需要立足学习者已有的认知水平，精心设计，合理地选择各种表征的出现顺序，切实提高教学效益. 笔者任教的学校是江苏省四星级高中，生源基础相对较好，学生有较强的主动性和探究能力.近年来，学校大力推进高中小班化教育改革（班级人数控制在40人以内），是南京市高中小班化改革试点学校之一，小组合作和探究学习得到大力推广.基于这样的学情和上述认识，不再局限于1课时而是立足单元整体，将学习由课内拓展到课外，笔者采用了如下的教学设计，取得了较好的教学效果，受到同行肯定. 为节省篇幅，主要简述教学的基本环节流程. 环节1：创设情境，提炼数学模型 呈现情境表征①，提出问题1：物体的实际质量是多少？用什么数学模型来判断表示是否“准确”？ 生1：可求得物体的实际质量为
，要判断表示是否准确，即比较
和
的大小. 师：如何直接知道它们之间的大小结果呢？ 生众：代入几个数字算一算. 通过Excel计算，呈现操作表征，学生获得两者大小关系的初步认识.提出问题2：我们知道在圆中弦长不大于直径，若以a+b为直径作圆，观察图1，比较线段的长短，你有何发现？ 生2：见图1，因为DD′≤AB，所以DC≤DO，即得
≤
. 师：我们把
称为a、b的算术平均数，
称为a、b的几何平均数.通过计算、识图，我们初步判断它们的大小关系，那如何用自然语言表述呢？ 生众：两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数. 设计意图：“概念不可能一次性学会”，虽然呈现情境表征和操作表征后，学生有了基本不等式的初步印象，但并不意味着基本不等式的模型就真正形成了.因此，教学中不要急急忙忙地往前走，具体地说即不要急于进行证明，而是在概念的定义处作一些“逗留”.逗留，不是停下来休息，而是对公式作进一步的挖掘和分析，以丰富对公式的认识. 引入几何表征，就是引导学生换一个角度思考，将内隐于几何图形中的数量关系揭示出来，并启发学生自主建构语言表征.这一过程，意在引导学生对概念的形成过程进行回味，促使学生对概念及其定义再进行审视，从而有助于学生理解为什么称之为“基本不等式”，并在脑海中固化其结构特征. 环节2：代数证明，体验逻辑思维 问题3：如何证明
≤
？ 通过小组讨论交流，学生自然地运用比较法完成公式的证明，老师补充运用综合法、分析法的证明，并介绍两种方法的特点，强调“当且仅当”的含义.
设计意图：让学生完整地经历不等式从直观感知、操作确认到逻辑论证的探索过程，意在培养学生严谨的逻辑思维能力，发展学生由猜想到证明，由感性到理性的思维品质.通过构造方程并运用判别式得到基本不等式，意在打通等式与不等式之间的联系，发展学生的辩证思维. 环节3：例题评析，示范公式应用 例 设a、b为正数，证明下列不等式成立：
教学时，先由学生上黑板板演证明过程，接着老师点评，虽然字母表示不同，但其实质是一致的，并强调基本不等式的使用条件和规范书写. 引申1：试用多种方法求函数
（x＞0）的最小值.
生5：结合图象，可知函数
在区间（0，1）上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，故x=1时有最小值f（1）=2. 引申2：求函数
（x≠0）的值域. 对于引申1，学生直接运用基本不等式可完成求解；再作提示，引导学生运用函数的单调性求解.对于引申2，关键是需对x分类讨论，当x＞0时即为引申1；当x＜0时，-x＞0，所以有
，由此可得y≤-2.解答过程体现了转化与化归思想，既加深了学生对不等式中字母的含义的认识，又巩固了不等式使用的条件.解答后，引导学生回头看，使其对不等式有了更深的认识.
师：很好！从中我们看出，基本不等式是函数性质的反映.课后请大家联系常见的幂函数、指数函数、对数函数及其图像和性质，尝试推导出基本不等式. 设计意图：任何学习都有一个模仿的过程，数学学习更是如此.例题评析，为学生解题模仿提供了样例，它不但帮助学生巩固了新知，而且对解题程序与表述规范起到示范引领作用.例题引申，意在丰富公式的变式应用，为引导学生从函数视角认识不等式作了铺垫. 环节4：课后探究，拓展认识视角 （1）呈现情境表征②，试用所学知识比较三种提价方案； （2）呈现赵爽弦图，试根据图形特征，给出基本不等式的几何解释，联系所学知识，你能给出基本不等式的另一种几何解释吗？ （3）能否根据函数的凹凸性，推导出基本不等式？试举例说明. 设计意图：数学知识不是孤立离散的单点，数学方法不是各自无关的一招一式，它们血肉相连，组成一条条知识链、方法链.教学设计不能局限于单个知识点的传授，而应着眼于数学知识由孤立到系统；学习过程由课内拓展到课外.选用基本不等式作为学生课后探究的素材，让学生再次经历探索、发现和创造的历程，利于优化学生的认知结构，拓宽学生的数学视野，启迪学生的数学心智，让学生体验到数学的灵动之美，逻辑之美，理性之美.
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