数学教学要重视教材潜在功能的挖掘，本文主要内容关键词为：数学教学论文,重视论文,教材论文,功能论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《普通高中数学课程标准》（实验）（下简称新《标准》）对教材编写提出这样的建议：教材是实现课程目标、实施教学的重要资源.教材应当有利于调动教师的积极性，创造性地进行教学.但是据笔者所知，长期以来一本统天下的局面给教师教学的创造性带来很大的限制，由此而产生的教材的权威性也使教师更习惯于传授这些现成的知识；在此体系下的考试也更多地关注现成的数学知识本身.于是题海战术成了师生教学的首选策略，由此所带来的负面效应是学生思维僵化，解题死板，以至对数学学习产生厌烦情绪，对数学的认识也就片面化.随着新《标准》的实施，越来越多的数学教育工作者认识到，如何能让学生从浩瀚的题海中解放出来又不降低教学效果；如何能让学生对数学的工具性、文化性以及它的训练价值都有较好的认识，以培养学生良好的数学素养；如何能立足教材，并以教材为起点，更好地开展教材的最大功能，创造性地进行教学.这是新《标准》对当前高中数学教师提出的基本要求.特别是最近几年的高考命题越来越多地重视命制一些在教材上的例习题中能找到它们“影子”的新题.学习新《标准》研究新高考，要重视花大力气吃透教材中那些有特色、概念性强、构思新颖和方法灵活的例习题，突出对课本基础知识、典型例习题的潜在功能的挖掘.
一、重视教材中能作“定理”使用的例习题
荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：与其说是学习公理体系，还不如说是学习“公理化”.数学中的公理、定理与性质是在概念学习的基础上对概念间关系的反映.所学概念间的不少好的关系通过定理与性质的形式给出了，但仍有一部分比较好的关系是通过例习题的形式给出的，我们在教学中应该给予重视.
例1 设y=f（x）是定义在R上的任一函数.求证：
（1）F[，1]（x）=f（x）+f（-x）是偶函数；
（2）F[，2]（x）=f（x）-f（-x）是奇函数.
（全日制普通高中教科书（试验修订本·必修）第一册上P[，107]）
此题结论其实给出了函数的一个重要性质：定义在R上的任一函数都可用一个奇函数和一个偶函数来表示.
应用：（94年全国高考卷）定义在R上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和.如果f（x）=lg（10[x]+1），x∈R，那么（
）
附图
附图
附图
（全日制普通高中教科书（必修）第一册下P[，109]例5）
本例的结论为：
此例的更一般性结论很容易证明：已知O、A、B三点不共线，则P、A、B三点共线的充要条件为：
λ，μ∈R，且λ+μ=1.
应用：（2002年全国高考（天津卷））在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足
其中α，β∈R且α+β=1，则点C的轨迹方程为（
）
A.3x+2y-11=0
B.（x-1）[2]+（y-2）[2]=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
分析 由上述结论知，点C，A，B三点共线，故点C的轨迹就是直线AB.
二、重视教材中例习题的特殊结论所蕴含的一般性质
数学学习和研究从不满足于特殊情况的结果，而是通过归纳、类比等方法去探索、研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法.教材中有不少的例习题反映的是一些特殊概念或特殊情形所蕴含的关系.我们可以通过类比、猜测、推理等得出一般概念或一般情形下的有关性质.这也体现了数学认识与反映客观世界的一种手段：从特殊到一般.
附图
（全日制普通高中教科书（必修）第一册上P[，102]）
此题证的是二次函数的结论，事实上蕴藏了函数的一个重要性质——凹凸性.
应用：如果函数在区间D上是凸函数，则对于区间D上的任意x[，1]，x[，2]，…，x[，n]，都有
现已知y=sinx在[0，π]上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为_________.
例4 （1）求两圆x[2]+y[2]-10x-10y=0，x[2]+y[2]+6x+2y-40=0的公共弦的长.
（全日制普通高中教科书（必修）第二册上P[，88]）
（2）两条曲线的方程分别是f[，1]（x，y）=0和f[，2]（x，y）=0，它们的交点是P（x[，0]，y[，0]），求证方程f[，1]（x，y）+λf[，2]（x，y）=0的曲线也经过点P（λ是任意实数）.
（全日制普通高中教科书（必修）第二册上P[，88]）
此两题的实质是曲线系性质的体现，这一性质也经常有很好的应用：
应用：（2002年全国高考江苏卷）设A、B是双曲线x[2]-（y[2]/2）=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？
分析 （2）AB的中垂线方程为：x+y-3=0，可利用曲线系的思想方法：设过A、B、C、D的曲线系为：（2x[2]-y[2]-2）+λ（x-y+1）·（x+y-3）=0，
整理得：（2+λ）x[2]+（-1-λ）y[2]-2λx+4λy-2-3λ=0（*）
易知当λ=-（3/2）时（*）就是一个圆的方程.
从而说明A、B、C、D四点共圆.
三、重视教材例习题的推广、变形与引申
教材中有不少例习题本身就具备易推广、易变形、可引申发散的特点.对这类例习题的认识与使用如果只停留在学生会做这一层面未免有些遗憾，如果能与学生一起进行探究性学习，既符合新（标准）倡导探究性学习的精神，同时对开阔学生的解题思路，培养学生的发散思维能力都大有好处.
例5 已知S[，n]是等比数列｛a[，n]｝的前n项和，S[，3]，S[，9]，S[，6]成等差数列，求证：a[，2]，a[，8]，a[，5]成等差数列.
（全日制普通高中教科书（必修）第一册上P[，132]例4）
这是一道能很好培养发散思维和探究学习能力的好题，提出问题：
（1）在条件不变的情况下，你是否还能得出数列中的哪些项也成等差数列？
（2）注意题中条件S[，3]，S[，9]，S[，6]下标的特殊性：1.三个下标依次是3的1，3，2倍：2.2，5，8三个数依次间隔3.这样的特殊性能否作一般的推广？
推广1 已知S[，n]是等比数列｛a[，n]｝的前n项和，S[，3]，S[，9]，S[，6]成等差数列，求证：a[，n]，a[，n+6]，a[，n+3]成等差数列.
推广2 已知S[，n]是等比数列｛a[，n]｝的前n项和，S[，n]，S[，n+6]，S[，n+3]成等差数列，求证：a[，m]，a[，m+6]，a[，m+3]成等差数列.
推广2的更一般的表现形式是：
推广3 已知S[，n]是等比数列｛a[，n]｝的前n项和，S[，m]，S[，p]，S[，n]与a[，x]，a[，y]，a[，z]同时成等差数列的充要条件是
延伸：判断以a[，2]，a[，8]，a[，5]为前三项的等差数列的第四项是否也是数列｛a[，n]｝中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由.
四、重视教材知识形成过程所渗透的数学方法与思想
数学思想方法是数学的精髓，数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”.很多数学知识的有效性是短暂的，但数学思想的有效性却是长期的，能使人“受益终生”.
例6 等差数列前n项和公式推导的思想方法——倒序相加，配对求和的思想.
应用：（2003年春季上海卷）设函数f（x）=
，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_______.
分析 类比教材中的思想方法，观察每一个因式的特点，尝试着计算f（x）+f（1-x）=…=
，易求得答案为3
.
同样的，等比数列求和公式推导的思想方法——错位相减法，在解决等差等比对应项积构成的数列求和问题中得到了很好的发挥.
五、重视教材中同类型知识性质的联想推广
科学知识尤其是数学知识从来都是互相联系的，数学知识的呈现经常会有一种“蘑菇现象”：当你找到一只蘑菇时你可能就找到了一簇蘑菇.我们要善于去发现、挖掘与这只蘑菇相关联的整个蘑菇家族.
例7 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置.（全日制普通高中教科书（必修）P[，121]例2）
此例应用了抛物线的一个重要的光学性质，类似地，椭圆、双曲线有没有类似的光学性质呢？它们虽然与抛物线的光学性质不同，但也确有自己特殊的性质与应用.请看一道高考模拟题：
椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c（a＞c＞0），静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程为（
）
A.2（a-c）
B.2（a+c）
C.4a
D.以上答案均有可能
双曲线也有与椭圆相似的性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.
教材是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性和指导性，我们常常强调教材在教学中的重要地位，那么具体怎样做才算抓住了教材，以至能做到活用教材呢？其实这是个永恒的话题，因为教育对象的不固定性，教师的认知水平在变化，来自各方面对教育的要求在变化，但无论怎样变，很重要的一点不应变，那就是教师潜心深入地钻研教材的意识和实践不应变，在注重知识教学的同时，还要注意开发和挖掘教材中重要和典型的例习题的潜在功能，精心设计课堂教学，体验感悟知识形成过程中所蕴藏的数学思想方法，以还数学知识于发现时的本来面目.