巧旋转，妙解题，本文主要内容关键词为：，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
旋转变换是全等变换，通过旋转，改变位置后重新组合，使原来比较分散的条件相对地集中起来，然后在新图形中分析有关图形间的关系，进而揭示条件与结论间的内在联系，以找到解题途径。
一、比较线段大小
例1 如图，设点P为边长是1的等边三角形ABC内任一点，且
l=PA+PB+PC。
求证 
。
证明将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△A′BA。则△ABP相应地转到△A′BP′的位置，连接A′C。
由于A′P′=AP，∴△BPP′为等边三角形。故BP=BP′=PP′，则PA+PB+PC=l=A′P′+PP′+PC。当PA=PB=PC时，A′P′PC与AC重合，否则A′P′PC为一条折线，因而A′C≤l＜A′B+BC。故。
例2 如图，正方形ABCD，点E为BC上任一点，AF为∠DAE的平分线，交CD于F。
求证 AE=BE+FD。
证明 将△ABE绕点A逆时计旋转90°至图中△AGD的位置。则AG=AE，DG=BE，∠3=∠4，且C、F、D、C共线。
∵ DC∥AB，∴∠5=∠1+∠3。
又∠1=∠2，∴∠5=∠2+∠4。
∴ AE=AG=FG=FD+BE。
例3 如图，△ABC为等边三角形，△BDC为等腰三角形，顶角∠BDC=120°。M、N为AB、AC上的点且∠MDN=60°，则线段BM、MN、NC之间有什么关系，并加以证明。
分析 本题要研究的三条线段不在同一个三角形中，故应设法使它们集中到一个三角形中，从题设可知∠DBA=∠DCA=90°，BD=CD，可考虑将△DBM绕点D顺时针旋转120°到△DCP的位置，则可得BM=CP，DM=DP。只需证MN=NC+CP就可。
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。又∵∠BDC=120°，DB=DC。∴∠DBC=∠DCB=30°。∴∠DBM=∠DCN=90°。
将△DBM绕点D顺时针旋转120°到△DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，∠MDP=120°，且∠DCP=∠DBM=90°，∴∠DCP+∠DCN=180°。∴点N、C、P在同一直线上。又∴∠MDN=60°，∴∠PDN=60°。
∴∠PDN=∠MDN。又∵DN=DN，∴△MDN≌△PDN。∴MN=NP=NC+CP。∴MN=NC+BM。
注 从上几例中，可知旋转变换前后图形中如下性质：对应线段（角）相等；对应点位置排列顺序相同，任意两对应线段夹角等于旋转角。
例3为探究型试题，是近年来中考中屡屡出现的题型。
二、求角的大小
例4 如图，点P为等边三角形ABC内任一点，PA=3，PB=4，PC=5。
求∠APB的度数。
解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°到△BDC位置，连接PD。可证出△BPD为等边三角形，∴∠BDP=60°。PD=BP=4，DC=AP=3。
又 ∵
。∴△PDC为直角三角形，∠PDC=90°，∠APB=∠BDC=90°+60°=150°。
例5 如图∠ABC=90°，O为射线BC上的一点，以O为圆心，
长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______或______度时与⊙O相切。
解：设BM、BN分别切⊙O于E、F。由题意得，在Rt△BOE中，
，∴∠MBC=30°。则∠ABM=90°-30°=60°。同理可得∠ABN=90°+30°=120°。故射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°与⊙O相切。
例6 如图，四边形ABEG，GEFH，HFCD均为正方形。
求∠AFB+∠ACD度数的和。
解：将△HBF绕点H逆时针旋转90°到△HSD位置，则△HSB为等腰直角三角形，∠HBS=45°。
∵ 四边形ABSC为平行四边形，
∴ ∠ACB=∠CBS，∠AFB=∠HBF，
∴ ∠CBS+∠HBC=45°，∴∠AFB+∠ACB=45°。
注 应用旋转变换应注意：确定旋转中心，确定旋转图形；确定旋转角度和方向，一般情况下，条件中有共点且相等的线段，可考虑利用旋转变换，如等腰三角形、正方形等。
三、求面积
例7 如图，△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG、BDH的圆心角∠DAC、∠DBH均等于90°。
求：阴影部分的面积。
分析 初看本题似乎图形较复杂且无序，直接证较繁琐，若能将扇形ADG和△ADC逆时针旋转180°，本题即可迎刃而解。
解：连接CD，原图（上页）中CD的右侧不动，左侧部分绕着点D逆时针旋转180°，使点A与点B重合，经旋转后，图形对接如右图，所以阴影部分的面积＝
四、证定值
例8如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C′D′绕点A′转动时，两个正方形的重合部分的面积必定是一个定值。这个结论对吗？试证明你的判断。
分析解此类题的基本思路是通过变量在图中的独特位置或极限位置，先求定值，再给出一般情况下的证明，本例通过证三角形全等即可。
证明连接AA′、A′B，∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′边长相等且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，∴AA′=BA′，∠A′AB=∠ABA′=∠A′BC=45°，∠AA′B=∠B′A′D′=90°。
∴∠AA′B′=∠BA′D′，∴△AA′B′≌△BA′D′。因△AA′B的面积为正方形面积的
，故重叠部分面积也为正方形面积的，即为定值。
五、判断三角形形状
例9 如图，在△ABC的AB和AC边上向形外作等边△ABD和等边△ACE，G、F分别为DC、BE的中点。
求证 △AGF为等边三角形。
分析 因△ABD、△ACE均为等边三角形，故△ADC绕点A逆时针旋转60°与△ABE重合，所以DC中点G与BE中点F重合，即可证出△AGF为等边三角形。
证明 提示：由△ADG≌△ABF，得AG=AF，∠DAG=∠BAF，∠GAF=∠DAB=60°，∠AGF为等边三角形得证。
六、构造新图形
例10如图(1)，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条直线，能否做到：______（用“可”或“不可”填空），若“可”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若“不可”，请说明理由。
分析 本例可通过连接四边形已知对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，利用旋转、平移变换，可达剪拼之目的。
解：如图(2)、(3)，取四边形ABCD各边的中点E、F、G、H，则以EF、GH为裁剪线。EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接等。图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3进行平移，拼成的四边形满足条件。
