【教学内容】北师大版八年级下册《综合与实践——平面图形的镶嵌》
【教学目标】
1.经历探索多边形进行平面图形镶嵌条件的过程，发展学生的合情推理能力、合作交流意识和审美情趣，体会平面图形在现实生中的广泛应用，培养学生理性思维和勇于探究的能力。
2.通过探索平面图形的镶嵌，掌握任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计，使学生的实践创新能力得以提升。
3.获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
4.通过获得成功的体验和克服困难的经历，使学生乐学善学，勤于反思，增进应用数学的自信心。
【学情分析】
1.学生的认知基础：学生已经掌握了图形的平移和对称，掌握了多边形的内角和、外角和公式，正多边形内角的度数等，在日常生活中见到用瓷砖镶嵌的实例，有一定的生活经验。通过动手实践、自主探索与合作交流等学习方式，经过教师的引导和启发，能发现多边形可以镶嵌的条件。
2.学生的年龄心理特点：学生具有很强的感性认知基础，有简单的图案设计基础。对一些具体的实践活动充满兴趣，表现欲强，思维敏捷。
【教学重点】探索图形镶嵌的条件、方式及在现实生活中的意义。
【教学难点】图形镶嵌的原理。
【教学方法】动手实践、自主探索与合作交流。
【教具准备】课前学生利用彩色卡纸制作了边长相等的六个正三角形，四个正方形，三个正六边形，两个正八边形等。
【教学过程】
一、情境创设，导入新课
师：（老师随着幻灯片的放映，娓娓道来）我们生活的周围有一些美丽而神奇的图案，其中蕴含着大量的数学信息。我们一起观察和欣赏：无论是农家小院的墙壁，还是我们每日就读的高新一中的外墙……它们其实就是一些简单的几何图形构成的。如三角形、四边形、等边三角形或正多边形等图形构成的严丝合缝、不留空隙的美妙图案。
在这些美丽的、神奇的视觉盛宴的冲击下，我们希望用数学的眼光欣赏，更想用数学的方法观察、分析它们，也能设计出各种美妙的图案。
经过同学们观察思考后，平面图形的镶嵌到底应具备什么特征，谈谈你的看法。
生1：都是用同一些形状、大小完全相同的全等图形拼接而成的。
生2：都拼得很严密，没有空隙。
师：很好。还有没有其他要补充的？
生3：没有空隙还不行，还要有不重叠这个条件。
师：回答不错，哪位同学能完整地叙述一下。（板书：平面图形的镶嵌）。
设计意图：用学生已有的知识经验，通过观察、抽象、归纳。自己主动构建“图形的镶嵌”这个概念。进一步培养学生合作交流的意识和发展思维能力。有利于创设民主和谐的课堂氛围，注重师生之间的情感交流，激发了学生的学习兴趣，培养学生的审美情趣。
二、动手实践，探究新知
1.探究活动：一种多边形的平面镶嵌
（1）正三角形的平面镶嵌。
①用形状、大小完全相同的三角形能否进行镶嵌？动手做一做。
②在这些镶嵌图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与原图形的几个内角有什么关系？
（2）正方形的平面镶嵌。
（3）用全等的正五边形能否镶嵌？
生4：不行，因为正五边形的每个内角的度数是108度，三个构成324度，四个构成432度，总之无法恰好形成一个360度的周角。
设计意图：培养学生合作交流的意识和动手实践的能力，在此过程中使学生的实践创新能力得到发展。
（4）正六边形的平面镶嵌。
师：正六边形能否进行平面镶嵌?(让学生先思考再操作)
生5：正六边形可以进行平面镶嵌。因为正六边形的每个内角的度数是120度，三个正六边形即可完成平面图形的镶嵌。
老师同时让学生将正六边形的平面镶嵌的图案呈现在黑板上。用教具再演示一次，帮助学有困难的学生构建新知。
师：老师再问问正七边形、正八边形、正十边形等等能否进行平面图形的镶嵌？
生6：它们都不能进行平面图形的镶嵌，因为它们内角的度数都不能被360度整除。
师：很好。下面我们来探究其解法，上式可以得出：k==2+，而k为正整数，则n-2一定是4的约数，要使k为正整数，∴n-2只能取1或2或4，∴n-2=1，则n=3n-2=2，则n=4，n-2=4，则n=6，所以n只能为3、4、6。
小结：通过上面的研究我们发现正三角形、正方形、正六边形都是可以进行平面图形的镶嵌，因为正三角形、正方形、正六边形的内角分别是60°、90°和120°。由上面探索镶嵌的条件可知，6个60°能拼成360°，4个90°能拼成3600，3个120°能拼成360°。而正五边形和正八边形等图形不能进行平面图形的镶嵌。
设计意图：教师恰当地设计问题，使学生的认识由感性上升到理性，培养学生的合情推理能力，巩固平面图形镶嵌的原理，进一步培养学生的思维能力，发挥教师的引导者和合作者的作用。对学生密铺图案的评比，使学生感受到成功的喜悦并受到美的熏陶。
（5）任意三角形的平面镶嵌。
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（6）任意四边形的平面镶嵌。
（两人一组，利用手中的任意四边形尝试镶嵌。然后小组交流学习。教师让几个小组到黑板上展示镶嵌的图案。）
师：对照黑板上的图形，说一说小组获得的经验。通过学习，我们得到镶嵌的条件是什么？
生7：镶嵌的条件是保证每个拼接点处各角之和为360°，且将相等的边要重合。
师：你能画出用长方形、平行四边形和正方形的密铺图案吗？（学生动手操作）。
设计意图：培养学生的语言表达能力，体会团队合作的重要性，促进学生全面和谐地发展。使学生人人都能学到所学的知识，同时培养学生的合情推理能力和猜测能力，学生在这个探究活动中学会学习，并培养他们的严谨的科学探究精神。
2.探究活动：两种多边形的平面镶嵌
（1）用正三角形和正方形能否镶嵌？
正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：60x+90y=360，即：2x+3y=12，则x= =6- y，而x、y是正整数，解得：x=3，y=2即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接。
（2）用正三角形和正六边形能否镶嵌？
正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即：60x+120y=360°，即x+2y=6，x、y是正整数，
x=4 x=2
y=1 y=2
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用两个正三角形和两个正六边形。
（3）用正三角形和正十二边形能否镶嵌？
同前分析，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形即可。
3.探究活动：一些特殊图形的平面镶嵌
最有趣的是（1936年）荷兰艺术家埃舍尔（M·C·Escher）偶然到西班牙的格兰拿大旅行，在参观建于十四世纪的阿罕伯拉宫时，发现宫内的地板、天花板和墙壁满是密铺图案的装饰。他因而得到启发，创造了无数的艺术作品，给人留下深刻印象，更让人对数学有了新的认识。图形的镶嵌是结合了数学与艺术的！埃舍尔取得了突出的成就。埃舍尔被称为一个“图形艺术家”，他专门从事于木版画和平版画。
设计意图：适时地补充数学文化和数学史，学生的文化基础得到了发展，人文底蕴和科学精神得到了提升。
三、课堂小结
1.正三角形、正方形和正六边形，用其中一种可以进行平面图形的镶嵌。
2.任意三角形和任意四边形，用其中一种可以进行平面图形的镶嵌。
3.正三角形和正方形或正三角形和正六边形等两种或两种以上的正多边形通过适当的组合也可以进行平面图形的镶嵌。
4.可以自己设计图形进行平面图形的镶嵌。
四、活动过程及思考过程的总结
1.活动过程：观察实例→发现规律→总结方法→数学应用。
2.思考过程：观察生活→提出问题→建立数学模型→解决问题。
五、作业设计
1.设计一幅平面图形镶嵌的美丽图案,相互比一比,看谁设计得更有新意。
2.用两种或两种以上的正多边形可以进行平面镶嵌，你能用哪两种或三种正多边形进行平面镶嵌？尽可能地多找一些。
六、教后反思
教材对内容的选取更加以人为本，更贴近学生的生活现实，给学生和教师更大的活动空间，增进了学生对数学的理解和应用，激发了学生的想象力和创造力。本节课，通过对“平面图形镶嵌条件”的探索，让学生经历了多边形镶嵌条件的探索过程，强化了学生对多边形内角和及其有关几何事实的认识；渗透了初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展了学生的合情推理能力；培养了学生实践意识、创新精神和团结协作的精神，让学生在活动中感受到数学的朴实之美，数学的和谐之美，实现了预设的教学目标和教育目标。在教学中，学生的设计和探究超出了我们的预料，带给我们惊喜，让我们感叹学生的想象力和创造力，这也许是课程带给我们的收获。
本节课的教学设计经过实际的教学检验，成功之处有：
1.情境创设特别。绚丽的图案吸引了学生，激起了他们的求知欲望。
2.探究活动充分。小组合作学习让学生经历探索多边形镶嵌的条件的过程，效果较好；教师教学民主，使学生敢于表现自己，激发了学生的想象力和创造力。
3.教材挖掘到位。对教材研究深刻、充分，难易适度，使不同的学生在不同的方面得到不同的发展。
4.媒体使用适当。在教学中运用教学媒体恰到好处，教学效果好。
七、学生反馈
学生1：这节课通过自己动手实验的方法，使得课堂既轻松探索得出结论，又让我们对本课的内容印象非常深刻。
学生2：我认为这节课非常轻松，在实践的过程中学到了知识，了解了探索问题的方法，而且我认为在这节课中发挥了我们的潜力，培养了我们的动手能力和表达能力，如：对设计的图案进行说明。
学生3：这节课我们同学之间的合作很好，培养了我们的协作意识和合作精神。老师与同学间的互动使我们敢于表现自己。
论文作者:李红霞
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第375期
论文发表时间:2019/9/30
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