赵海良 河北省涉县第一中学 056400
一、函数奇偶性的原始定义
1.函数奇偶性定义：
一般地，对于函数f(x)：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数。如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数。
特别地，对于函数f(x)：如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。也就是 f(x)=0，我们称 f(x)=0为既奇又偶函数。如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：（1）奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。（2）奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（3）判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是函数的定义。
2.奇偶函数的数形特征：
（1）函数奇偶性从数上解读：偶函数：x∈I都有f(-x)-f(x)=0成立，解读：自变量互为相反数，函数值相等。奇函数：x∈I都有f(-x)-f(x)=0成立，解读: 自变量互为相反数，函数值也互为相反数。
（2）函数奇偶性从形上解读：定理：①奇函数的图像关于原点成中心对称图形；②偶函数的图像关于y轴成轴对称图形。
设f(x)为奇函数等价于f(x)的图像关于原点对称，即关于点（0,0）对称。则点（x,y）→（-x,-y）。那么奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
设f(x)为偶函数等价于f(x)的图像关于y轴对称，即关于直线x=0对称。则点（x,y）→（-x,y）。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上是单调递减。
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性。
二、函数奇偶性再定义
1.偶函数定义的引申：
（1）x∈I且f(x+2)=f(-x-2)，则f(x)图像关于x=0对称，f(x)是偶函数。
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（2）x∈I且f(x+2)=f(-x+2)，则f(x)图像关于x=2对称，f(x+2)是偶函数。
2.偶函数定义的拓展：
（1）x∈I 且f(x+a)=f(-x-a)，则f(x) 图像关于x=0对称，f(x)是偶函数。
（2）x∈I且f(x+a)=f(-x+a)，则f(x)图像关于x=a对称，f(x+a)是偶函数。
3.偶函数定义的升华：
（1）x∈I且f(x+a)=f(-x+b)，则f(x)图像关于x= 对称，是f（x+(a+b)/2）偶函数。
（2）x∈I且f(x)=f(2t-x)，则f(x)图像关于x=t对称， f(x+t)是偶函数。
4.奇函数定义的引申：
（1）x∈I且f(x+2)+f(-x-2)=0，则f(x)图像关于(0,0)对称， f(x)是奇函数。
（2）x∈I且f(x+2)+f(-x+2)=0，则f(x)图像关于(2,0)对称，f(x+2)是奇函数。
5.奇函数定义的拓展：
（1）x∈I且f(x+a)+f(-x-a)=0，则f(x)图像关于(0,0)对称，f(x)是奇函数。
（2）x∈If(x+a)且 f(x+a)+f(-x+a)=0，则f(x)图像关于(a,0)对称，是奇函数。
6.奇函数定义的升华：
（1）x∈I且f(x+a)+f(-x+b)=0，则f(x)图像关于（x=(a+b)/2,0)对称， f(x+(a+b)/2)是奇函数。
（2）x∈I且f(x)+f(2t-x)=0，则f(x)图像关于(t,0)对称， f(x+t)是奇函数。
（3）x∈I且f(x+a)+f(-x+a)=2b，则f(x)图像关于(a,b)对称， f(x+a)-b是奇函数。
三、函数奇偶性的运用
1.偶函数型轴对称。例1:如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。解:任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称。
2.奇函数型中心对称。例2：如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。解：因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心。
3.对称性的证明。例3：证明如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。证明：在y=f(x)上任取点（m，n），则n=f(m)，而点（m，n）关于x=(a+b)/2的对称点为（a+b-m，n）,又因为f（a+b-m）=f〔a+（b-m）〕=f〔b-（b-m）〕=f（m）=n,这正表明（a+b-m，n）也在原函数图像上，从而原函数关于直线x=(a+b)/2对称。
四、作业反馈
1.填空题：（1）若f(x) 关于x=a对称，则 为偶函数。（2）若f(x) 关于点（a,0）对称，则 为奇函数。（3）若f(x) 关于点（a,b）对称，则 为奇函数。（4）若f(x) 为奇函数，则 f(x+a)+f(-x-a)=(a+b)/2 。（5）若f(x+a) 为奇函数，则f(x+a)+f(-x+a)= 。
2.解答题：（1）如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（2）如果函数y=f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c，求该函数的对称中心。（3）如果函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，证明函数关于点((a+b)/2,0)对称。
论文作者:赵海良
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年2月总第256期
论文发表时间:2018/2/2
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