基于信息熵的区间数多属性决策方法
张金波，赵 攀
（皖西学院 金融与数学学院，安徽 六安 237012）
摘要： 针对属性值为区间数且属性权重完全未知的多属性决策问题,本文提出了先基于信息熵确定各属性的权重,然后再利用可能度决策矩阵进行排序择优的多属性决策方法，并通过实例说明了该方法的可行性和有效性.此方法思路清晰,计算简洁,易于操作.
关键词： 多属性决策；区间数；信息熵；可能度；决策矩阵
在人类生活中，多属性决策问题十分常见，如投资项目的选择、公司效益的评价等.在对多属性决策问题进行分析时，属性权重和属性值是确定值时，已有了许多成熟的技术和方法.由于人类认识事物的能力有限，以及客观事物本身的复杂性，在实际决策中，人们对有些属性值往往给不出确切的值，而以区间数给出，因此对于此类问题的研究有着重要的理论意义和实用价值.目前有许多关于属性权重完全和部分已知的区间数多属性问题的研究[1-6]，而关于属性权重信息完全未知的区间数多属性决策问题的研究还较为少见.
本文针对属性权重信息完全未知且属性值以区间数形式给出的不确定型多属性决策问题，提出了利用信息熵确定属性权重，然后再利用可能度决策矩阵进行排序的一种决策方法.
1 预备知识
假设多属性决策问题有m个目标G1,G2,…,Gm和n个决策方案A1,A2,…,An，并设方案Ai（i=1,2,…,n）在目标Gj（j=1,2,…,m）下的属性值为区间数aij(其中
为确切实数，且
≤
)，从而构成决策矩阵A=(aij)n×m，一般属性类型有效益和成本型两种，设Ii(i=1,2)分别表示效益和成本型属性的下标集.为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，采取下面公式将决策矩阵A=(aij)n×m转化为规范化矩阵 R=(rij)n×m，其中
且
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定义1 区间数的运算法则：设区间数a=[a-,a+]，b=[b-,b+]且 λ≥0，则：
（1）当且仅当 a-=b-，a+=b+时，a=b
步骤 2 分别把决策矩阵 R-=(rij-)4×5，R+=(rij+)4×5列归一化，得归一化矩阵
（2）a+b=[a-+b-,a++b+]
（3）λa=[λa-,λa+]，其中 λ≥0，当 λ=0时，则 λa=0
定义2 当a和b均为实数时，称
3.7 利用公式
求出可能度矩阵P的排序向量v=(v1,v2,…,vn)
定义3 当a和b同时为区间数或者有一个为区间数时，设a=[a-,a+]，b=[b-,b+]，记la=a--b-,lb=a++b+则称
为区间数a≥b的可能度.
2 决策原理和方法
在信息系统中，信息熵是信息无序程度的度量，信息熵越大，信息的无序度越高，其信息的效用价值越小；反之，信息熵越小，信息的无序度越低，其信息的效用价值越大.在综合评价中，若所有决策方案在属性Gj下的属性值差异越大，则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越大；反之，若所有决策方案在属性Gj下的属性值差异越小，则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小.因此，从对方案进行排序的角度考虑，属性值差异较大的属性应该赋予较大的权重，而属性的差异程度我们可以用信息熵来度量，当属性Gj的熵越大时，说明该属性的属性值差异越小，在决策时所起的作用越小，应赋予该属性较小的权重，反之，应赋予该属性较大的权重.
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3.1 利用(1.1)和(1.2)式，把区间数决策矩阵A=(aij)n×m规范化，得规范化决策矩阵 R=(rij)n×m并分割为区间数上、下限决策矩阵
其中
…,m)
3 算法与步骤
对于属性值为区间数型的决策问题，与属性值为实数型的有所不同,在同一属性下区间数型的属性值差异的大小取决于各区间数aij(i=1,2,…,n；j=1,2,…m)的上限值
之间的差异和下限值
之间的差异之和，为此把区间数决策矩阵A=(aij)n×m分割为区间数的上限矩阵A+=
)n×m和下限矩阵A-=
)n×m，借鉴于属性值为实数型的熵值赋权决策方法的思想,分别对区间数的上、下限矩阵A+和A-施行熵值法进行确定各属性的权重记为：ω+=(
和
).然后，令区间数决策矩阵 A=(aij)n×m的权重 ω=αω++βω-(0≤α,β≤1；α+β=1)其中α,β可理解为分别对区间数上、下限的偏好，则得到区间数决策矩阵A=(aij)n×m的综合权重ω=(ω1,ω2, …,ωm)，然后计算各方案的综合属性值
ωj,(i=1,2,…n)，利用定义2求出综合属性值Zi(ω)(i=1,2,…n)两两比较的可能度矩阵P=(pij)n×m再利用公式[9]vi=
求出可能度矩阵 P=(pij)n×m的排序向量 v=(v1,v2,…,vn)，最后基于可能度对综合属性值Zi(ω)进行排序择优.
步骤3 通过信息熵分别计算决策矩阵R-=
的权重向量：
第一轮现场应用使用2个CK306B型钻头，所钻地层为塔河油田石炭系巴楚组地层，岩性为棕褐色泥岩、浅灰色含砾粗粒长石砂岩、浅灰色砾质粗粒长石砂岩。
3.3 分别计算矩阵 在属性 Uj
下输出的信息熵
3.4 利用信息熵计算权重向量
和
)其中
3.5 利用权重 ω=αω++βω-(0≤α,β≤1 且 α+β=1)计算各个方案Ai的加权综合属性值
总之，方程思想在生物学解题中有着巧妙而广泛的应用。方程思想的独特之处在于变未知为已知，在解答生物学计算题时，就像万能钥匙一样，既可解答上述这些无法直接求解的试题，又可解答能够直接求解的试题。因此，在解生物学计算题时，若能灵活、巧妙运用方程思想，则可达到事半功倍的效果。
3.6 利用定义3求出加权综合属性值Zi(ω)(i=1,2,…n)两两比较的可能度矩阵P=(pij)n×m
为a＞b的可能度.
3.8 基于可能度进行排序择优.
通常，应用被视作是在理解和解释之后发生的，在完全掌握了文本的内容之后，我们对文本进行某种应用以达到特定的目的或效果。但是，伽达默尔认为“理解中总是有某种这样的事情出现，即把要理解的文本应用于解释者的目前境况。这样，我们似乎不得不超出浪漫主义诠释学而向前迈出一步，我们不仅把理解和解释，而且也把应用认为是一个统一的过程的组成要素。……应用，正如理解和解释一样，同样是诠释学过程的一个不可或缺的组成部分。”[3]
4 实例分析
设有四种系列的火炮(方案)A（ii=1,2,3,4）,可供采购时选择,考虑五项指标(属性):u1—火力突击能力指数；u2—反应能力指数；u3—机动能力指数；u4—生存能力指数；u5—成本（万元）；它们对应的各能力指数如下表，问在各属性权重未知的情况下，采购部门如何选择？
利用上述方法可求出4种方案的排序，具体步骤如下：
步骤1 由(1.1)和(1.2)式，将决策矩阵A=(aij)4×5转化为规范化矩阵R=(rij)4×5，如下：
作为现代社会大众消费的主流平台，互联网也深受广大社会群众的欢迎。在当前社会中，会使用网络的人也越来越多，而网络也在逐渐地改变人们的日常生活形式。而在乡村生态旅游这一方面，旅游网络平台的开发也大大地加强了乡村生态旅游的宣传，为了游客们提供了更多更优质的服务。越来越多的人开始倾向于通过手机终端来选择乡村生态旅游线路、预定食宿等，并且在消费之后还会写下自己的看法。
3.2 分别把决策矩阵
列归一化，得矩阵
步骤4 不妨令对区间数上、下限的偏好α=β=0.5可得各属性的综合权重为：
《哈利·波特与混血王子》哈利问：“去干掉伏地魔吗？”简单的一句问话，充分描绘了哈利复杂的内心活动，一是干掉伏地魔对我来说那不是件容易的是，首先质疑自己是否有能力，因为哈利·波特被伏地魔重视只是因为预言的力量。二是告诉读者他肯定会打败伏地魔，展示了自己的决心和毅力，像一般小说一样英雄一定会打败牛鬼蛇神，所以哈利一定要抓住机会展示自己的毅力打败伏地魔。
步骤5 利用步骤4所求的综合权重计算各方案的综合属性值分别为：
步骤6 求出综合属性值zi(ω),(i=1,2,3,4)两两比较的可能度矩阵P=(pij)4×5，及利用互补矩阵行和归一化求得可能度矩阵P的排序向量v=(v1,v2,…,v4)：
4）水利部门资料。水利普查成果等资料，可作为地理国情信息普查中水体、水工设施信息获取的重要辅助资料，提高普查结果精度。水利部门的流域单元边界数据及流域单元名称，河流空间分布数据及相关属性信息，湖泊空间分布数据及相关属性信息，水库、塘坝属性；水电站、水闸、堤防名称及编码、级别属性；取水口、地表水源地、入河湖排污口的空间分布数据及相关属性信息；水文站和水位站空间分布数据，为地理国情普查数据采集及统计分析提供数据来源。
步骤7 由排序向量v及矩阵P中的可能度,可得区间数zi(ω)(i=1,2,3,4)的综合属性值：
步骤8 根据zi(ω)(i=1,2,3,4)的综合属性值的大小进行排序得：A1≻A3≻A4≻A2，故最佳方案为A1.此外,利用文献[10]中的排序方法对上述同一问题进行计算的结果为:A1≻A3≻A2≻A4与本文所述方法的计算结果基本一致.
5 结束语
针对属性权重信息完全未知的区间数多属性决策问题，本文基于熵理论的基本思想，提出了利用对区间数上、下限的熵值进行线性加权来确定属性权重的分析方法.该方法丰富了求解区间数多属性决策问题的分析方法，概念清晰、计算简单、计算机易于实现.
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参考文献：
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中图分类号： O223
文献标识码： A
文章编号： 1673-260X（2019）03-0004-03
收稿日期： 2019-01-02
基金项目： 安徽省自然科学研究项目(1808085MG224)；安徽省高校自然科学重点研究项目（KJ2017A402）；安徽省高校人文社科重点研究项目（SK2016A0971）；安徽省软科学项目（1607a0202027）
通讯作者： 张金波