例谈极限思想在中学数学解题中的运用，本文主要内容关键词为：中学数学论文,极限论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
极限是进一步学习高等数学的重要工具.极限作为一种运算，在高考中的要求较低，一般只要了解即可，然而极限作为一种思想，一种从有限认识无限的数学思想，在近几年的高考中时有考查，且有进一步加大力度的趋势.本文例谈极限思想在优化解题方法，寻找解题思路，加深问题理解，发现解题结论及巧举反例中的运用.通过例题可以看到运用极限思想解题深刻独特、简洁明快.
一、运用极限思想优化解题方法
例1 过抛物线y=ax[2]（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q[，2]点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则1/p+1/q等于（
）.
A 2a；
B 1/2a；
C 4a；
D 4/a；
简析略解 本题可以运用直线的斜截式方程、直线的参数方程、极坐标、定比分点公式等一般方法按部就班“循规蹈矩”地去解决.然而新的《数学教学大纲》已把“数学思想和方法”纳入数学基础知识的范畴，这种变化必定会在高考中有所体现：对同一题，特别是小题（选择题、填空题），恰到好处地运用数学思想和方法解题比用传统的知识解题要快，以区分出不同思维品质的学生.对本题，特殊化思想使我们认识到一般规律包含于个例之中.方程化为x[2]=y/a，取直线y=1/4a与抛物线相交于P、Q，即得｜PF｜=｜FQ｜= 1/2a（通径长的一半），所以1/p+1/q=4a，选A.
以上解法较为简洁，如运用极限思想求解则更为简洁：让点P→Q，此时p=1/4a，q→∞，有 1/p+1/q=4a.
像这种小题快做、小题速解的训练在平时的教学中必须引起足够的重视.
例2 有一圆与直线4x-3y+6=0相切于点A（3，6）且经过点B（5，2），求此圆的方程.
简析略解 此题的常规解法是设圆的方程为（x-a）[2]+（y-b）[2]=r[2]，然后运用条件解关于a、b、r的三元方程组，方法虽可行，但运算量较大.若视点 A为圆的极限情况，则可以减少运算量.将点A表示成“点圆”形式（x-3）[2]+（y-6）[2]=0.设所求圆的方程为：（x-3）[2]+（y-6）[2]+λ（4x-4y+6）=0.①将B点代入式①得λ=-1，故所求圆方程为
（x-3）[2]+（y-6）[2]-（4x-3y+6）=0，即x[2]+y[2]-10x-9y+39=0.
例3 如右图所示，有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标是P（-1，1）和Q（2，2），若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，求m的取值范围.
简析略解 若m=0，则直线l：x=0与线段PQ相交，不合题意，故m≠0.此时l的方程化为y= -x/m-1.
易知l恒过定点M（0，-1）.不妨先考虑直线l的极限情形：由于直线l必须与有向线段PQ的延长线相交，故l的斜率必须小于过M、Q两点的直线l[，1]的斜率k[，1]=3/2；当直线l离开l[，1]的位置绕点M按顺时针方向旋转时，l与PQ的延长线的交点N逐渐远离Q点，当交点N与Q的距离趋于无穷大时，l逐渐趋向直线l[，2]（l[，1]//PQ），这时l的斜率趋向PQ的斜率k[，2]=1/3.因l应夹在l[，1]与l[，2]之间，所以k[，2]＜-1/m＜k[，1]，即有1/3＜-1/m＜3/2，故-3＜m＜-3/2.
二、运用限极思想寻找解题思路
例4 甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km·h[-1]，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km·h[-1]）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v （km·h[-1]）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
简析略解 （1）所求函数及其定义域为 y=s（a/v+bv），u∈[0，c].
（2）依题意知，s、a、b、v都为正数，故有 s（a/v+bv）≥2
·s，当且仅当a/v=bv即v=
时上式中等号成立.
若≤c，则当v=时，全程运输成本y最小.
若＞c，当v∈（0，c]时，如何求函数 y=s（a/v+bv）的最小值，高考阅卷统计表明，绝大多数考生不知如何下手.
解题成功与否的关键在思路的寻求.如果认真阅读试题，汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成，当v∈（0，c]时，运用极限思想，如果v很小很小则所用时间将很长很长，固定成本将很大，显然与事实不符，要想全程运输成本最小，凭直觉，速度要大（这一点符合生活常识），即在＞c，v∈（0，c]的条件下，v最大即v=c时全程运输成本最小，从而运用函数单调性的思想，将s（a/v+bv）与s（a/c+bc）作差求最值的方法就显得很自然了.
s（a/v+bv）-s（a/c+bc）=s[（a/v-a/c）+（bv-bc）]= （s/v[2]）（c-v）（a-bcv）.
因为c-v≥0，且a＞bc[2]，故有a-bcv≥a-bc[2]＞0，所以s（a/v/+bv）≥s（a/c+bc），且当v=c时等号成立，即在 ＞c的情况下，当v=c时全程运输成本最小.
例5 长为a的线段P[，1]P[，2]的两端在抛物线y=x[2]上滑动，求此线段的中点M的纵坐标的最小值.
简析略解 设M（x，y），运用中点公式及｜P[，1]P[，2]｜=a可得M点的轨迹方程
当且仅当a[2]/（1+4x[2]）=1+4x[2]时取“=”，即x=±
/2时成立.
注意到x=±/2，即只有当a≥1时，y才有最小值a/2-1/4.
当0＜a＜1时，如何求y的最小值？
一般以为：0＜a＜1时难以用“基本不等式”求最值，改用判断式（经过一个较繁杂的过程），求出0＜a＜1时，y的最小值为a[2]/4.
当0＜a＜1时，能用“基本不等式”求y的最小值吗？
当0＜a＜1时，运用极限思想让正数a变得很小很小，即a→0，由图形易得此时线段P[，1]P[，2]应为水平即x=0时取最小值，从而有下列在目标指引下配凑的方法：
即0＜a＜1时，能用“基本不等式”求最值.
三、运用极限思想加深对问题的理解
会证明不等于能理解.“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对所要处理的数学对象有一个可靠‘直觉’”（迪厄多内），只有从直观上一目了然，从心理上认可，才是真正的理解.
我们知道，若点M（x[，0]，y[，0]）在圆x[2]+y[2]=r[2]上，则方程x[，0]x+y[，0]y=r[2]表示过点M的圆的切线.
若点M在圆外，方程x[，0]x+y[，0]y=r[2]表示的直线与圆x[2]+y[2]=r[2]有何关系呢？设过点M所引圆的两条切线分别为MT[，1]、MT[，2]，可以通过逻辑推理严格证明直线方程x[，0]x+y[，0]y=r[2]表示经过两切点T[，1]、T[，2]的直线.尽管已经证明了，但在思维上总存在一个跳跃.如果我们运用切线是割线的极限位置帮助理解，则会有较好的效果.
如右图，当M点向圆逐渐靠近时，两切点T[，1]、T[，2]逐渐靠近，当 M→M[，0]时，割线T[，1]T[，2]→切线l.这样，运用极限思想，让我们从心理上认可了例题结论，长期坚持此类训练，就能自觉地运用极限思想去解决新的问题.
例6 M（m，n）为圆 x[2]+y[2]=a[2]内一点，求以M为中点的弦l的方程.
简析略解 本题的常规思路是：设直线l的方程为y-n=k（x-m），代入圆的方程，借助于韦达定理求解.如运用圆的弦的极限情形是圆的切线可获得本例的新解法.
连OM，延长交圆于M[，0]（x[，0]，y[，0]），过M[，0]作圆的切线l[，0]，则l[，0]//l，且l[，0]的方程为x[，0]x+y[，0]y=a[2]，有k= -x[，0]/y[，0]=-m/n，得mx+ny=m[2]+n[2]为所求.显然，当点 M在圆上时得切线方程.
例7 M（m，n）为椭圆b[2]x[2]+a[2]y[2]=a[2]b][2]内一点，求以M为中点的弦l的方程.
简析略解 连 OM，延长交椭圆于 M[，0]（x[，0]，y[，0]），过M[，0]作椭圆的切线l[，0]，则l[，0]//l，且l[，0]的方程为 b[2]x[，0]x+a[2]y[，0]y=a[2]b[2]，有k=-（b[2]x[，0]/a[2]y[，0]）=-（b[2]m/a[2]n）（x[，0]/y[，0]=m/n），得b[2]mx+a[2]ny=b[2]m[2]+ a[2]n[2].显然，当点M在圆上时得切线方程.
四、运用极限思想发现解题结论
例8 已知正四棱锥S-ABCD的侧面与底面所成角为β，相邻两侧面所成角为α，则cosα+cos[2]β的值为______.
简析略解 本题的一般解题思路是：先作出相应的二面角，后运用三角知识求解.如用极限思想则可速解.
让S沿SO向下移动，当S→O时，有β→0，cosβ→1，α→π，cosα→-1，从而有cosα+cos[2]β=0.
如让S沿SO向上移动，当S→∞时，有β→π/2， cosβ→0，α→π/2，cosα→0，从而有cosα+cos[2]β=0.
例9 运用极限思想，探寻两直线互相垂直或互相平行的充要条件.
已知直线l[，1]：A[，1]x+B[，1]y+C[，1]=0，l[，2]：A[，2]x+B[，2]y+C[，2]=0 （B[，1]≠0，B[，2]≠0，A[，1]A[，2]+B[，1]B[，2]≠0），l[，1]到l[，2]的角是θ，求证：
tanθ=（A[，1]B[，2]-A[，2]B[，1]）/（A[，1]A[，2]+B[，1]B[，2]）.
（*）
证完后可进行思考：
题设A[，1]A[，2]+B[，1]B[，2]≠0.如让A[，1]A[，2]+B[，1]B[，2]→0将怎样？
由tanθ=（A[，1]B[，2]-A[，2]B[，1]）/（A[，1]A[，2]+B[，1]B[，2]）知A[，1]A[，2]+B[，1]B[，2]→0时，tanθ不存在，而θ∈[0，π），从而有θ→π/2.这表明两直线l[，1]⊥l[，2].
一般地，可证明：相异两直线l[，1]：A[，1]x+B[，1]y+C[，1]= 0，l[，2]：A[，2]x+B[，2]y+C[，2]=0，则l[，1]⊥l[，2]的充要条件是A[，1]A[，2]+ B[，1]B[，2]=0.
如果A[，1]B[，2]-A[，2]B[，1]→0，由式（*）知tanθ→0，而θ∈[0，π），有θ→0.这表明两直线l[，1]//l[，2].
一般可证明：相异两直线l[，1]：A[，1]x+B[，1]y+C[，1]=0，l[，2]：A[，2]s+ B[，2]y+C[，2]=0，则l[，1]//l[，2]的充要条件是A[，1]B[，2]-A[，2]B[，1]=0.
类似地，运用极限思想在公式ρ=ep/（1-ecosθ） （e＞1）中让1-ecosθ→0，可得双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为arccos（1/e）和π-arccos（1/e）.
五、运用极限思想巧举反例
例10 设r、R分别表示△ABC的内切圆半径和外接圆半径，h表示△ABC中最长的一条高，猜想：r+R≤h是否成立？
简析略解 设△ABC为等腰三角形，顶角为C.C→0，此时r=0，R=h/2，所以r+R＜h成立.C→π，此时r=0，R→∞，h→0.在这种极限情况下，猜想不成立.
其实本题的反例很容易找到，试固定R作一个圆，而其内接△ABC可以无限缩小，甚至缩为一点，在这个过程中，h也就无限缩短，直至为0，显然，这时r也趋向于0，但R不变，因而r+R≤h的猜想不成立.