曲线的切线问题的探究，本文主要内容关键词为：切线论文,曲线论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
曲线的切线问题，是研究曲线性质的重要方面，它同时也是高考常考的内容，学生对切线的内涵和性质往往把握得不够准确，对解决这类问题的方法也不是很明晰。本文将对曲线的切线的性质及解决这类问题的方法做一些探究。
一、已知一点，求过这点的曲线的切线斜率或方程
解决这类问题，首先要判断这个已知点是否在曲线上，如果不在曲线上，就要设出切点的坐标，如果在曲线上，就用导数法求出过该点的切线的斜率。
例1 （2009年天津卷）已知
，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率。
解 f'(1)=3e，即所求斜率为3e。
评注 本题中的已知点在已知曲线上，利用导数可直接求出切线的斜率。
评注 本题中的已知点A(0，16)不在曲线上，这是学生极易忽视的地方。
二、已知切线的方程或斜率，求有关参数或切点
已知切线的方程或斜率，就可以用导数的方法求出切点坐标或求出曲线中的有关参数，进而可以研究曲线的其他性质。
评注 本题中已知切线方程求有关参数，解决问题的方法是先设切点，再用导数方法求解。
变式 (2009年全国卷(Ⅰ))已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为(B)
三、切线斜率不存在或切线穿过曲线
这类问题学生往往不易理解，容易出错，有的甚至找不到解题思路，是切线问题中的难点。
评注 学生对问题(2)中的切线穿过曲线这一条件往往感到迷惑，找不到解题思路。事实上，根据极值的定义，极大值比其附近的各点函数值都要大，极小值比其附近各点的函数值都要小。构造函数g(x)，因切线在A点处穿过曲线y=f(x)，必然导致g(x)在A点两边附近的函数值异号，所以A点不是g(x)的极值点，从而g(x)在A点的邻域是单调函数，所以g'(x)≥0（或g'(x)≤0），即g'(x)=0的两根应相等，得出一个条件，从而使问题获解。
四、过一点的曲线的切线条数问题
过一点的切线条数可能不止一条，需要结合具体问题进行探究。
六、函数的凹凸性
从函数的图像可以看出，当曲线的切线斜率是x的增函数时，函数f(x)的图像下凸，此时f(x)的二阶导数f″(x)＞0，当曲线的切线斜率是x的减函数，函数f(x)的图像像上凸，此时f(x)的二阶导数f″(x)＜0。
例10 函数y=f(x)的定义域是（-∞+∞），若对于任意的正数a，函数g(x)=f(x+a)-f(x)都是其定义域上的增函数，则函数y=f(x)的图像可能是()。
解 因为g(x)是增函数，有g'(x)＞0，即g'(x)=f'(x+a)-f'(x)＞0，即f'(x+a)＞f'(x)，
又a＞0，x+a＞x，有f(x)图像的切线斜率是增函数，
所以y=f(x)图像下凸，故选A。
评注 本题就是利用切线斜率的单调性与图像的凹凸性进行说明。下凸函数上升（或下降）的速度较快，图像较陡，上凸函数上升（或下降）的速度较慢，图像较平缓。
七、切线的存在性问题
在给定的条件下，曲线的切线可能存在，也可能不存在，要根据具体问题进行探究。解决这类问题，常常先假设存在，然后或得其解，或得无解，或得矛盾。
评注 证明切线不存在，常用反证法。
八、两曲线的公切线
解决这类问题，通常是先设切点，然后分别对两个函数求导，利用导数的几何意义得出公切线的斜率，从而建立方程组求解。
评注 本题考查了学生对公切线概念的理解和运用，体现了一定的综合性和灵活性。
本文从导数的几何意义出发，利用导数的方法探究了曲线的切线的有关问题，这些问题是中学数学中比较重要的问题，也是高考注重考查的问题。当然，解决曲线的切线问题，除了导数方法以外，也还有其他方法，请读者加以研究。