对斐波那契数列的教学讨论，本文主要内容关键词为：数列论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
>从表中发现，u[，n]构成斐波那契数列.
（2）证实发现，强调递推思想
显然，u[，1]=1，u[，2]=2.
按第一步的走法分类（如图3），只有两类：①如果第一步走1阶，则把第1阶当地面看，此时上面还有多少阶呢？学生经这么提示，马上便知以上还有（n-1）阶，这一类有u[，n-1]种走法；②如果第一步走2阶，同理可得这一类有u[，n-2]种走法.所以u[，n]=u[，n-1]+u[，n-2]（n≥3），u[，1]=1，u[，2]=2.
附图
图3
通过找u[，n]的递推关系，即可求出u[，n]的每一项，这是求得数列的常见方法——递推方法.
（3）继续探索，获得直接表达式
附图
图4
对表2继续观察，以n=4，n=5为例，按走2阶的步数进行分类，有
u[，4]=C[，4][0]+C[，3][1]+C[，2][2]，u[，5]=C[，5][0]+C[，4][1]+C[，3][2]，
从中归纳出：u[，n]满足
u[，n]=C[，n][0]+C[，n-1][1]+C[，n-2][2]+…+C[，n-k][k]，其中k=[（n/2）].
解释：这是因为若有
步走2阶，将每一步“捆绑”在一起作为1阶，这时楼梯的“阶数”变为n-m，那么这类的走法相当于从这n-m阶（位置）中找出m阶（位置）放这个“捆绑”在一起的m步，因此有C[，n-m][m]种走法，其它同理.
由于这一表达式可由杨辉三角（也称贾宪三角形）推出，故称贾宪三角形表达式，它是由E.Piccioli于1916年提出的.
（4）返回到兔子问题，得到直接解
u[，12]=C[，12][0]+C[，11][1]+C[，10][2]+C[，9][3]+C[，8][4]+C[，7][5]+C[，6][6]=1+11+45+84+70+21+1=233.
3.对走楼梯问题的拓广与联想
（1）走楼梯问题的进一步拓广
某人要走有n阶台阶的楼梯，每步向上走1阶台阶或3阶台阶，那么走法种数u[，n]如何求？
启发学生找到递推式u[，u]=u[，n-1]+u[，n-3]（n≥4），u[，1]=1，u[，2]=1，u[，3]=2.进一步思考它的组合表达式如何呢？
进一步，如果每步走法改为：每步能向上走1阶台阶、2阶台阶或3阶台阶，那么u[，n]的递推关系式又如何呢？u[，u]=u[，n-1]+u[，n-2]+u[，n-3]（n≥4），u[，1]=1，u[，2]=2，u[，3]=4.
（2）走楼梯问题中获得斐波那契数列一个有趣的性质
提出问题：设想走一个有m+n阶台阶的楼梯，每步向上走1阶或2阶.
从按第一步的走法分类，推广到对全部走法按是否到过第m阶台阶加以分类.
如图5，若到过第m阶台阶，这类走法有多少种？（生答：u[，m]·u[，n]种）
附图
图5
若没到过第m阶台阶，这类走法要分成几步才能完成走（m+n）阶台阶的楼梯？走法有多少种呢？
生答：分3步完成走楼梯：先从地面走m-1阶到第m-1阶台阶，然后一步走2阶到第m+1阶台阶，最后再向上走n-1阶台阶到达第m+n个台阶.因此这一类的走法数是u[，m-1]·u[，n-1].
附图
图6
由此可得u[，m+n]=u[，m]·u[，n]+u[，m-1]·u[，n-1]，它刻画了斐波那契数列项之间的关式.
特殊地，若取m=1，即可得u[，n+1]=u[，n]+u[，n-1]，这即是斐波那契数列递推式，因此这一关系是斐波那契数列递推式的一个推广；若取m=n，则u[，2n]=u[，n][2]+u[，n-1][2]，这说明斐波那契数列相邻两项的平方和仍是斐波那契数列的项.另外，还可推出u[，3n]的表达式，并提出u[，2n+1]能否表示为数列｛u[，n]｝中某两项的平方和等问题.
4.延伸与总结
斐波那契数列从一开始的一个带有游戏性质、并不惹人显眼的“兔子问题”，经过四百多年，由于代数符号的发展，有人才给出了一般的递推式.再过二百多年之后，由De Moivre提出了通项公式
而其证明由J.P.M.Binet于1843年给出，故世称Binet公式，而后有人又相继给出其组合表达式、行列式表达式以及矩阵表达式，从而不断丰富了该数列内容.在此；可启发学生推导Binet公式，得到恒等式：
利用递推式，得到u[，n]=u[，n-2]+u[，n-3]+…+u[，2]+u[，1]+u[，0]+1等一些有趣的性质.可见斐波那契播下的种子，经人们培育，数百年来枝繁叶茂，小草竟成大树，数学就是这样不断发展的.
斐波那契数列在许多场合中出现，诸如蜜蜂的繁殖、植物的叶序、菠萝的鳞片、树枝的生长、钢琴的键盘等等.它在数学的许多分支的应用是广泛的.该数列相邻两项之比构成的“比值”数列（1/1），（1/2），（2/3），（3/5），（5/8），（8/13），…的极限为
，这是黄金比值，它不但是美的标准之一，也是优选法中“分数法”的理论基础.
三、教学反思
（1）对问题的研究应充分简单化、具体化、直观化.比如兔子问题与走楼梯问题的解决，都是从一些简单情形的研究出发，利用图形、表格等直观化手段，通过观察、归纳与类比等方法得到规律，并从简单情形及其关系获得对规律的解释与证实.这样重复了问题研究的基本过程，使学生体验到科学研究的基本方法与精神.
（2）应寻求问题解决的多元联系表示，使得同一数学对象的不同方面特征得以显示，从而增加建立数学对象不同方面的联系并把握其本质特征的机会.斐波那契数列不同表达式的发现，正是为了建立这种多元联系.
（3）引导学生进行问题研究后的反思，促使问题研究的进一步深入，从而更认清问题的实质.正如波利亚所说的：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长.”教学中，从兔子问题到斐波那契数列的引出，再从走楼梯问题一些自然的推广而发现的一些性质，始终处于把问题当纽带，经不断反思推进问题深入研究的进程.
（4）教学中应重视学习主题的“历史发生顺序”，了解数学史上数学问题的发生与发展，适当重复其再创造过程，深刻体会其中的思想方法.比如，应让学生体会Binet公式推导过程中所涉及的消元与对称等数学思想方法，斐波那契数列若干性质发现中用到的递推思想与数学模型思想，等等.