高中数学新教材第十章教学问答（一），本文主要内容关键词为：第十章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
197 分类计数原理与分步计数原理有哪些主要区别和联系？
答：（1）分类计数原理中讲到的完成某件事物的各种方法是相互独立的，不论使用了其中的哪一种方法，这件事就可以完成.用分类计数原理计算完成这件事的方法数时，不需要考虑完成这件事是否应该分为几个步骤.而分步计数原理中讲到某件事，在完成它的过程中，必须经过几个互相联系的步骤，这些步骤缺一不可，只有一个接一个地全部完成了，这件事才宣告完成.
当然，在计算完成每一个步骤的方法数时，常常要用到分类计数原理，因此可以说，分步计数原理是以分类计数的理为基础的.
（2）分类计数原理一般只能用互不联系的几组线条来图示，线条的总数就是完成这件事的方法数.分步计数原理则可用“树图”（人站在图的左边向右或下边向上看，图形便有一棵树或几棵树的感觉）来图示，所有“树梢”的总数就是完成这件事的方法数.
（3）在运用分类计数原理与分步计数原理时，都必须防止发生遗漏和重复的情况（如果问题比较简单，在运用分步计数原理时，先画出“树图”，可以有效地防止发生重复的情况）.
198 如何帮助学生具体分析排列的应用题？
答：（1）认真审题，判明此题能否归结为排列问题.
（2）弄清n个不同的元素是指什么.
（3）弄清可以任取的n个元素是指什么.
（4）弄清从这n个元素里取出m个元素的每一种排列，对应着什么事情.
（5）把符合题中限制条件的排列数用公式直接计算出来；或者先把没有任何限制条件的排列数A与不符合题中限制条件的排列数B分别用公式计算出来，然后再从A中减去B，即得到符合题中限制条件的排列数.
这几个步骤，对于分析组合的应用题大体上也是适用的.
199 如何帮助学生区分排列问题与组合问题？
答：排列问题与组合问题的主要区别，在于前者与顺序有关，后者与顺序无关.为了提高鉴别能力，可以有意识地把两个在内容上类似，而其中一个是用排列来解，另一个是用组合来解的问题并列在表格之中，以便学生对照.例如：┌─────────┬─────────┐│
排列问题
│
组合问题
│├─────────┼─────────┤│ 从5个人里选出2 │ 从5个人里选出2 ││个人分别担任组长和│个人当代表去北京开││副组长，一共有多少│会，一共有多少种选││种选法？
│法？
│├─────────┼─────────┤│ 26个不同的字母，│ 26种不同的颜色，││每3个组成一个代
│每3种合成一种新的 ││号，一共可组成多少│颜色，一共可合成多││个代号？
│少种新的颜色？
│├─────────┼─────────┤│ 从7张电影票中任 │ 从7张电影票中任 ││抽4张，分配给4位同│抽4张，一共有多少 ││学，一共有多少种 │种结果？
││结果？
│
│└─────────┴─────────┘
200 可以告诉学生，排列数与组合数还有哪些常用符号？
答：对于排列数A[，n][m]有的书上用P[，n][m]来表示.P是英语名词Permutation（排列）的第一个字母，Permutation与Arrangement是同义词.也有的书上用[，n]A[，m]来表示A[，n][m]，用[，n]P[，m]来表示P[，n][m].对于全排列数P[，n][n]，有的书上直接记为P[，n]对于组合数C[，n][m]，有的书上记为[，n]C[，m]有的书上则记为（[，n][m]）.
顺便指出，有的书上把分类计数原理叫做加法原理，把分步计数原理叫做乘法原理.
201 什么是重复排列？
答：给定n个不同元素，每次任取m个元素排成一列，在这m个元素中允许有相同的元素出现，这样得到的排列叫做重复排列.
例如，电话号码，自行车牌照的号码，邮政编码，录音机、录像机上的数控号码等，都是由0到9这10个数字组成的重复排列.
显然，根据分步计数原理，n个数字的电话号码在理论上可以有
个.又如，电报发报机发出的信号只有“点”和“短线”2种，如果从这2种信号中每次任取5个信号，合起来组成一个符号，那么一共可以组成2×2×2×2×2＝2[5]＝32个不同的符号，用它们来表示0到9这10个数字是绰绰有余的.我国的电报一般是使用4个数字的一个重复排列来表示一个汉字、一个标点符号、一个地名或一个其他的代号.
一般地，根据分步计数原理，在n个元素中每次任取m个元素的重复排列数是[，n][m].注意不要把结果写成m[n]，而这正是学生初学重复排列时容易出错的地方.
202 杨辉三角的原图是什么？我国还有哪些数学家与杨辉三角的发现有关？
答：杨辉三角的原图如右图所示.
这是一幅指数为正整数的二项式定理的系数表，虽然叫做杨辉三角，实际上却是我国11世纪北宋时期的数学家贾宪发现的.贾宪的著作有《黄帝九章细草》和《算法
古集》，但都已失传.杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，引用了贾宪的“开方作法本源”，也就是上面所说的那张系数表，不过当时的形式如右上图所示.在同一本书中，杨辉还引用了贾宪的增开乘方法，即求高次幂的正根法.“开方作法本源”的出现比法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal，1623年～1662年）早600年左右，增开乘方法的计算顺序也比国外首次发现要早770年左右.
杨辉是我国13世纪南宋时期的数学家，字谦光，钱塘（今浙江杭州人），著有《详解九章算法》《日用算法》《乘除通变算宝》《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》等书.
203 怎样让学生较快地写出二项展开式？
答：这里介绍一种方法.根据二项展开式的通项公式和组合数公式，有
所以可得如下的性质：任意一项的系数，等于它前面一项的系数乘前面一项里a的指数，而除以这一项里b的指数.
据此，我们很容易把展开式写出来.例如，（a＋b）[7]＝a[7]＋….由上述性质，把1乘7，再除以1，得7，所以（a＋b）[7]＝a[7]＋7a[6]b＋….把7乘6，再除以2，得21，所以（a＋b）[7]＝a[7]＋7a[6]b＋21a[5]b[2]＋….把21乘5，再除以3，得35，所以（a＋b）[7]＝a[7]＋7a[6]b＋21a[5]b[2]＋35a[4]b[3]＋….现在已经写到中间的项，以后各项的系数可以根据二项式系数的性质1（对称性）得出，所以（a＋b）[7]＝a[7]＋7a[6]b＋21a[5]b[2]＋35a[4]b[3]＋35a[3]b[4]＋21a[2]b[5]＋7ab[6]＋b[7].
204 怎样帮助学生分析排列、组合的综合题？
答：在中学范围内，这样的问题一般要求不高，但必须打好以下基础：一是熟练掌握排列、组合基本题的解法，特别是分类（分情况）、分步方法；二是有较强的分析问题的能力，能把较复杂的问题化归为简单问题.
我们举一个例子.已知集合A和集合B各含有12个元素，集合A∩B含有4个元素，求满足下面两个条件的集合C的个数：
（1）C
A∪B，且C中含有3个元素；
（2）C∩A＝
.
这道题区别于其他题目的地方在于首先要搞清集合的元素，即从什么“地方”，按照什么条件选择元素构成集合C.思路可以有以下两种.
思路1：正面分情况讨论.首先搞清属于B而不属于A的元素有12－4＝8（个），这8个元素构成B的子集D，按C中含有D中的几个元素来区分情况，由于C∩A＝，所以分为：
第一种情况，C中含有D中的2个元素，符合这一情况的集合共有C[，8][2]·C[，12][1]＝336（个）.
第二种情况，C中含有D中的1个元素，符合这一情况的集合共有C[，8][1]·C[，12][2]＝528（个）.
第三种情况，C中没有D中的元素，符合这一情况的集合共有C[，12][3]＝220（个）.
所以，满足条件的集合C一共有336＋528＋220＝1084（个）.
思路2：先舍弃条件C∩A＝.由于A∩B中含有20个元素，所以满足条件（1）的集合共有C[，20][3]个.而满足条件A∩C＝的集合C有C[，8][3]个，因此集合C共有[，20][3]－C[，8][3]＝1084（个）.
本题揭示了排列、组合与集合的联系，值得学生去认真体会.此外，在找出选构集合C的元素的集合A∪D后，要能够把用集合语言提出的两个限制条件（1）、（2）具体化，提出这样的问题：“在集合A∪D中任选3个元素构成集合C，使C中至少含有A中的1个元素，这样的C共有几个？”
205 学生在分析排列、组合问题时，应怎样使用逻辑关联词“非”？
答：逻辑关联词“非”用于否定，在本章中，可以通过几个例子来介绍它的用法和注意事项.
（1）“几种元素都具有”的否定（即“非）是“这几种元素不都具有”，或者是“这几种元素中至少有一种元素没有”（不能把这里的“不都”改成“都不”）；
（2）“某类元素中至少有1个”的否定是“这类元素一个也没有”，或者是“没有这类元素”；
（3）“其中一级品不少于3个”的否定是“一级品少于3个”，或者是“一级品的个数有0，1，2这三种情况”；
（4）“a，b都不选”的否定是“a，b中至少选出1个”.
206 怎样帮助学生理解二项展开式中各项的二项式系数从开始起逐渐增大，增大到某一项时又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必定在展开式的中间？
答：可以证明如下：
设1≤k≤（1/2）n（k为正整数）.由
这表明，C[，n][0]，C[，n][1]，C[，n][2]，…，C[，n][k]（k≤（1/2）n）是逐项之值递增的数列，因此“各项的二项式系数从开始起逐渐增大”.又因为与首末两项“等距离的两项的二项式系数相等，所以当二项式系数增大到某一项时又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必定在展开式的中间”.
思 考 题
1.为什么教科书把大纲中的“排列、组合、二项式定理”与“概率”两部分教学内容合并成一章来编写？由此如何去分析组合数学在概率和统计中的应用？如何加强“排列、组合、二项式定理”在高中数学中的地位，并在教学中注意为后续相关内容铺平道路？
2.如何让学生分清不重复排列与重复排列？如何寻找生活中的实例（如将4封不同的信装入3个信封，问有多少种装法）来防止学生计算重复排列时发生错误？