一节探究型的向量习题课，本文主要内容关键词为：向量论文,习题课论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者最近设计了一堂习题课，貌似拓展课，实质上是将学生在练习过程中比较有困难的题目进行有机组合，经课堂尝试取得了良好的教学效果。
一、问题的提出
在华东师大版的上海高中数学教材中，“向量初步”一节内容安排在高二上学期。然而，学生在高一物理力学中已经应用到向量（也就是矢量），所以作为数学教学内容的向量对学生来说基本上没有困难。因此，如何在该章节学习初期，调动学生的学习兴趣、深化数学方法成为教学设计需要关注的问题。
本节是安排在向量概念、加法和减法、实数与向量的乘法、定比分点的代数形式之后的一节习题课，以引导学生发现和应用定比分点公式的向量形式（该内容不作要求）为主线，上承向量的运算，下接定比分点公式的代数形式，综合应用所学的知识和方法来处理练习中遇到的疑难问题。同时，激发学生探究型学习的主动性，培养发现、提出和解决问题的能力。
二、课堂实录
整节课在过程上分为观察、发现、应用和联系四部分。所用的练习题目均选自或改编自上海市教育出版社《高中数学精练与博览》高二第一学期一书。
1.观察现象
老师出示题目，要求学生用不同的方法解决：如图1所示，在ΔABC中，
，D是边BC上的一点，且
。
学生通过向量加法的平行四边形法则和三角形法则，用不同的方法得到问题的答案：
。下面给出其中的一种解法。
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2.发现规律
这时，老师引导学生将观察出来的现象归纳为命题，并且实施严格的证明。整个引导围绕两个方面展开：第一是形成命题的雏形，第二是对相关的条件进行适当的完善。
(1)形成命题
老师请同学们将观察出来的结果总结为命题并证明之。
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(2)完善命题
此时，有个别学生已经注意到命题条件需要讨论。老师顺势进一步提问：命题有哪些条件可以进一步完善？学生答道：λ需要讨论。还有学生说：点A的位置可以移动。
老师说：好，我们首先看看λ的取值范围。
由于之前学习过定比分点公式的代数形式，对λ≠-1的讨论是比较顺利的。学生分别讨论了λ=0、λ＜0的情况，分析出D为线段BC的外分点时λ＜0；当点D和点B重合时λ=0；当λ=-1时，要求点B和C重合，这是不可能的。综合上述情况，得到λ的取值范围是λ∈R且λ≠-1。
接下来，老师问：对点A的选取是否有要求？
有学生提出：点A与点B、点C不共线的情况成立。如果三点不构成三角形，命题成立与否值得探讨。这时，不需要老师的强调，学生已经开始对三点共线情况下命题是否成立进行验证了。结果发现：点A与点B、点C是否共线，对整个证明的过程没有丝毫的影响，也就是说点A可以取平面内任意一点。
根据上述的讨论，定比分点公式的命题完整地描述为：平面内不同的三点A、B、C，若点D在线段BC上，且有
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练习3如图5所示，任意四边形ABCD,M、N分别是AD、BC的中点，C为MN的中点，O为平面内的任一点，求证：
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对于练习1，学生能够迅速找到关系式
，然后运用定比分点公式的向量形式或者直接运用三角形法则运算即可得到结果。
练习2的解决非常迅速，由
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三式整理后可以马上得到结果。
练习3(1)中面对四个向量相加，学生一开始有点畏难情绪，但是在老师引导下，寻找到了应用公式的条件，分解四个向量相加为
，问题迎刃而解。
顺理成章，学生能够用类似的方法较快解决练习3(2)的证明。有部分学生没有使用定比分点公式的向量形式，而是用三角形法则和(1)小题的结论，过程也很简洁（如图6所示）。
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证明：由题设知
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4.新旧联系
发现和应用定比分点公式向量形式后，学生已经观察出：这个公式与已经学习过的代数形式有相似之处。于是，老师抓住这个契机提问：两种形式之间是否存在内在联系？
学生沉默了一会儿，然后老师提出：能否用定比分点公式的向量形式证明其代数形式，即已知点
，且存在点D使
(λ≠-1)，求点D的坐标。
同学们对这个问题的兴趣很浓，积极地观察并寻找应用公式的条件，也就是寻找适当的点A。通过一番讨论，不少学生发现，用坐标原点替换公式中的点A的作用是最合适的。
证明：如图7，连结OB、OC、OD，设点D(x,y)，则
=｛x,y｝。
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问题讨论到这里，基本的方法和结构已经出来了。尽管下课铃响了，但同学们还意犹未尽，希望用所学的内容去解决更多的问题。