时空图的建立与教学相关性_相对论论文

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时空图以直观清晰的几何图象,用来理解、解释和讨论狭义相对论所依据的原理以及运动学效应,有利于学生建立崭新的时空观,使自然界的基本物理图景得到更新和不断完善。

一、惯性参考系、事件及运动的图示法

在惯性系中发生的一切物理事件,都可以用固定在此惯性系的坐标系及时钟描写,这本来是一个四维的时间—空间问题。为简单起见,本文用二维时空图来讨论问题,即空间坐标x和时间坐标t组成的时空图,如图1所示.一个事件就用此图上一个点表示,如图上P点,它的坐标就表示此事件的位置及时间。在时空图上随时间变化的质点的运动轨迹一般是一条曲线,这个轨迹实际上是质点随时间在空间位置上变化的“历史”,也称为这个质点的世界线。匀速运动质点的世界线是一条直线,加速运动质点的世界线是一条曲线,静止在某一时空参考系的质点的世界线是平行于时间轴的直线。

图1

二、两个相互做匀速直线运动的惯性系的时空图

如图2所示,静止参考系S和运动参考系S',S'和S在t=0,t'=0时,原点O、O'重合,运动系S'的x'轴与静止系S的x轴方向相同,且沿x轴的正方向以速度v运动(人教2007版《选修3~4》第99页图15.1-1)。狭义相对论下的时空图,时间和空间采用相同的单位,所以用ct代替t作时间轴。零时刻从坐标原点发出的光信号的世界线为x轴和ct轴之间夹角的角分线。过时空原点且与ct轴的夹角为θ的直线,表示质点O'向x正方向以速度。匀速运动,这条世界线就是相对S以速度v匀速运动的S'系的时间轴ct'。与ct'相对应的空间轴x'和x轴的夹角也应为θ,这样光信号的世界线在两个参考系中角分线的地位不变,这正是光速不变原理所要求的。顺便指出,在给出的时空图上,两个参考系一个在形式上时空坐标之间为90°;另一个在形式上时空坐标之间为非90°的,但两个坐标系仍然都是正交坐标系,尽管在给出的一个图上其中一个坐标系视觉上是“倾斜”的。

图2

三、“同时”的相对性

见人教2007版《选修3~4》第101页图15.2-1及文字情境,应用时空图辅助教学。

1.建立时空图

设地面为S系,匀速行驶的列车为S'系;两个参考系的空间原点O、O'(车厢中央)在t=t'=00重合对,车厢前壁、后壁的位置分别在A、B; O'、A、B在S',系中是静止的,它们的静止线如图3所示。

图3

2.事件、世界线

车厢中央的光源发出的一个闪光传播,在S'系来看,车厢前壁A、后壁B的世界线即为平行于ct'轴的静止线,它与光信号世界线交于A'、B'。由几何关系可知,A'B'∥AB∥x'轴,即A'、B'在同一等时线上;在S系来看,A'、B'不在同一等时线上,且,所以光到达前壁A的时刻也就晚些。(图上的表示,已约定c=1,说明见后)

四、时间和空间的相对性

见人教2007版《选修3~4》第103页图15.2-4及文字情境,应用时空图辅助教学。

高速列车车厢安装着一个墨水罐,它每隔一定时间滴出一滴墨水。当t=t'=0时,墨水罐p',滴出第二滴墨水落在地面P点,令;在t'时刻,第二滴墨水落在地面Q点,S系中空间坐标为,这时在地面Q点时钟指示的时间为t(地面上各地的钟都经过校准),如图4所示。车上的人测得,墨水在地面上形成P、Q两个墨点的时间间隔为t',地面上的人测得的时间间隔为t。

图4

由于“同时”的相对性,两个相互运动的参考系已经没有相同的等时线了,应该如何确定t和t'的关系呢?

用狭义相对论原理和光速不变原理来解决这个问题。设想S系位于空间原点O的观察者,在S系时刻向S'系位于空间原点O'的观察者发出一束光,在S'系位于O'的观察者在收到这个光信号的时刻为t';O'收到后立即用镜子将光线反射给S系的O,O在时刻收到反射回的光线。

在S系的时刻t,事件P'(S'系空间原点O'在t'时所处的时空位置)与S空间原点O的距离为vt,即图上P'到t之间的连线。由于光速不变原理,则

这里需说明一点,纵坐标以ct为轴,为方便起见,约定c=1,这样v是以光速为准的相对速度值,有tanθ=v。至此我们容易得到

式中t'表示车上观察者(相对静止)测得两滴墨水的时间间隔(即△τ),t表示车下观察者测得两滴墨水的时间间隔(即△t),结果是不一样的。显然此式与课本第103页的(2)式是等价的。

由于时空图的对称性,空间轴上事件的坐标变换与时间轴上的坐标变换有相同的形式,所以对于地面上PQ之间的距离,在S、S'系来测量分别是,结果也是不一样的,两者的关系是

图5

本文试图应用时空图辅助爱因斯坦相对论的教学,问题情境均取于课本。笔者以为相对论原理导致时空的相对性,如何把时空变得直观有形,如何把原理体现在时空图上,这是时空图辅助教学的目标。

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