摘要：高等数学微积分理念在概率统计、数学建模、应用数学等多领域有着广泛的运用，本文就通过集合、函数、极值和向量代数，阐述一下高等数学微积分理念的多领域运用。
关键词：高等数学；微积分理念；应用
一、微积分在概率统计方面的运用
（1）集合
微积分在概率统计中最简单的一个运用，在勒贝格积分建立测度论以及集合论之后，概率论及已经形成了初步的雏形。从本质上讲，概率论的研究对象主要还是随机实验，只是实验，其结果就是都不会是绝对的，而把实验的所有结果容纳在一起，就是一个集合。而在这个过程中，每一个发生的随机事件都是集合中的一个子集。利用集合之间的关系，来机型运算和处理问题，也就成了一种最基本的运用。
（2）函数
微积分中的函数在概率学中是无多不在的，无不体现着函数的思想。不管是概率还是随机的变量，不管是分布函数还是密布函数，都是属于微积分的函数，也正是因为这些对应的关系，使得在概率学的研究中更加的顺畅。所以，微积分在概率学的研究中有着很大的作用。我们简单的通过大数定律阐述一下。大数定律是一种极限定律，主要是描述在是试验次数无数次后所表现出来的一个概率性的规律。值得注意的是，大数定律并不是一种规律性的定律，它中间也包含了很多附加的条件，来证明其中的定律。在大数定律的验证中，可以通过以下的验证进行：
在应用数学中，求函数f(x)在区间[0,1]中的定积分，那么函数X的数值必然在0和1之间，这种情况下，可以将所得的积分的数值当做一个概率值。在实验的过程中，变量XY必须要在0和1之间，可以求出边际分布的分布情况，此时函数f(x)的积分值和变量y的取值范围不会超过函数f(x)的概率是相同的，这个概率值也是可以估算的，在大数定律的理论上实验的总数越大，频率会随着概率收敛到概率，只需将函数的积分变换即可得出第一类积分。但是在试验中，从来不是一成不变的，可以通过x的区间范围，将函数的积分值当做一个数学期望，让辛钦大数定律通过估算期望值来得到函数的近似值，最后再利用变量转换的出第一类积分。
以积分Ⅰ为例,可通过以下命令，求得近似值
A=NULL; n=10 000;
for(i in1:200){x=runif(n,0,1); y=runif(n,0,1);
F=(y < =sinx×cosx×exp(-(x^2)/2));
F=as.numeric(F);
A[i]=mean(F)}; mean(A)
这个程序运行之后,得到积分Ⅰ约等于0.288 118 5。该实验也可以使用以下程序
A=NULL; n=10 000;
for(i in1:200){x=runif(1,0,1);A[i]=sinx×cosx×exp(-(x^2)/2)}
mean(A)
上述程序运行一次之后可以得到积分Ⅰ约等于0.280 482 3,两种模拟给出的近似值接近,因此可以推断积分Ⅰ的值介于0.28到0.29之间。
二、微积分在应用数学方面的运用
微积分是研究辩护规律的一种学科，是针对社会上出现的问题的一种规律显示。应用数学顾名思义就是应用性比较强的数学理论和方法。虽然说任何学科都会存在着抽象性，但还应用数学抽象度更高，以至于只留下同量之间的逻辑关系，这种抽象将思想形式化。由于应用数学对于结论的要求是非常准确的，因此在逻辑演绎方面就需要无可挑剔。事实上，应用数学这两个特点都有微积分在内部的身影，能够很好的帮助应用数学推理、计算。因此，微积分在应用数学中有着重要的作用，是应用数学能够进行实质化应用的重要因素。
三、微积分在数学建模中的运用
微积分在数学建模中主要体现在极值与向量代数两个方面，针对极值做一些简单的分析：
极值在学习导数的过程中一个重要的存在，简单极值的计算是：
假设y=ƒ（x）在x0处有导数的存在，并且ƒ´（x）=0，那么在这种情况下x=x0被称为y=ƒ（x）的一个驻点。
又假如ƒ"（x0）存在，并且ƒ´（x）=0，而ƒ"´（x）≠0，那么就会出现以下的结果：
如果ƒ"（x0）＜0的情况下，ƒ（x0）是此函数的极大值
如果ƒ"（x0）＞0的情况下，ƒ（x0）是此函数的极小值
当然，在实际的生活中和应用中，这种最简单的极值问题是不会出现的，而且会存在某些限定的条件，在这种情况下，就可以通过Lagrange算法来进行条件极值的计算和求取，比如说以下最基本的一个条件求值：
问题：求函数z=ƒ（x，y）在条件φ（x，y）=0的情况下的极值问题
解：
第一步需要构建辅助函数，函数L（x，y，z）=ƒ（x，y）+λφ（x，y），在这个函数中Lagrange函数是L（x，y，z），算子是
从从方程式中求出x0，y0，λ0的数值，此时求得的（x0，y0）在上述问题中z=ƒ(x,y)在条件φ（x，y）=0下有的极值点。然后通过实际的情况和实际的条件，判定是极小值还是极大值。
我们通过简单的磁盘存储量问题建立一个数学模型:
计算机都是讲数据存储在磁盘中，磁盘是我们常见的一个物品，是带有磁性的圆盘，能够在计算机上或者是媒体上，进行数据的播放，它的操作系统封能够将其分割成扇区和磁道。扇区顾名思义就是被圆心角分割而成的区域，而磁道则是由不同的同心圆轨道构建成的。磁道中的段，将它和格式化与数据存储间定义为0和1。在这个里面，基本单元我们称之为比特，在保证磁盘分辨率的情况下，磁盘的宽度必须要大于Pt，而每一尼特所拥有的磁道长度也不能小于pb，同时，为了保证在搜索便利的情况，在磁盘进行格式化的过程中磁道的比特数值要相同，而现在，假定有一种半径为R的磁盘，它的最大存储和最小存储区间为r和R之间，请求出磁盘的最大存储值。
这是一个微积分在极值中的一个简单应用，因此在求解的时候直接进行公式的代入，及你选哪个数学模型的建立即可。
磁盘存储量=磁道数×每一个磁道的比特数
由于存储的半径在r和R之间，那么在条件的范围内，磁道最多是R-r/pt，而由于比特数值固定那么在保证最大存储量的要求时，就必须出于存满的状态，则每一个磁道的比特数为2πr/pb ，所以总量为：
B（r）=R-r/pt×πr/pb
=2πr/ptpb（R-r）
然后进行极值的计算：B´(r）=2π/ptpb（R-2r）
B"(r）=2π/ptpb（-2）
如果B´(r）=0，驻点为r=R/2，则B´(r）小于0，在r=R/2处，B（r）可以取得最大值，责最大容量为Bmax=2πR2/4ptpb。
结束语：
随着社会的不断进步，人们对数学的理解也越来越深入，对数学的应用也越来越广泛，数学也已经逐渐成为社会发展的重要一环。而微积分作为高等数学中重要的一个分支，必然会随着发展和应用，在不同领域得到更多的运用。
参考文献
[1]闫小飞.学微积分理念的多领域应用分析[J].数学学习与研究,2019(01）.
论文作者:崔石买
论文发表刊物:《知识-力量》2019年10月43期
论文发表时间:2019/9/27
标签：微积分论文; 函数论文; 极值论文; 概率论文; 磁道论文; 积分论文; 定律论文; 《知识-力量》2019年10月43期论文;