应用统计学——概率统计在几何参数求解中的应用论文_成子昕

摘要：概率统计作为传统数学的一个重要分支，在各个学科领域得到广泛的应用，包括金融、生物医药、计算机通信等。同时，概率统计也可以用于解决一些数学难题。几何学是数学的主要组成之一，然而对于某些几何图形的几何参数求解仍然是一个难题。本文基于概率统计的思想，进行复杂几何图形的面积求解，并提出了一种圆周率的新解法。通过简单的实验验证了概率统计法求解几何参数具有一定的准确度，并基于实验结论提出降低误差的解决方案。

关键词：概率统计；面积；圆周率；误差

一、概率统计应用概述

随着科技的发展，学科之间的交叉日益密切，概率统计方法作为是一项重要的数学工具在众多领域扮演着重要角色。概率统计是通过对大量随机事件的统计，并掌握其规律，是一种定量研究随机事件的方法[1]。

在日常生活中，概率统计方法的使用无处不在，例如投票活动、福利彩票、扑克牌等。随着计算机技术的发展，概率统计更是成为了各行各业数据研究的有力工具，最明显的是大数据时代给我们带来的生活上的便利，主要就是基于概率统计方法实现的[2,3]。概率统计的应用不仅仅是推动其他学科的发展，在数学领域的应用也比比皆是[4,5]。本文主要研究概率统计方法在几何参数求解中的应用。

二、概率统计方法求解几何参数

2.1复杂几何图形面积

对于复杂图形的面积求解相对困难，大多情况只能求出近似解。基于此，本文提出了使用概率统计求解几何图形面积的新解法。众所周知，随机事件发生的概率是一个可以被确定的固定数值，可以表示随机事件发生的几率。频率统计是求解概率的常用方法，统计量越大，频率越接近于概率。

基于上述思想，复杂图形的面积求解方案如图1所示：

图1 复杂图形的面积求解方案

其中参考图形是一个已知边长的正方形，面积求解简单。在此，参考图形表示事件的全域，而待求图形为随机事件，则随机事件发生的概率P为：

其中A表示参考图形的面积，为已知量；S表示待求图形的面积。可见只要求出P，则可获得复杂图形的S。

2.2圆周率

根据上文可知，通过求解几何图形的面积，可以进一步得到某些其他的几何参数，比如通过求圆的面积进而求解圆周率。本文利用概率统计方法进行圆周率的求解，如图2所示：

图2 圆周率求解方案

首先利用概率统计法求解一个半径为R的圆的面积S，则圆周率π为：

其中A和R都是已知量，由此可见只要求出P，便可获得值。

综上所述，基于概率统计原理，通过简单图形的辅助，可以实现复杂图形的几何参数求解。式（2.1）、（2.2）表明，对几何参数的求解最终都转换为求解P。本文拟采用统计实验的方式求解图1、图2两种情况的P值。

三、统计实验及结果分析

3.1实验方案

本文通过统计频率的方法来逼近概率值，实验过程中应确保每次事件的随机性。只有对随机的事件进行统计，其频率才会接近于概率。

考虑到实验成本问题，本文准备了几件简易的实验道具，包括将图1、图2打印在A4纸上，并固定参考正方形的面积为10×10 cm2，然后用透明胶将A4纸图案朝上的粘在地上，最后再准备一定量的碎纸片用于实验统计。在此，A4纸的图形颜色不宜太深，要保证一定距离外人眼无法辨出图案轮廓，避免实验过程中人为的主观意识影响事件的随机性。其次，将碎纸片由80 cm高的桌面上自由下落，由于碎纸片易受环境中空气动力学的影响，因此可以保证碎纸片的落地点具有一定的随机性，并且碎纸片的初始位置也是在一定的水平范围内人为的随机释放。最终的碎纸片落入待求图形的统计频率f为：

其中m为落在待求图形内的碎纸片数量，n为落在参考图形内的碎纸片数量。碎纸片落入待求图形的概率P为：

其中碎纸片落入参考图形内且未压在图形边框线上的情况被称为有效实验，当有效实验次数n足够大时，可以用f表示P。并且n越大，P的误差越小。

3.2实验结果

对于上述两种实验方案分别进行1000次有效实验，每隔100次对实验数据进行一次重新统计，得到概率值及相应的几何参数。其中图1的统计实验结果如下图所示：

图3 复杂图形的统计实验结果

其中S与P的关系如式（2.1）所示。由图3可见，随着n的增加，P逐渐朝某一固定值（真实概率）靠拢，由概率计算所得的S也趋于稳定。但是，由于并不知道复杂图形的真实面积，因此无法说明统计值是在向真实值逼近。

为了定量的分析概率统计法的计算准确度，对图2的情况开展同样的实验，其中待求图形是半径为3 cm的圆。相应的统计实验结果如下图所示：

图4 圆的统计实验结果

其中π与P的关系如式（2.2）所示。由图4可见，随着n的增加，的统计计算值逐渐逼近于真实值。假设π=3.1415926，对统计值做误差分析，结果如下图所示：

图5 圆周率的误差分析

图5可见，随着n的增加，的相对误差逐渐变小。由此可推断，当统计量无穷大时，通过概率统计方法求解的圆周率将无限接近于真实值。这也为圆周率的高精度求解提供了一种有效的方法。

四、结论

综上所述，概率统计方法可用于一些复杂图形的几何参数求解，例如面积、圆周率等。简单的实验表明统计量越大则求解参数的误差越小，即参数的求解精度与统计量成正相关。因此，基于计算机强大的计算能力，可以通过编程的方法在计算机上模拟这一随机事件的统计过程，增大统计量，提高参数的求解精度。

参考文献：

[1]概率论与数理统计教程[M]. 沈恒范. 北京, 高等教育出版社.

[2]概率统计在实际生活中的应用[D]. 叶和良. 黄冈师范大学.

[3]三种重要概率分布的关系及其应用[J]. 梁好翠. 钦州学院学报. 2017,22(3).

[4]概率思想在数学证明和计算中的应用[J]. 卓泽强. 数学的实践与认识. 2007,37(13).

[5]蒙特卡洛方法模拟计算圆周率[J]. 彭滔, 魏雷阳. 电脑知识与技术. 2014(17).

论文作者:成子昕

论文发表刊物:《青年生活》2018年第10期

论文发表时间:2018/12/26

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