让模拟沙漏做简谐运动，本文主要内容关键词为：简谐运动论文,沙漏论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
几何画板能够动态地保持几何关系，形象地显示数学规律，具有准确性、直观性、易用性等特点，非常适用于数学、物理等学科的教学。很多物理规律、物理实验能借助几何画板加以模拟，并能动态地、直观地揭示，因此深受物理教师的喜爱。简谐运动图象是研究简谐运动的一种重要手段，是理解简谐波形成的基础，也是学习电磁振荡和电磁波的前提，因此做好图象描绘的演示实验是相当关键的。本文拟用几何画板模拟沙漏的简谐运动，并巧妙地画出沙漏做简谐运动时沙漏的运动图象，这就像“匀速地拉动木板，沙流在木板上形成的曲线”一样。由于制作简单，并且能形象地显示物理规律背后的数学关系，因而能使学生加深对简谐运动规律的认识，有效地突破教学难点。
为此，需借助数学工具——“参考圆”来研究简谐运动，从而用几何画板模拟出沙漏的简谐振动；为使模拟出的“漏沙曲线”是沙漏的振动图象，需对“参考圆”等作适当“约束”；最后简要介绍如何用几何画板模拟沙漏的振动。
一、借助“参考圆”研究简谐运动的规律
匀速圆周运动的投影是简谐运动。如图1所示，质量为m的物体以角速度ω做半径为R的匀速圆周运动时，一束平行光将其投影在Ox轴上的B、C范围内往复运动。若某时刻物体运动到P'点，受到的向心力大小为
，此时其投影运动到P点，受到的回复力相当于F'在Ox方向的投影，即：
(1)式表明：匀速圆周运动的投影确实是简谐运动。由此，不难得到简谐运动的周期公式为：
(2)式中的m和k应分别理解为做简谐运动的物体的质量和做简谐运动物体所受到的回复力与其离开平衡位置的位移间的比例系数。这两个量都是由简谐运动系统自身特性所决定的。
同样，也不难得到简谐运动的运动学规律。若取简谐运动的物体在Ox轴正向最大位移处时为计时起点，对应的“参考圆”上做匀速圆周运动的物体则从如图1所示的B'点出发，经时间t运动到P'点，而此时做简谐运动的物体相应到达P点，其相对于平衡位置的位移x可借助“参考圆”中几何关系求得：
x=Rcosα=Rcosωt(3)
相应的做简谐运动的物体的线速度为：
v=-ωRsinωt(4)
于是，对于任意一个简谐运动来说，都可以相应地找到某一匀速圆周运动，使其投影的运动情况与这个简谐运动完全同步。而匀速圆周运动与简谐运动的这一对应关系，正是我们利用几何画板，借助“参考圆”模拟沙漏的简谐振动的基础。
图1 实验图
二、对“参考圆”等作适当“约束”
首先要保证在模拟过程中，沙漏做的是简谐运动。当摆角小于5°时，沙漏的振动近似为简谐运动。并且，当摆角小于5°时，沙漏对平衡位置的位移与沙漏中“漏出的落在木板上的沙”到“零线”的位移近似相同，此时木板上“沙流”形成的曲线能表示沙漏的振动图象。但当摆角大于5°时，沙漏对平衡位置的位移与沙漏中“漏出的落在木板上的沙”到“零线”的位移就不相同，此时木板上“沙流”形成的曲线就不能表示沙漏的振动图象，即虽然此时模拟出的振动图象仍为正弦（或余弦）曲线，但这曲线不是沙漏的振动图象。因此，在制作的过程中，需要对“参考圆”等的大小及位置作适当调整，这可以通过标记并显示摆角的大小加以控制，以保证摆角小于5°。
其次要保证沙漏的平衡位置正好在“零线”的上方，还要保证“匀速地拉动木板”，并且要保证“匀速地拉动木板”时“零线”总在沙漏的平衡位置下方通过，这样在摆角小于5°时，沙漏在任意时刻对平衡位置的位移与沙漏中“漏出的落在木板上的沙”到“零线”位移近似相同。这样，当将“零线”作为图象的时间轴，且把与“零线”垂直的轴作为位移轴时，“沙流形成的曲线”就反映了沙漏的位移随时间的变化关系，即此时模拟画出的曲线才可用来表示沙漏的振动图象。
三、用几何画板模拟沙漏的振动
以下简要说明如何利用几何画板制作沙漏振动的模拟动画，并进而将沙漏的振动投影到一条匀速运动的直线上，通过追踪点的轨迹画出一条正弦（或余弦）曲线，再对“参考圆”等作适当调整以保证此曲线是该沙漏的振动图象，这就像沙漏实验中“匀速地拉动木板，沙流在木板上形成的曲线”一样。
1.新建画板，画一条竖直直线AB（需同时按住shift键），使A点在B点上方，画线段AB，过点B作⊙A，如图2所示（注：为清楚表示出原图中所有元素，图2中沙漏摆角暂时未作调整，实际动画模拟时应保证摆角小于5°）。
图2 几何画板模拟沙漏的振动
2.在线段AB上取一点C，过C作AB的垂线，过垂线上一点D作小圆⊙C。在⊙C上任取一点E，过E作CD的垂线交直线CD于F。
3.作射线AF交大圆⊙A于点G，选择点G，利用【变换】→【平移…】命令，把点G按极坐标90°平移0.4cm得到点G'，过G'作⊙G。选择点G，利用【变换】→【平移…】命令，把点G按极坐标60°、120°平移0.4cm分别得到点P、Q。
4.选择点P、Q、G，利用【作图】→【三角形内部】命令作出△PQG的内部，并把内部设置成棕黄色，画线段AG并设成粗线，选择点E，利用【编辑】→【操作类按钮】→【动画…】命令创建动画按钮，并把该按钮标签改为“沙漏摆动”。利用【显示】→【追踪】命令追踪点G。依次选择点G、A、B，利用【度量】→【角度】命令，度量角∠GAB（此角即为沙漏的摆角），选择度量角度结果的标签，利用【显示】→【角度度量结果的标签】命令，将标签改为沙漏摆角α，将其值的显示项改为当前标签，点击确定。作线段BG，选择线段BG，度量并把度量结果的标签改为沙漏振幅x。选择拖动点C或点D调解单摆的振幅，拖动点B或点A调解单摆的摆长，控制沙漏摆角最大值在5°以内。
5.在直线AB上的B点下方取一点H，画射线BH，将其标签改为“零线”，在射线BH上取一点I，过I作射线BH的垂线J。过点G作直线J的垂线L，构造直线J与直线L的交点M。选择点I，利用【编辑】→【操作类按钮】→【动画…】命令创建动画按钮，并把该按钮标签改为“运动点I”，方向改为向前，移动速度为慢速，选中“只播放一次”。利用【显示】→【追踪】命令追踪点M。
6.选择“单摆摆动”按钮与“运动点I”按钮，利用【编辑】→【操作类按钮】→【系列…】命令创建系列按钮，并把该按钮标签改为“沙漏的振动图象”.选中“同时执行”，选中开始前的“停止所有动画”“清除所有轨迹”。隐藏“运动点／”按钮。顺序选择点E、D、I、B，利用【编辑】→【操作类按钮】→【移动…】命令创建动画按钮，并把该按钮标签改为“复位”，移动速度选中“高速”。依次选中“沙漏摆角α”“沙漏振幅x”“沙漏摆动”“沙漏的振动图象”“复位”5个选项，按住shift键同时按回车键，以使它们对齐。利用【编辑】→【选择所有】命令，选择所有元素，将它们的颜色改为黑色，在选择点G、点M、射线BH时，分别将其颜色改为蓝色、棕黄色、绿色。再次调节相关元素，以控制沙漏摆角最大值在5°以内。启动相关按钮，观察沙漏摆动动画及描绘出的沙漏的振动图象。调整图象动画至最佳状态。隐藏相关的辅助对象。动画演示时，由于初位相不同，前后两次模拟画出的振动图象会不同，这与真实的沙漏振动实验是相同的。