记忆数学结论或理解数学本质--以“随机抽样(头等小时)”为例_数学论文

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      每当与一线教师交流时，教师们总是抱怨现在的评价只关注分数，所以不得不多做题，挤时间做题，不得已只能缩减甚至抹杀知识的形成过程.但多做题只是机械训练，不能有效地提高学生的思维能力.只有学生真正理解了所学内容的数学本质，才能提高其分析问题的能力；只有学生领悟了解题的思想，才能举一反三，提高解题能力.下面以人教A版课标教材必修3“随机抽样（第一课时）”为例，分析如何帮助学生理解数学的本质，与同行交流.

      一、两种教学设计

      教学设计1

      学习目标：

      （1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤.

      （2）随机抽样的过程与方法.

      ①能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题.

      ②在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本.

      文本研读：

      研读要求：认真阅读教材第54～57页，思考下列问题：

      （1）阅读章引言，你认为本章要学习的主要内容是什么？

      （2）如何刻画一批袋装牛奶的质量是否合格？

      （3）在问题“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”中，个体是什么？总体是什么？

      （4）“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这一问题是通过什么变量来表达的？

      （5）你认为统计问题有什么特点？

      （6）在检验一批袋装牛奶是否合格的问题中，你能够用其他变量提出统计问题吗？

      （7）通过普查和抽样调查来了解“一批袋装牛奶的细菌含量”各有什么优缺点？应该采用哪种方法？

      （8）为什么一次好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查？

      （9）写出简单随机抽样的概念，以及简单随机抽样必须具备的特点.

      （10）写出抽签法和随机数表法的定义和一般步骤.

      习题：略.

      教学设计2

      学习目标：

      （1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，能说出统计的基本思想.

      （2）能举例说明什么是随机抽样，并结合实例说明为什么要抽样，初步评论抽样的重要性.

      （3）在解决统计问题的过程中，会用抽签法、随机数表法等简单随机抽样方法的一般步骤从总体中抽取样本，能解释怎样“搅拌均匀”和“机会都相等”.

      文本研读：

      研读要求：认真阅读教材第52～57页，思考下列问题：

      （1）请你回忆在初中阶段学习过哪些统计知识？结合一个具体的案例描述统计活动的过程.统计与其他数学内容的本质区别是什么？联系又是什么？

      （2）阅读教材第52～53页的章头图，这些图中描述了水资源缺乏的问题和土地沙漠化的问题.请问这些数据是用什么统计方法获得的？

      （3）阅读第53页的章引言，本章要研究哪些问题？请你就第52～53页的章头图和章引言中的一个实际问题谈一谈，并说出统计的基本思想方法是什么.

      （4）阅读第54页的节引言，回答下列问题：

      ①举例说明实际问题中涉及的总体是什么，变量是什么.

      ②举例说明为什么要抽样，研究样本的目的是什么.

      ③尝一勺汤能知道一锅汤的味道吗？如何理解“搅拌均匀”？请你举例说明怎样获得具有代表性的样本.

      （5）请你举一个实际问题谈一谈：为什么要抽样？什么样的样本好？如何获得好的样本？

      （6）阅读下面的案例，并回答问题：

      阅读“一个著名案例”及下文：

      自1916年以来，此家杂志每次所作的预测都是正确的，因而影响很大.这次它的预测是基于240万份答卷作出的，却预测错误.

      当时有电话的家庭有1100万户，失业者有900万人.有一个叫乔治·盖洛普（George Gallup）的人建立的一个调查组织从1000万人中随机选取了3000人，就提前知道了杂志将要得出的结论：兰登将以56%的选票获胜，这与杂志公布的结果仅差1%，而这个结论来自于3000人而非240万人.盖洛普从更大的范围内随机选取了5000人，据此预测罗斯福将以56%的得票率获胜，而兰登的得票率为44%.与实际结果差6%（实际选举结果是罗斯福在选举中获胜）.

      回答问题：

      ①杂志社此次预测错误的根本原因是什么？

      ②为什么盖洛普既能了解杂志的预测结果，又能对大选预测成功？为什么说一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查？

      ③预测的误差是否随着抽样数量的增加而减少？

      ④从这个案例分析中能得到什么启发？用样本推断总体获得的结论可靠吗？为什么？怎样保证其可靠性？

      （7）阅读第55～57页，回答问题：

      ①简单随机抽样必须具备的特点是什么？

      ②现在要从你的小组中随机抽取一名同学去执行以下任务，请你写出分别用抽签法和随机数法抽取的步骤.在这个过程中是如何保证每个个体被抽到的机会都相等的？

      习题：略.

      二、比较分析

      1.学习目标的可操作性

      目标，对教学过程的设计具有指导性，对学生的学习过程具有监督、引导的作用，对学生的学习效果具有评价作用.要发挥这些作用，首先，学习目标必须明确具体，具有可操作性.比较两个教学设计，二者的共性是目标的主体都是学生，但教学设计2中的目标叙述更具有可操作性.

      数学课程标准的“内容标准”中对随机抽样的要求是：

      ①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题.

      ②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性.

      ③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.

      根据布鲁姆的目标分类学，将课标的每条要求置于下面的二维表（如下页表1）中对应的位置.

      根据这个二维表可以将课标的要求具体化，于是得到教学设计2中的学习目标.

      比较两个教学设计中目标的表述，教学设计2中的表述更具有可操作性.根据这个目标，教师在设计问题时，就会将之表述得更具体，使指令更明确.比如，数学课程标准要求“理解随机抽样的必要性和重要性”，在教学设计1中的表述是“正确理解随机抽样的概念”，显然如何判断正确，什么叫理解了？没有办法操作.根据表1，理解这个概念就是要能“举例”、“比较”、“说明”、“评价”，于是在教学设计2中表述成为“能举例说明什么是随机抽样，并结合实例说明为什么要抽样，初步评论抽样的重要性”.这种表述显然是具体的、可操作的.

      

      根据目标的表述，如何评价抽样的重要性呢？需要给学生提供相应的学习素材，于是结合教材中“一个著名的案例”，并将之充实，就得到教学设计2中的问题（6）.可见目标对教学设计的指导作用.而教学设计1中由于不能将目标可操作化，也就不可能设计类似的问题.

      目标不是虚无的，是很具体、很重要的，需要引起教师们足够的重视.

      2.先行组织者的运用

      两个教学设计都注重了先行组织者的作用.这一点两个教学设计做得都比较好.在很多教学设计、学习过程中，都不重视先行组织者，这种做法就是明显的注重知识、忽略思想，没有元认知追求的设计，这就是所谓的为了分数的教学.

      俗话说：磨刀不误砍柴工.用在教学上，就是先要理解为什么这样做，先整体了解所要学习的对象，这就是学习中的“利器”.在这个背景下开始具体的学习，其高度、整体性、意义性都是明确的.学生明明白白学习，效率自然会提高.

      3.问题的思维含量

      对两个教学设计中的问题进行比较，有以下不同.

      （1）问题的任务性不同

      很显然，教学设计1中的问题任务比较小，比较直接，容易回答.教学设计2中的问题任务比较大，需要学生整体化地对待.比如，教学设计1中的问题（2）～（4），与教学设计2中的问题（4），都是针对“节导言”的，但后者整体性更强，学生能整体感知一个对象，更能完整地体会其意义.

      （2）问题中的指令不同

      设计问题，不能仅仅包含任务，还要指导方法.两个教学设计中都有方法指导，但是教学设计1的方法指导比较笼统：“认真阅读教材P54～P57，思考下列问题”，至于下面的哪个问题对应文本中的哪一段内容，学生是不清楚的，这样就会导致学生学习的盲目性.而教学设计2中，不但有总的指令，还在每个问题中都给出具体的指导.

      （3）问题的起点不同

      在教学中一定要注重学生的已有知识经验的作用.学生在小学、初中都学习过统计知识.而且统计不同于其他数学知识：不论在哪个阶段学习，做统计活动的基本步骤是不变的，这就是统领统计知识的一个核心.所以要帮助学生梳理已有的统计知识与技能，让学生清晰地知道统计学习的线路图，并在学习中不断地进行对比分析已有知识经验和新学习的知识方法之间的关系，使得新知识能纳入到已有认知结构中，并进一步发展已有的认知结构.因此，教学设计2的教学起点向前推，从复习开始，并在此基础上让学生期待新内容会有什么不同，明确了学习的方向，激发了学习的兴趣.

      （4）素材的提供不同

      做教学设计，不是让学生把文本记住即可，更主要的是基于教材，引导学生进行深度研究.因此，在教学设计2中，针对教材中的“一个著名案例”，充分挖掘其内涵，补充材料设计了问题（6），通过这个问题期待学生达到学习目标中的“初步评论抽样的重要性”，让学生结合具体的实例理解抽样的必要性和重要性.而教学设计1中则只用了问题（8），这个问题指向性和素材都不充足，学生的理解不会具体，使得本节课的学习难以升华.

      （5）问题的数学意义不同

      比较两个教学设计，教学设计1中的问题具体、直接、好回答，但是都没有对教材充分挖掘，这样学生学习之后对知识的理解都是浅层次的、表面的.在教学设计2中，“说出统计的基本思想方法是什么？”“从这个案例分析中得到什么启发？用样本推断总体获得的结论可靠吗？为什么？怎样保证其可靠性？”“请你举例说明怎样获得具有代表性的样本”等问题，都直指统计的数学本质，虽然学生，甚至欠缺思考的教师都难以回答，但是按照教学设计2实施教学，这些问题最后都得到了圆满的回答，通过学习学生真正理解了统计科学的本质特点.

      4.数学本质的领悟

      之所以出现上述这些不同，关键在于对数学教学的定位不同.大家都知道在数学教学中不仅要让学生学“是什么”，更要让学生学习“为什么”、“怎么样”；不仅要让学生学习显性的数学知识技能和方法，更要学习隐性的数学知识.大家也明白具体知识中还承载着重要的数学思维，具有提高学生数学素养的功能.但是在具体的教学中难以将各种教学理论具体化，所以大部分教师设计的教学过程，更主要的是停留在显性的知识、具体的方法上，难以引导学生理解数学的本质.

      5.记知识还是做事情

      在教学设计1中，问题很具体，看到这样的设计，不得不质疑：数学学习就是看书记结论吗？比如其中的问题（9）和（10），针对简单随机抽样，就是让学生记住定义和操作程序.这样的学习过程将数学学习异化为记知识.

      在教学设计2中，也安排了学生看书记忆相关的知识，但是通过变换任务要求，使得学生在完成这个任务的过程中不能简单地识记，而是要将看书获得的知识运用在一个新的情境中，即问题（7）②中所给的任务.这样的转变就使得单一记知识的学习转化为做事情，通过做事情，使得基本知识落地生根.

      从心理学角度分析，学生记忆一个知识，是将这个知识及获得这个知识的情境作为一个单元块一起存储在大脑中的.因此“做事情”更有利于学生进行有意义的识记.

      6.学生情感的积极性

      数学学习的兴趣不仅仅在于其外显形式的趣味性，更重要的是蕴含在学生数学学习过程中对数学本质理解的顿悟.在教学设计2中，引导学生分析“统计与其他数学内容的本质区别是什么？联系又是什么？”“用样本推断总体获得的结论可靠吗？”并将之贯穿在整个学习过程中，当学生真正能回答这两个问题后，他们顿悟之后的那种激动，就是激励他们进一步探究的动力，就是让他们爱上数学的动力.

      三、总结反思

      “随机抽样（第一课时）”就知识点而言，非常简单，但就其思想性而言，又很有高度.上好这一节课，将能使学生站在全局的高度审视后续的学习内容，将能使学生用统计思想统领后续的学习.所以这是一节重要的起始课.

      起始课要不要上，怎么上？不能一概而论，但是对于统计部分，这节课是有必要的，原因不再赘述.每一章、每一个新的板块，其起始课都是很重要的，这是学习中的整体性的体现，也是能促进学生提升学习的自觉性和规划性的保障.所以要认真对待起始课，上好起始课.

      对于以考试为借口，不认真对待起始课的人，笔者认为2012年高考新课程全国卷理科第18题就是一个回答.虽然这是一道统计概率的综合题，更侧重于概率，但是统计与概率有本质的相同之处.试题如下：某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

      （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.

      （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得表2.

      以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

      

      ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

      ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

      此题最后一问，答案是不唯一的.或者说确定性的丧失，这就是统计概率与其他数学知识的不同.由此可见，高考考查的不仅仅是知识技能，更注重数学知识的内涵.

      虽然各种以考试成绩为标准的评价压抑着学校、教师、学生，但是作为教师还是要做有思想、有追求的人，在实践中展示教学的数学味道，让更多的学生喜爱数学，提升成绩.

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