摘 要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。
关键词：数学归纳法 数列 不等式
一、数学归纳法的概述
1.归纳法与数学归纳法。
（1）归纳法。①完全归纳法。②不完全归纳法。③典型归纳推理。
（2）数学归纳法。数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。这一重要性质，为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。那么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。这样的证明方法叫作数学归纳法，可见数学归纳法是一种完全归纳法。
2.数学归纳法的基础。严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。
3.数学归纳法的原理。数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。
4.数学归纳法的解题步骤。用数学归纳法证明的一般步骤是：
（1）设P(n)是一个关于自然数的命题，证明P(n)当n=1或（n=n0）时命题成立。
（2）假设P(k)(k≥n0)成立，证明成立P(k+1)那么P(k)对任意自然数n都成立。
运用数学归纳法证题时，以上两个步骤缺一不可。
二、数学归纳法在解题中应用
1.数学归纳法在整除中的应用。在证明中我们要注意构造的技巧，利用增项、减项或拆项的方法来进行证明。首先我们要从将要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式整除，这是数学归纳法证明整数的整除性问题的一个技巧。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆也可从整除的基本含义入手，通过添项去项进行“配凑”，使之能够获证。
2.数学归纳法在几何中的应用。应用数学归纳法证明几何题是数学归纳法的一个重要应用。在证明几何问题的过程中，它的关键是“找项”，即几何元素从个变成个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析。在实在分析不出来的情况下，将和分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
3.数学归纳法在证明不等式中应用。数学归纳法来证明不等式的难点重点在于由等于时不等式成立来推出等于时不等式同样成立这一步骤。为了顺利完成这一步的推断，不仅仅要合理使用假设和归纳的方法，还要灵活地使用所给问题的其他相关条件和知识，证明时先比较和这两个式子的共同点和差异，然后决定后者做哪一种变形，再利用分析、放缩、比较、综合的方法和不等式的传递性质来完成证明。现在我们来讨论一下运用数学归纳法在不等式证明中的应用。
4.数学归纳法在数列中的应用。数学归纳法是我们在解答各类数学题中较为常见的一种方法，在解决数列问题中也有广泛的应用。用数学归纳法解决数列问题看似复杂，其实它是通过“归纳——猜想——证明”这样的一个解题过程，先假设一个数列的前项满足猜想的结果，进而对第项进行证明，推出第项也满足猜想的结果，进而给出结论。
参考文献
[1]郑毓信 数学方法论入门[M].浙江：浙江教育出版社，2006，102-113。
[2]宋家彬 浅谈数学归纳法在解题中的运用[J].成功（教育版），2009，140。
[3]邓辉文 离散数学[M].北京：清华大学出版社，2006，87-102。
[4]霍元极 高等代数[M].北京：北京师范大学出版社，1990，110-119。
[5]黄忠裕 中学数学思想方法专题选讲[M].成都：四川大学出版社，2006，71-84。
[6]黄翔 数学方法论选论[M].重庆：重庆大学出版社，1995，215-223。
[7]王品超 高等数学新方法（下册）[M].中国矿业大学出版社，2003，46-62。
[8]姜春晓 张红青 浅谈数学归纳法在中学数学中的应用[J].中国校外教育报，2012，63-69。
[9]张莉 贺孝贤 数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），1999，102-106。
[10]叶立军 数学方法论[M].浙江：浙江大学出版社，2008，66-84。
论文作者:折小妹
论文发表刊物:《教育学》2019年1月总第166期
论文发表时间:2019/1/23
标签：归纳法论文; 数学论文; 自然数论文; 命题论文; 不等式论文; 数列论文; 式子论文; 《教育学》2019年1月总第166期论文;