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中国学生在国际大型数学学业水平测试和数学奥林匹克竞赛中的表现远远超出其他国家的学生。自1986年以来，中国队已累计13次获得国际奥林匹克数学竞赛团体总分第一名，成绩的骄人是举世公认的。中国学生在1989年公布的IAEP(International Assessment of Education Progress)数学测试中的平均正确率为80%，20个国家中名列第一；但在科学测试中的表现却很是不佳，平均正确率只有67%，在20个国家中名列15（科学测试的内容包括物理、地球、生活科学和科学本质）[1]。数学成绩的优秀和科学成绩的不尽如人意让人迷惑。国内数学教育界也清醒地认识到了成绩背后的问题：我们的学生在运用数学知识解决实际问题和自己提出问题等方面的意识和能力均很薄弱。究其原因，我们的学生可能并没有真正理解所学的知识，理解不总是可以由分数反映的，理解远远不止于会计算。
概念理解[2]的研究显示：表征与应用是判断学生对某个数学概念是否理解的重要证据。表征是指学生对概念的描述和表示；应用是指学生运用这个概念去解决问题。调查正是针对这两项对学生进行考查的，通过测试问卷调查初中6～8年级学生对与有理数有关的知识的掌握情况，了解学生是否真正理解所学知识，是否能用自己的话描述所学的内容，是否能将所学的数学知识应用到实际生活中去，是否能够解决实际问题、自己提出问题。受试者为上海市浦东新区某中学六年级、七年级和八年级的学生共232人。其中六年级90人，七年级73人，八年级龄人。该中学是上海市一所公办普通初级中学，教学质量属区中等水平，学生总体成绩一般。
一、测试题目及选题原因
测试卷共设置了3道题目，如下：
1.(1)计算
。
本小题主要考察学生的基本计算能力，是现在学校考试常用的考题形式，要求学生给出计算过程。
(A)是对的(B)是错的(C)其他
如果你选A，认为李明的方法是对的，那么请你用李明的方法完成下面计算：
。
如果你选B，认为李明的方法是错的，那么请说明为什么他是错的。
如果你选C，对李明的方法有其他看法，那么请说明你怎么看，你的理由是什么。
本小题考查学生对异于书本上的算法的接受程度，间接地可以了解学生理解有理数运算的程度。本题的形式是新的，要求学生对题目所提供的方法给出自己的评价并说明理由。
2.某村为改善生活条件，决定修建一条长2510米的水渠。工程进度：第1组每天挖120米，第2组每天挖80米，第3组每天挖100米，三组同时挖，完成该工程需要多少天？
本题提供现实的情景给学生，是一道数学应用题。研究者在这道题中设置了陷阱：直接计算得到的答案是
天，化成小数形式为8.36。研究者要考查学生是否有将数学计算结果与问题答案实际意义相结合的意识。能否顺利得到正确答案8天半或9天。
3.(1)请你编一个生活中的问题，而这个问题的解决要用到
：______________。
(2)请你编一个生活中的问题，而这个问题的解决要用到-5：__________。
(3)请你编一个生活中的问题，而这个问题的解决要用到×(-5)这个式子：__________。
本题的(1)(2)问较为简单，教材上都有涉及到这些方面的内容，设计(1)(2)问的主要目的是引导学生回答第(3)问，该题考察学生的表征能力及是否主动思考过数学学习与实际生活的联系。
二、结果及分析
调查共发放问卷232份，回收问卷232份，有效问卷232份。
1.对测试题一的调查结果及分析
表1 各年级学生对问卷测试题一的完成情况统计对比
由表1看到：各年级学生计算
的正确率都很高。整理问卷时，研究者还注意到学生计算该题所用的方法是一致的，所有计算正确学生的计算过程均为
，而这正是教材[3]上介绍的分数除法运算法则。
认为李明的方法是正确的21名学生中（六年级2名，七年级8名，八年级11名），仅有七年级的1名和八年级的2名学生能够用李明的方法计算出
的结果。
七年级学生的计算过程为：
大多数同学认为李明的方法是错误的（六年级83.3%、七年级64.4%、八年级75.4%）。当询问理由时，研究者得到的答案多数是：与书上的方法不同，与老师教的方法不同。（如表2）
表2 认为李明的方法是错误的理由及百分比
例如：“老师既然说了方法，就一定是最简便的方法，所以（李明的方法）是错的。”
“因为他不按照正确的方法去做，虽然有时碰巧能对了，但大布份（部分）是不行的。”
“因为分数除以另一个分数=分数×另一个分（数）的倒数，李明没有这么做。”
“李明的概念不够清楚，将分数的乘法与除法搞混了，应该乘以倒数。”
“老师不是这样教的，我是好孩子，听老师的。”
由上可见，尽管计算的正确率很高，但能正确认识李明的方法的人却很少，能掌握李明的方法并利用其方法完成计算的人更是少之又少。不过，随着年级的升高，肯定李明的方法的人数在年级中所占的比例在增加，学生似乎渐渐有了一种判断是非的“直觉”。但大多数学生还是表现出了对新方法的不接受，严重地依赖教师，依赖教材。
数学教学包括两种类型的活动：概念的教学和过程的教学[4]。所谓过程，就是具备了可操作性的法则、公式、原理等，称之为“程序性知识”。程序性知识是动态的，它包含了为解决问题而采用的一系列不同的步骤和策略。在运用前人的经验和大量实验的基础上，顾泠沅(1981)针对程序性知识的教学提出了“过程性变式”教学法。“过程性变式的目的在于建立学习对象与学习者已有知识的内在合理联系。”[4]“通过使用过程性变式，学生可以理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们。”[4]
分数的除法就是一种程序性知识，它有可操作的法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。一方面，教师可以首先提供给学生这一最简便的解决策略，但应在之后通过变式教学使学生接触到更多的解决策略。否则，对于分数除法的计算，学生可以完成得很好，并且以为自己已经理解了老师所教的内容，但实际上，学生的理解只是停留在计算的层面上，他们仅仅是牢牢地记住了“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数”这句法则。当出现新的任务时，学生就可能不知如何是好。万一学生忘记了这句法则，任务的解决也会失败。另一方面，教材上的分数除法法则仅仅让学生认识到分数除法是分数乘法的逆运算，使分数的除法与学生已有的分数的乘法知识建立起联系，如果教师能够提供更多的策略，就可以使分数的除法与更多的学生已有知识发生联系（例如七年级学生的计算方法就联系了“分子分母同时乘以一个非0的数，分数的值不变”），学生的知识网络越来越大，解决问题的能力也会随之提高。
2.对测试题二的调查结果及分析
这一题各年级的调查结果统计对比如表3。
表3 各年级学生对问卷测试题二的完成情况统计对比
其中，学生将该题“完全做错”是指无法列出2510÷(120+80+100)或(120+80+100)x=2510等数学式并得到
，8.36，8.37等结果，“做对”是指能够得到以上式子和结果。“完全做对”是指学生能够最终得到8天半或9天的答案。
由以上统计数据，可以看到：
列出2510÷(120+80+100)或(120+80+100)x=2510等数学式并得到，8.36，8.37等结果的学生并不少，而真正能够顺利得到正确答案8天半或9天的学生却并不多。这显示出学生将数学计算结果与问题答案的实际意义相结合的意识很弱。许多学生会“做”数学，而不会“用”数学。在教学中，学生虽然天天与数学打交道，但课堂上的数学却无法回归到生活中去。
3.对测试题三的调查结果及分析
对于这一测试题的(1)(2)问，各年级学生的回答普遍较好。学生对第(3)问的回答则不尽如人意，尽管有些学生的回答中涉及到“方向”、“气温”、“欠钱”、“海拔”、“水位”等内容，但是除一位学生外（“一辆汽车向西行驶为负，如果它向东行驶每小时为-5千米，那么小时，在东面几米处？”），大都无法表述清楚，这可能与他们的语言表达能力有关。
类似于这种回答的，六年级有16人，七年级有23人，八年级有14人。可见，对学生而言，数学在生活中的应用，仅仅是在“数学生活”中的应用，是在数学课堂，数学作业中的应用，学生的数学学习与实际生活仍然有一定距离。总之，学生对算式的表征、根据算式提出实际问题的能力远低于其计算算式的能力。
实际上，在接受教师提供某个概念之前，学生自己的头脑中也存在着对于该知识的“前概念”或称为“迷思概念”[2]。这些“前概念”属于学生已有的认知结构。“前概念”经常会与正确的概念发生冲突，教师的任务是通过教学纠正学生已有的错误的、不精确的认知。但如何判断学生的认知已被纠正？由于“前概念”往往是学生通过日常生活经验和观察得来的，所以最好的检验方法就是回到生活，让学生用新学的概念去描述生活或用生活去解释概念，通过学生对知识的表征和应用对学生理解与否做出判断。
仅仅考查学生的计算结果是否正确并不能检测学生是否理解了知识。对学生数学学习的评价，要关注学习的结果，更要关注学习的过程。我们建议教师创设问题情境，通过各种方式来了解、分析学生的思维过程，鉴别他们的理解活动是否属于真理解。