论核心数学概念及其教学，本文主要内容关键词为：核心论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、核心数学概念
美国课程专家埃里克森（Erickson）认为，核心概念（Key concept）是指居于学科中心，具有超越课堂之外的持久价值和迁移价值的关键性概念、原理或方法.这些概念具有广阔的解释空间，源于学科中的各种概念、理论、原理和解释体系，为领域的发展提供了深入的视角，为学科之间提供了联系.戴伊（Day）指出，核心概念是某个知识领域的中心，虽然不是所有人都接受了这些知识，但它们却获得了广泛的应用，而且这些知识还能经得起时间的检验.费德恩（Feden）认为，核心概念是一种教师希望学生理解并能在忘记其非本质信息或周边信息之后，仍然能应用的概念性知识.总而言之，核心概念是位于学科中心的概念性知识，包括了重要概念、原理、理论等的基本理解和解释，这些内容能够展现当代学科图景，是学科结构的主干部分.
众所周知，数学概念最重要的特征是它们都被嵌入在组织良好的概念体系中.数学的逻辑严谨性主要体现在数学概念的系统性上，后继概念大多是前概念基础上的逻辑建构，个别概念的意义总有部分来自与其他概念的相互联系，或出自系统的整体特征.在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切地联系，符合上述核心概念的特征，我们称这些概念为核心数学概念或本源数学概念（root concept）.关于核心数学概念的特征，从学科角度看主要有：（1）在数学内部具有广泛的联系性；（2）对数学发展具有奠基性作用和持续影响.从数学学习角度看：（1）是一个意义丰富的认知根源，在此基础上，通过较简单、方便的认知扩充策略，不必进行认知重构就能得到数学认知结构的基本发展；（2）在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用.如函数概念就是最典型的例证.
二、核心数学概念的教学
在新课程理念下的课堂教学中，核心概念理应成为课堂教学目标之一.在制定教学目标的过程中，教师需要思考：核心概念之间的联系，核心概念与原有概念之间的联系以及核心概念与其他相关概念之间的联系.对于每一节课来说，教师还需对核心概念进行细化，将上位的核心概念拆分为一系列较为具体的概念.
由于核心数学概念具有一般概念所不具备的基础性和生长性，因此，核心数学概念的教学，除了遵从一般概念的教学要求，还有其自身的特殊要求.其中，最关键的是要树立“整体观”和“系统观”.要以核心数学概念为“纲”，将相关概念统整为一个网络系统，达成“纲举目张”之效.这就是说，核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡.这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用（新知识的诠释、旧知识的翻新）等，也要突出概念形成的过程性.特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程.
在核心概念教学中，教师应在分析概念特性的基础上，选择适当的素材，设计恰当的问题情境，使学生在经历概念发生发展的过程中，认识概念的不同特征，通过概念的运用训练，使学生掌握根据具体问题的需要改变认识角度、反映概念不同特征的方法，进而有效地应用概念建构原理和解决问题.核心概念学习的最终结果是形成一个概念系统.学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步建构一个概念网络，网络的结点越多，通道越丰富，概念理解就越深刻.为此，在核心概念教学中需要对概念进行学术解构和教学解构.学术解构是指从数学学科理论角度对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析，包括概念的内涵和外延、概念所反映的思想方法、概念的历史背景和发展、概念间的联系、地位作用和意义等.教学解构是在学术解构的基础上，对概念的教育形成和教学表达进行分析，重点放在概念的发生发展过程的解析上，包括对概念抽象概括过程的“再造”、辨析过程和概念的运用等，其中寻找精当的历史案例来解释概念是一件具有创造性的教学准备工作.
此外，教师还要重视教学评价.为了使课堂教学采取有意义的方式完成，评价必须考查学生对核心概念的掌握和理解.学生对概念的理解主要表现在两个方面：一是概念之间的关联；一是新的情境下概念的应用.评价应着重考查关联与应用.若完全使用判断、选择、填空等封闭式客观题，无论学生的回答如何，都很难测查出学生的真正想法，对于教师来说，不了解学生的真正想法，就很难在教学过程中基于学生已有知识帮助学生建构知识框架，更谈不上帮助学生去修正、改变和完善学生头脑中已有的相异概念.因此考查学生对核心概念的理解，必须采用含有一定情境的开放式方式，如访谈、简答、任务报告、绘制概念图、真实情境下的问题解决等.
三、基于历史探究的核心数学概念教学
如上所述，在核心数学概念教学中，既要注重对数学概念的逻辑结构的分析，又要重视概念形成过程的思维过程的分析.只有这样才能做到核心数学概念的逻辑形式与概念形成过程的思维过程（即概念所反映的对象的历史发展过程）相统一，其本质就是数学的内容与思想方法的统一.
基于历史探究的核心数学概念教学是教师对数学概念进行解构，其根据是按照数学史上该概念形成的几个关键特征进行分析，探索学习者在学习此概念时可能存在的障碍；然后对这几个特征进行重构，其标准是按照每一个特征的难易程度进行序列化，重新组织概念教学进程；在重构的基础上实施教学，教学过程中让学习者亲历概念形成几个关键时期数学家对于该概念的探究活动，同时教师进行引导和点拨，从而学习者完成自组织突变的一种教学模式.基于历史探究的核心数学概念教学模式就是要让学生做到“读、做、悟、创”.即学习者通过阅读、学习典型数学史料，感知核心数学概念的发现历程，理解科学发现的艰难曲折的过程.学习者通过“亲历”和“重演”历史上数学家们的探究活动，建构相关数学概念，深刻理解数学概念；通过反思所经历的探究活动，体悟数学的人文精神；通过现实应用，创新设计探究数学概念的思路和步骤，超越数学家，体验数学探究的成功喜悦感.
参照美国学者杜宾斯基（Dubinsky）等人发展起来的APOS（操作—过程—对象—概型）理论，我们给出基于历史探究的核心数学概念教学模式.
1.操作（Action）阶段——引入概念
概念的引入应充分考虑学生身心发展特点及认知规律，体现直观性原则、可接受性原则以及返璞归真原则.从认知科学的角度来看，此时学生对数学概念的学习处于“活动或操作”阶段.教学中，应从具体历史情境或数学自身发展的内在矛盾中引入新概念，通过“历史活动”的再现让学生亲身体验，感受概念的背景以及概念间的关系，并通过恰当的历史实例进行组织整理、分析归纳、分类抽象，以帮助学生直观地形成定义，实现“从完整的表现蒸发为抽象的规定”.借助“历史探究”，激发学生的学习兴趣、强烈的求知欲以及创造力；激发学生努力超越旧观点的局限，构建新理论的信心和内在驱动力.
2.过程（Process）阶段——概括概念
概念的概括，也称概念的定义，即通过已知概念明确未知概念的内涵.教学中应充分发挥学生主体的能动性，给学生营造一个“创造、发现”的心境，再造心智活动过程.从认知角度来看，学生通过对前一阶段的“历史活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，分析比较数学发展史上该概念在不同时期、不同地域的定义方式，进而总结出概念的一般定义.
3.对象（Object）阶段——分析解剖概念，揭示概念的关系
“对象阶段”是通过对核心概念演化发展过程中相关史料的分析、抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在后继学习中以此对象去进行新的活动.当概念进入对象状态时，便呈现出一种静态结构关系，有利于整体把握其性质，并可转变为被操作的“实体”.
4.概型（Scheme）阶段——进一步揭示概念的关系，概念的运用
“概型阶段”的形成要经过长期的学习活动来完善.最初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式.教学中，应通过揭示数学概念的关系，并在概念的运用中加深对核心概念的理解和把握，从而更深刻地理解概念，形成数学意识，以及分析、解决实际问题的能力.
四、案例分析
数学史料的呈现与分析对数概念的起源可追溯到公元前300年，阿基米德注意到了下面两个数列.
0，1，2，3，4，5 …… （2）
并研究了这两个数列的特征：两个数列之间存在一一对应关系；数列（2）的两项之和与数列（1）相对的两项之积刚好对应，如2+3=5，对应
1484年法国数学家舒开注意到了上述两数列的关系特点.特别是1544年德国数学家斯蒂费尔在《整数算术》中指出：等比数列的各项相乘，可以简化为用等差数列与它对应项的加法来代替乘法运算，并且等比数列各项的除法、乘方、开方的运算，同样可以用等差数列的与它对应项的减法、乘法和除法来代替.斯蒂费尔关于等差数列与等比数列对照的想法相当于解指数方程.他曾解过形如
的方程.
但是真正深入研究直至给出对数定义还是后来的事.瑞士的钟表匠布尔吉，苏格兰人约翰·纳皮尔，英国的布列格各斯以及荷兰数学家弗拉哥都曾对对数的研究作出贡献.布尔吉的《等差数列表》发展了斯蒂费尔的方法，并选取更为合适的数列，如：
等差数列：0，10，20，…，10n，…
纳皮尔把等比数列的各个项称为“数”，把等差数列和各项称为“对数”，并于1614年发表了《奇妙的对数表的说明》，因此取得对数发明权.但是，直到18世纪数学大师欧拉才给出了对数的一个不太完整的定义：
至此，数学家才真正开始步入对对数的本质的研究，逐渐建立起了对数理论，同时为后来的对数函数研究奠定了奠础.
教育观测 对数的发展史告诉我们，对数思想的起因源自实际需要.对数概念的产生从阿基米德、舒开、斯蒂费尔到纳皮尔《奇妙的对数表的说明》的问世，人类思维经历了一个由具体形象到形式抽象发展的漫长过程.发现对数的思维切入点在于对数列特征的研究.从数列到对数是数学思维的一次重大迁移，它包含了思维中的类比、推广和归纳.对数思想的实质可以从两个数列之间的对应关系加以认识.
教学启示 现行教材对对数的处理是建立在指数基础上的.这种处理方式无论从教材的系统性还是从理论内在的联系性考虑都是合理的.但教学中也容易出现以下几个问题：
第二，尽管可以用指数解释对数的来源，但这样处理有简单化的倾向.人类经过千百年的漫长探索和研究才逐渐形成了对数概念及其运算方法，这反映出人们对对数的理解存在不小的难度，前人如此，学生也应是如此.因此应考虑在教学中基于等差数列和等比数列的对比关系来引入对数概念，这既符合对数的历史发展过程，也能使对数概念的教学更加自然，最为重要的是有助于学生理解对数的本质.