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一、引言
保险产品定价法已经由发展初期的净保费附加法(Cost Plus)发展为目前的现金流量定价法。
现金流量定价法的指导思想是在定价时预测某一险种在未来资金的流入和流出，并据此反映该产品逐年赢利变化情况。根据预先设定的利润目标，不断调整保费使得利润符合目标，满足该目标的保费也就是最终保费。更具体的，该过程可以描述成：先找到一个初始保费，它可以净保费，也可以是净保费附加法产生的保费或其它数值，这并不要紧，然后将其代入以下之流程图中：
收入：保费收入＝总投保人数×人均保费
投资收入＝（年初责任准备金+保费收入－费用、赔付等）×投资收益率
支出：（各项费用）
（保险赔付）
（退保及到期给付）
（责任准备金的增加值）＝（年末责任准备金－年初责任准备金）
净利润＝收入－支出
根据寿险产品具体的投保年限，对未来各年的现金流量表作出预测，用产生的利润与事先确定的目标做比较。如果不同于利润目标，则调整初始保费，直至目标满足为止。以上便是现金流量定价的全过程。当然，对未来我们永远不可完全预测。因而该分析是建立在一系列假设之上的。既然是假设，就一定有不确定性存在，即未来的实际利润有可能偏离我们的目标利润。所以有必要对利润的稳定性进行分析。
现金流量定价方法优于净保费附加法的原因之一就是该方法允许计算利润的均值和方差。国外普遍应用的现金流量定价法针对的是同批人在不同期上的利润表现。即假设相同年龄的同一批人同时购买同一保险产品，这批人随着时间的推移，由于退保、死亡或保单终止等各种原因不断减少。精算师研究这一过程中所产生的现金流动及利润并制定价格，并研究该保费水平下对应的利润由于实际死亡率和退保率不同于假设所产生的不确定性。
这样的定价方法仍然存在着一些缺点，本文将着重讨论其在计算利润的均值和方差方面的不足。具体地讲，由于投资收益率对利润的多少起着重要的作用，它的稳定性直接影响到利润的稳定性，因此，忽略投资收益率而进行的利润方差计算是不完全的。文章将致力于如何将投资收益率的波动性引入利润均值和方差的计算。
为实现这一目标，文章分成以下几个部分来论述：
第一部分，介绍目前所使用的现金流量法定价过程及相关的利润均值方差计算公式。
第二部分，将投资收益率的波动性引入，对利润的均值和方差进行更深入的研究。
第三部分，利用实际数据对前文中的结论进行计算示意。
第一节 传统现金流量分析和利润的计算
传统的现金流量分析法针对的是同批不同期人，即在同一批人从购买保单开始到由于退保、死亡或保单终止等多种原因离开保险公司的过程中，根据利润＝保费收入+投资收入－费用及保险赔付－责任准备金的增加，来调整保费实现预定目标。对于寿险产品（本论文讨论的寿险产品，如果不加特殊说明，都是指死亡险，并且没有任何附加险种），现金流量分析要考虑的因素可以包括：
死亡率q[d,x,t]，利息率i[,x,t]、费用expen[,x,t]、退保率q[w,x,t]、现金价值CV[,x,t]，保单分红Dividend[,x,t]，责任准备金V[,x,t]、折现率d[,t]、保额DB[,x,t]和利润目标。
其中x为投保年龄，t为保单年度。
假设保费为年初交纳，费用在年初发生，退保在年末发生，死亡连续均匀分布在一年中。
以下是现金流量分析的几个概念：
prem[,x,t]：投保年龄为x岁的人在第t年年初的保费额。
AS[,x,t]：投保年龄为x岁的人在第t年年末对应的资产份额，它表示第t年末该投保人在保险公司所拥有的资产值，其具体推导过程如下：
AS[,x,0]=0
p[,x,t]AS[,x,t]=(AS[,x,t-1]+prem[,x,t])(1+i[,t])-SD[,x,t] (1)
SD(Sum of Decrement)：各减因素之和
其中SD[,x,t]=expen[,x,t](1+i[,t])+DB[,x,t]·i[,t]/δ[,t]·q[d,x,t]+CV[,x,t]·q[w,x,t]+Dividend[,x,t](1-q[d,x,t])
p[,x,t]=1-q[d,x,t]-q[w,x,t]
δ[,t]=ln(1+i[,t])
i[,t]/δ[,t]≈1+i[,t]/2，为一元钱在一年连续支付时在年末的累计值：
（证明见附录1）
定义Surplus[,x,t]为第t年度末的自由资本，对保险公司的意义是在满足了投保人责任后可供公司自由支配的资本。
Surplus[,x,t]=AS[,x,t]-V[,x,t]
定义Profit[,x,t]为保单在第t年度产生的盈利。其意义是t年度到t+1年度自由资本的变化值。
定义
PVP[,x]=PV(Profit)=∑[,t]p[,x]/(1+d)[t]·Profit[,x,t] (5)
公式5的意义是年龄为x的投保人在今后各保单年度的利润贡献的精算现值之和。其中d是折现率，假设各年相等。
最基本的现金流量分析就是对同批人不同期的分析。其基本思想是假设l[,x,0]个年龄为x的投保者，由于死亡及其他原因，保单逐渐减少。保险公司逐年预测他们的现金流动状况，分析利润的产生，依据预定利润目标来调整保费。
先从公式推导入手，假设所有的投保人不会因死亡及退保以外的原因退出保险公司，保单为非分红类型，即Dividend[,x,t]=0。公式(4)成为：
常用的利润目标有：
(1)在目标内部收益率IRR下，使得
PVP[,x]=∑[,t]p[,x]/(1+IRR)[t]·Profit[,x,t]=0
(2)几年后，有AS[,x,n]=V[,x,n]或AS[,x,n]=T,T为n年后资产份额的目标值。
利润目标确定后，满足目标的保费就可以通过一定的方法解得。（详细过程请参看文献5）从而该保费水平下利润的均值和方差可以通过以下过程计算。
假设保单为非分红类型，即Dividend[,x,t]=0。根据公式(6)定义：
生存利润
PS(i[,t])=(V[,x,t-1]+prem[,x,t]-expen[,x,t])(1+i[,t])-V[,x,t]
它是保费、t-1期的责任准备金及利息并扣除费用和第t期责任准备金的差额，一般为正值。
死亡利润
PD(i[,t])=(V[,x,t-1]+prem[,x,t]-expen[,x,t])(1+i[,t])-DB[,x,t]·i[,t]/δ[,t]
它是保费、t-1期的责任准备金及利息扣除费用和死亡赔付的差额，一般为负值。
定义退保利润
PW(i[,t])=(V[,x,t-1]+prem[,x,t]-expen[,x,t])(1+i[,t])-CV[,x,t]
它是保费、t-1期的责任准备金及利息扣除费用和退保金的差额，通常起始几年可能为负，随投保年数的增加会逐步成为正值。
在传统的方差计算中，以上公式中确定的因素即保险公司在某些程度上可以决定的因素被认为是：
(1)保费(prem)；
(2)责任准备金(V[,t])；
(3)费用(expen)；
(4)投资收益率i[,t]；
公式中不确定的因素有：
(1)死亡率(q[d,x,t])；
(2)退保率(q[w,x,t])；
因此，传统的利润均值和方差计算公式是：
D[,0]=1
D[,t]=D[,t-1]/(1+d)，其中d为折现率
PS、PD和PW分别为生存、死亡和退保利润
Var(PVP)=E((PVP)[2])-(E(PVP))[2]
（以上方法见文章参考文献5）
上面的计算将PVP看作是服从以
的概率等于pvprofitd[,x,t],pvprofitw[,x,t],pvprofitd[,x,n]的分布。而将投资收益率i[,t]简单地看作确定性因素，这显然是有一定问题的，因为投资收益的多少取决于许多外界因素而非公司单独可以确定的。但是从pvprofitd[,x,t]等公式中可以发现投资收益率的作用非常复杂，因此我们必须从新的思路出发将投资收益率的波动性考虑到方差计算中去。
第二节 考虑投资收益波动性的均值和方差
在这节的开始，先简单对投资收益率做一些定义。
假设第t期投资回报率E(i[,t])=i[′,t],Var(i[,t])=δ[′2,t]
i[,t]一般根据未来的投资政策和宏观经济形势而预策，
δ[′2,t]可由未来宏观经济的确定性和投资策略的风险系数决定。如果未来宏观经济不会出现大规模变动，市场投资回报率平衡变化，通货膨胀率稳定而公司投资于传统市场或风险低的市场，δ[′2,t]会小一些，反之δ[′2,t]会大一些。
既然很难利用上节的公式将投资收益的变动性直接引入利润精算现值PVP的均值和方差计算中去，那么我们不妨换一种计算思路，即从每期的利润入手，通过每期的利润再算总利润精算现值的均值和方差。具体计算过程和证明如下。
令生存利润PS(i[,t])=X[,1]+Y[,1]i[,t]
令死亡利润
PD(i[,t])
=(V[,x,t-1]+prem[,x,t]-expen[,x,t])(1+i[,t])-DB[,x,t]·i[,t]/δ[,t]
≈(V[,x,t-1]+prem[,x,t]expen[,x,t])(1+i[,t])-DB[,x,t]·(1+i[,t]/2)
=X[,2]+Y[,2]i[,t]
（所使用近似的证明在附录1中）
令退保利润PW(i[,t])=X[,3]+Y[,3]i[,t]
以上字母的定义在附录2中。
我们发现计算每个t期初的投保人对应的第t期利润的期望与方差要比计算我们熟悉的每个t期末的投保人对应的第t期利润的期望与方差简单得多。因此定义pp[t-1,x,t]为每个t期初的投保人对应的第t期利润，它将成为今后讨论的重点。
由公式(6)知
E(pp[t-1,x,t](i[,t]))
=p[,x,t]·PS(i[,t])+q[d,x,t]·PD(i[,t])+q[w,x,t]·PS(i[,t])
则第t期总利润变量：
TP[,x,t]=1[,x,t-1]pp[t-1,x,t]
pp[t-1,x,t](i[,t])服从如下分布，
由于
所以
E(pp[t-1,x,t])
=E(p[,x,t]PS(i[,t]))+E(q[d,x,t]PD(i[,t]))+E(q[w,x,t]PW(i[,t]))
=p[,x,t](X[,1]+Y[,1]i[′,t])+q[d,x,t](X[,2]+Y[,2]i[′,t])+q[w,x,t](X[,3]+Y[,3]i[′,t])
=A+Bi[′,t](7)
以上字母的定义在附录2中。
当投保人群足够大时，第t期利润特征可以描述成为：
应该注意的是这里的l[,x,t-1]pp[t-1,x,t]是指l[,x,t-1]个投保年龄为x、保单年龄为t的投保人在t期的总利润，并假设l[,x,t-1]个投保人相互独立，它并不表示l[,x,t-1]与pp[t-1,x,t]简单的乘积关系。这种表示在下文中也适用。
但是保险公司关心的往往不只是一期的利润波动，作为这批同时投保的人来说，保险公司还关心作业为整个投保群体，他们通带给公司的总利润，即各期利润的精算现值，这是一个较以上计算更复杂的过程。这也是第一节介绍的传统利润均值和方差的研究对象。
回忆公式(5)：
PVP[,x]=∑[,t=0t]p[,x]1/(1+d)[t]·Profit[,x,t]
d是折现率，通常由公司来决定而不是随机值。如将来的利润获得自信度高，则d会取较小值；反之若将来利润波动性大，保险公司觉得不确定，则d取之较大值。
为进一步计算，将(5)化为：
（证明在附录4）
以上的公式虽然看起来极为繁琐，但它解决了长期以来都未引入分析、但极为重要的投资因素。通过计算机，繁琐的公式能很快得到简单的答案，从而利润的波动性也取得了较精确的规划。
参考文献(5)所使用的方法。该方法只考虑PVP[,x]的均值方差并无法引入投资收益率的变动。笔者采用新的思路从每期的利润变动推起，引进投资因素，最后得到PVP[,x]均值方差的精确表示。通过这样的分析，我们不仅可以知道每批人对利润的总贡献分布，还可以了解每批人在每期的利润贡献的分布，而后者在某些情况也许更重要。因此，笔者认为这在方法上是一个改进。
第三节 利用实际数据的计算示例
背景：
保险产品：非分红终身寿险产品，保险金在死亡时给付。终身恒定保费，年初支付。投保人只能由于退保或死亡脱离保险公司，无任何附加险种。
投保年龄：20
投资收益率：3%
目标内部收益率：10%
生命表：CL90-93
责任准备金计算方法：净保费法
E(i[,t])=3%,Var(i[,t])=1%
折现率d=8%
退保率、现金价值及费用为假设数据
表1 现金流量计算初步的数据准备
时间 累计生存率 生存率 死亡率 退保率
t tPxPtQt(d)Qt(w)
1
0.8492220.8492220.000778 0.150
2
0.7848650.9242170.000783 0.075
3
0.7253870.9242190.000781 0.075
4
0.6704270.9242330.000767 0.075
5
0.6196410.9242490.000751 0.075
6
0.5727100.9242610.000739 0.075
7
0.5293400.9242720.000728 0.075
8
0.4892550.9242740.000726 0.075
9
0.4522040.9242700.000730 0.075
10
0.4179530.9242570.000743 0.075
表2 资产价值的计算
时间 资产份额 保费 保险金 现金价值 费用投资收入 资产份额
t ASt-1 Premt
DBt
CVtExpentIt
ASt
1010.69
1000 6.058.020.07 1.24
2 1.24
10.69
100012.424.810.20 6.07
3 6.07
10.69
100019.133.210.39 12.69
4 12.69
10.69
100026.202.140.63 20.70
5 20.70
10.69
100033.651.070.90 30.24
6 30.24
10.69
100041.481.071.18 40.24
7 40.24
10.69
100049.711.071.48 50.73
8 50.73
10.69
100058.351.071.80 61.72
9 61.72
10.69
100067.401.072.13 73.23
10 73.23
10.69
100076.881.072.47 85.28
表3 利润的计算
注*：此列是为了验证在该保费水平下利润以IRR折现折现值为零。
通过表1至表3的计算步骤，我们可以得到10.69是符合利润目标的最终保费。
表4 保单的生存、死亡、退保利润
时间 生存利润 死亡利润退保利润
t PS(It)PD(It) PW(It)
1 -3.97-1012.25 -3.30
2 -0.67-1002.02
0.56
3 0.97 -993.23
2.64
4 2.05 -984.77
4.03
5 3.13 -976.07
5.28
6 3.12 -968.22
5.30
7 3.10 -960.12
5.17
8 3.09 -951.75
4.90
9 3.09 -943.13
4.46
10 3.10 -934.25
3.87
表5 pp[t-1,x,t]方差的计算
t X[,1] Y[,1] X[,2]Y[,2]X[,3] Y[,3]
1 -4.05
2.67 -997.33 -497.33 -3.38 2.67
2 -1.05 12.60 -987.40 -487.70 0.18 12.60
3
0.34 21.14 -978.86 -478.86 2.00 21.14
4
1.17 29.35 -970.65 -470.65 3.15 29.35
5
2.00 37.80 -962.20 -462.20 4.15 37.80
6
1.75 45.42 -954.58 -454.58 3.94 45.42
7
1.50 53.28 -946.72 -446.72 3.57 53.28
8
1.25 61.40 -938.60 -438.60 3.05 61.40
9
1.00 69.77 -930.23 -430.23 2.37 69.77
10 0.74 78.40 -921.60 -421.60 1.52 78.40
续前表
A
BC D E F
E(pp)Var(pp)
-4.732.28767.64772.70194.46
5.21-4.66 791.20
-1.73
12.21761.55771.91195.63 149.16-1.36 785.23
-0.30
20.75748.36763.96195.02 430.38 0.32 772.08
0.5828.97724.37744.98191.61 838.98 1.45 747.92
1.4437.42698.53724.01187.691400.23 2.56 722.00
1.2145.05675.60705.97184.522029.19 2.56 699.15
0.9752.92654.54689.86181.852800.46 2.55 678.38
0.7061.04641.61682.33181.483725.89 2.53 666.15
0.4269.41632.87679.39182.374817.60 2.50 658.41
0.1278.03631.60684.68185.576088.18 2.46 658.58
Var(PVP)=2708-0.542=2707
Lx,0 1000
E(TPVP 538.98
Var(TP 1618.462
*是根据参考文献提供的方法计算，作为对本文所应用的方法的比较，注意到他们的方法并没有考虑利率的方差，因而方差相差46.00
根据以上的计算过程，在已知保单总销售量的前提下，可以研究投保群体总利润现值的分布情况。
第四节 结论
到此，文章围绕如何将投资收益率的不确定性考虑到利润的均值和方差中展开了论述。该论文对传统方法的突破在于：
1.打破传统方法中只研究利润精算现值的均值和方差的限制，从每期利润的均值和方差入手，从而使得引入投资收益率的不确定性成为可能。
2.提出我们的研究对象应是pp[t-1,x,t]，即每个t期初的投保人对应的第t期利润，而不是我们熟悉的每个t期末的投保人对应的第t期利润。该定义大大的简化了推导工作。
3.推证了公式10，这也是本文最重要的结论所在。
随着我国对保险公司投资政策的进一步放开，投资收益率的波动性将进一步增加，引入了投资收益的利润方差的计算方法更具有现实意义。
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