长寿风险对保险公司年金产品定价的影响&基于块Bootstrap方法的实证分析_年金现值论文

长寿风险对保险公司年金产品定价的影响——基于区块Bootstrap方法的实证分析，本文主要内容关键词为：长寿论文,区块论文,年金论文,实证论文,保险公司论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、引言与文献综述

      20世纪以来，世界各国人口发展的最显著的特征，就是人类死亡率的持续下降导致的平均预期寿命的不断延长。目前，全世界有很多国家已步入了老龄化国家，我国也不例外。根据联合国的统计标准，60岁以上人口占总人口10%或者65岁以上人口占总人口7%的国家，称为老龄化国家。2000年，中国65岁以上老年人口比例达到6.96%。根据联合国的统计标准，我国已步入了老龄化国家的行列。

      对我国而言，这种持续的人口死亡率动态改善，不但会影响政府宏观政策的制定、社会资源的再分配政策，而且也带来了个人退休计划中的长寿风险（Longevity Risk）问题。年金化作为一种转移长寿风险的重要管理工具，无论是我国基于社会统筹和个人账户相结合的基本养老保险制度模式下的现行计发办法，还是商业保险公司开发的各种应对养老的年金产品，都会受到这种聚合性、系统性长寿风险的影响。一方面，目前我国基本养老保险在个人账户中仍采用固定的计发月数计算养老金待遇，并没有考虑长寿风险对未来养老金待遇模式的影响；另一方面，目前我国保险公司在开发年金产品时，仍采用中国人寿保险业经验生命表中的固定死亡率精算假设对年金产品进行定价。从理论上讲，参保人群死亡率的动态改善会导致保险公司年金产品价格被低估，进而导致责任准备金提取不足，势必会增加保险公司在年金产品上的经营风险。因此，长寿风险对基本养老保险体系的财务可持续性和保险公司年金产品的偿付能力都有着显著影响，合理量化我国基本养老保险体系、保险公司年金产品中蕴含的长寿风险已变得越来越重要。

      通过检索国内文献可以看出，在长寿风险量化研究方面，目前国内学者更多关注于保险公司年金产品定价和责任准备金评估中的长寿风险问题。在年金产品的定价方面，祝伟和陈秉正（2008）[1]基于中国人寿保险业新旧经验生命表（即CL2000～2003、CL1990～1993）数据，运用年金产品的精算定价方法，分析了新生命表中的死亡率改善对个人年金产品价格变动的影响，从价格被低估的角度来衡量寿险公司面临的长寿风险，并就我国寿险业如何研究和管理长寿风险提出了建议和展望。黄顺林和王晓军（2011）[2]运用在险价值（Value at Risk，VaR）方法探讨了长寿风险管理中的年金产品和寿险产品组合的自然对冲策略，基于对中国男性人口的死亡率预测，给出了保险公司自然对冲长寿风险所需的最优产品结构，并进一步考查了利率、签单年龄、缴费方式等因素对最优产品结构的影响。祝伟和陈秉正（2012）[3]在动态死亡率建模框架下，基于Wang转换方法，定量分析了长寿风险对个人年金产品定价的影响，并结合分析结果，对保险公司如何管理这一风险给出了相关建议。韩猛和王晓军（2013）[4]基于韩猛和王晓军（2010）[5]提出的改进后的扩展Lee-Carter随机死亡率预测模型，将年金合同定价问题与年金保单组的破产概率相结合，对我国个人年金产品中蕴含的长寿风险进行了实证研究。韩猛和王晓军（2014）[6]基于死亡率和利率双随机视角，再次深入研究了长寿风险对未来年金净保费的影响。一方面，在死亡率和利率双随机模型基础上，模拟了未来年金净保费的概率分布特征；另一方面，从年金购买者角度，分析了在存在长寿风险的条件下，现在购买延期生存年金比将来购买即期生存年金更便宜。

      与年金产品的定价研究相比，目前国内关于年金产品的责任准备金评估的研究相对较少。在这方面，谢漫锜和王晓军（2013）[7]采用1981～2009年中国人口普查和人口抽样调查统计的分年龄、分性别死亡率样本数据，通过对死亡率改善的分析，来探讨这种改善对定期寿险和定期年金两个基本险种的修正责任准备金变动的影响。孙佳美和刘志鹏（2014）[8]基于Lee and Carter（1992）[9]提出的经典Lee-Carter模型，分别在静态死亡率和动态死亡率框架下，借助蒙特卡洛（Monte Carlo）方法来模拟寿险公司的责任准备金分布，然后比较两种情况下寿险公司责任准备金风险的变化情况，并得出死亡率改善对寿险公司责任准备金的影响显著，建议寿险公司在产品设计中应考虑死亡率改善因素。

      近年来也有一些关于长寿风险量化的其他相关研究。王志刚等（2014）[10]采用Bootstrap方法将死亡率的均值估计拓展到死亡率的分布度量上，并以此为基础计算年金保单组现值的分布，度量了年金保单组长寿风险的风险价值及其资本要求。研究结果表明，虽然经营年金业务的保险公司为了应对长寿风险需要额外的资本准备，但中短期内这种资本要求并不高，保险公司可以通过增收保费和提高资本市场收益来满足相应的监管要求。

      综上所述，在量化长寿风险对年金产品定价和准备金评估的影响中，受限于无法获得保险公司参保人群的死亡率经验数据，目前的研究基本上都是基于中国人口普查和抽样调查的死亡率数据进行预测和定量分析。结合这些死亡率数据，一个最基础的量化工作就是构建随机死亡率预测模型。目前，国内研究主要集中于经典Lee-Carter模型及其各种扩展模型。本文给出了一种替换的死亡率预测方法——区块Bootstrap方法。我们首先系统梳理了区块Bootstrap方法，其次分别在单龄组数据和五龄组数据下，提出了基于重叠区块Bootstrap的死亡率预测方法，并给出了基于时期数据（Period Data）和出生队列数据（Birth Cohort Data）的年金精算现值的计算方法。在此基础上，结合1994～2012年分年龄、分性别的中国人口死亡率数据，应用区块Bootstrap方法对未来50年男性和女性人口死亡率进行了预测，并基于1000次Bootstrap再抽样，模拟得到了未来50年定期生存年金精算现值随机变量的预测分布，给出了相应的均值、标准差、分位数和50%、95%的置信区间，讨论了基于时期数据和基于队列数据计算结果的差异性及其这种差异随时间的变化趋势。此外，我们也对1994～2062年定期年金精算现值进行了利率敏感性测试。这些探索研究有望为费率市场化环境下保险产品精算定价及监管机制研究提供经验借鉴。

      二、区块Bootstrap方法

      自Efron（1979）[11]提出Bootstrap方法以来，经过三十多年来的研究积累和沉淀，目前该方法的理论研究已经取得了极大地扩充与发展，并被广泛应用于统计学、人口学、经济学和社会学等各个领域。谢益辉和朱钰（2008）[12]详细梳理了Bootstrap方法的基本思想、历史发展及一些较为前沿的研究方向，主要包括独立同分布数据的Bootstrap方法、基于模型的Bootstrap方法、带有块结构的Bootstrap方法（也称块状Bootstrap方法或区块Bootstrap方法）、基于筛（Sieve）的Sieve Bootstrap方法、基于傅里叶等变换的Bootstrap方法、马尔科夫（Markov）过程中的Bootstrap方法、长期相依过程中的Bootstrap方法和空间统计数据的Bootstrap方法。其中，独立同分布数据的Bootstrap方法最为基础，其余七种方法都可以视为是附加了某些特殊条件的基础Bootstrap方法的扩展。

      正如Singh（1981）[13]所指出的，统计数据在很多情况下并不能满足独立同分布假设，而是存在一定的相依结构，如纵向数据（Longitudinal Data）、空间聚类数据（Spatial Data Clustering），甚至更一般的多水平数据（Mutilevel Data）或分层数据（Hierarchical Data）等。具体来说，由于死亡率存在动态改善，分年龄、分性别的人口死亡率时间序列数据亦存在明显的相依结构。针对这种数据结构，若继续应用独立同分布的Bootstrap方法，则很可能会导致失败。鉴于此，Künsch（1989）[14]、Liu and Singh（1992）[15]分别独立提出了对带有相依结构数据的区块Bootstrap（Block Bootstrap）方法。

      对区块Bootstrap方法的基本思想和具体步骤的简要介绍。由于数据内部存在相依性，因此不能对单个数据点进行Bootstrap再抽样，否则这种相依结构就完全被破坏了。那么，在再抽样时必须要保证某一整“块”（Block）的数据放在同一个单元或区域中被抽取，这就是“块”的由来。

      假设观测样本数据个数为n，则区块Bootstrap方法的具体操作步骤可以描述为：首先，将n个数据点按照它们在样本中的原始顺序拆分为N个数据块，每块数据长度为l，①即

，这里N=n-l+1。其次，在拆分好数据之后，再抽样的对象就变成了这N个数据块。例如，由于每块数据长度为1，故从中抽取n/l个数据块，并将它们拼接在一起就可以形成样本量大小仍为n的再抽样数据。最后，对于基于区块的再抽样数据，我们仍可以应用独立同分布的Bootstrap方法去计算任何感兴趣的统计量的估计值和相应的近似分布。

      在实际操作中，块状Bootstrap方法的做法有很多种。例如，区块的部分可分为重叠的（Overlapping）或非重叠的（Non-overlapping），且每一个区块的长度可以是相同大小，也可以是任意的不同大小。其中，重叠的块状Bootstrap方法是指划分块状区间时，各区间之间可以相互重叠，这种方式一般适用于样本数据量较少的情况，相关文献可以参考Hall（1985）[16]、Künsch（1989）[14]的研究；非重叠的区块Bootstrap方法是指在划分块状区间时，各区间并不相互重叠，这种方式一般适用于样本数据量较多的情况，相关文献可以参考Carlstein（1986）[17]的研究。有关区块长度的探讨，我们可以参考Politis and Romano（1994）[18]的研究。块状Bootstrap方法的计算机软件实现仅仅是把抽样对象由单个数据点变成了数据块，再抽样方法与独立同分布数据类似。显然，块状Bootstrap方法的关键在于如何划分样本区间，或者说如何确定区间长度。通常我们可以根据研究问题的具体情况，选取合适的区间长度。此外，也可以预先设定几个不同的区间长度，通过比较各种不同区间长度下再抽样的估计结果，利用合适的统计检验指标选取最优的结果。关于这方面的文献，我们也可以进一步参考Hall et al.（1995）[19]的研究。

      需要说明的是，与基础Bootstrap方法一样，在无分布假设下，区块Bootstrap方法也可视为非参数Bootstrap方法，而在分布模型假设下，区块Bootstrap方法则可视为参数Bootstrap方法。

      三、基于重叠区块Bootstrap方法的死亡率预测

      由于目前我们仅可以获得近20年来的中国人口死亡率时间序列数据，鉴于统计数据的有限性，本文采用无分布假设下的重叠区块Bootstrap方法对中国人口死亡率进行预测。应用这种区块Bootstrap方法，我们可以把死亡率的变化趋势保存起来，且由于死亡率的变化趋势比较小，这里保存的是对数死亡率的变化趋势。显然，该方法并不局限于死亡率，也适用于其他任意时间序列数据或模型参数的趋势预测。例如，描述高龄人口死亡率的经典Gompertz模型中的参数B和参数C，Lee-Carter模型中的随机趋势项参数

等。此外，在再抽样分析时，采用无分布假设下的区块Bootstrap方法不但简单、易于操作，而且可以避免基于参数方法选取特定的概率分布的任意性。其特色在于，可以利用块结构将一系列的变化趋势储存起来，然后从块结构中随机抽取特定的块来做抽样分析。

      为了便于阐述，假设1994～2012年中国男性和女性人口的五龄组死亡率和单龄组死亡率都是已知的，②且由于应对养老的年金产品业务的投保年龄往往较高，因而这里考虑的年龄区间为50～89岁。该假设也适用于第四部分的实证分析。

      （一）死亡率符号定义及说明

      令

和

分别表示第t年、年龄为x岁的人在[x，x+1]岁之间的单龄组中心死亡率和单龄组条件死亡概率。其中，

也称为粗死亡率，采用如下方式进行估计：

      

      由于在年金产品的精算定价中使用的是死亡概率

，故有必要给出两者的换算关系。对于x∈[50，89]，在分数年龄服从均匀分布（UDD）假设下，

和

的换算关系可以表示为：

      

      类似地，采用

和

分别表示第t年、年龄为x岁的人在[x，x+5）岁之间的五龄组中心死亡率和五龄组条件死亡概率。显然，式（1）和式（2）的计算公式也适用于五龄组数据。

      （二）死亡率的重叠区块Bootstrap再抽样

      

      式（3）给出了连续五年的各五龄组的对数中心死亡率的变化矩阵。显然，这里假设区块长度l=5，即每个矩阵区块保存了连续5年的五龄组对数中心死亡率的一阶差分结果。由于死亡率数据区间为1994～2012年，由此我们可以获得14个重叠区块，即

。

      在此基础上，按照如下步骤得到未来50年（即2013～2062年）的中心死亡率的再抽样结果。

      （1）从14个

中随机抽取一个矩阵区块。通常来说，由于未来死亡率的变化趋势与最临近年份的死亡率的变化趋势的相关性更强，本文沿用杨晓文等（2006）[20]使用的抽样方法，即对于14个重叠区块

，年份越大的区块赋予更高的抽样概率，年份越小的区块赋予更低的抽样概率，即：

      

      也就是说，从式（4）所示的概率分布中随机抽取一个区块样本，并将其视为未来5年，即2013～2017年五龄组对数中心死亡率的一阶差分的再抽样结果。

      （2）基于2012年观测到的对数中心死亡率和步骤（1）中的一阶差分再抽样结果，采用递归方式，反推得到一次抽样下预测的2013～2017年的对数中心死亡率。

      

      

      （5）利用一次再抽样预测的

计算未来50年的定期生存年金精算现值

(t∈[2013，2062]），③以及2012年50岁的年金精算现值（

），④分别得到基于时期数据和队列数据的年金精算现值的一次预测结果。

      （6）重复上述步骤1000次，就可以得到时期数据和队列数据下，相应的年金精算现值随机变量的预测分布，进而得到各个分位数以及相关的分布特征。另外，在时期数据下，我们也可以绘制2013～2062年年金精算现值的50%和95%的置信区间的变化趋势。

      2.单龄组数据。类似五龄组数据的区块为8×5的对数死亡率变化矩阵，单龄组数据的区块为40×5的矩阵，其中

是50～89岁的单龄组死亡率，每年共40个数据，每个区块保存了连续5年的对数死亡率的一阶差分结果。

      在此基础上，随机模拟未来的死亡率以及年金精算现值的计算方法与五龄组数据类似，且不需要上述步骤（4）及相应的假设信息，处理起来更方便，这里不再赘述。

      （三）定期生存年金精算现值的计算公式

      在时期数据下，投保年龄为x、保险期限为n年的期初付定期生存年金精算现值的计算公式可以表示为：

      

      在队列数据下，投保年龄为x、保险期限为n年的期初付定期生存年金精算现值的计算公式可以表示为：

      

      其中，

和

为时期数据和队列数据下两种不同的年金精算现值公式，两者的差异在于使用的生存概率不同。⑤

      四、实证分析

      （一）数据来源

      本文根据1995～2000年和2002～2006年《中国人口统计年鉴》、2007～2010年和2012～2013年《中国人口和就业统计年鉴》以及《中国2000年人口普查资料》和《中国2010年人口普查资料》中全国分年龄、分性别的死亡人口状况表数据，得到1994～2012年共19年分年龄、分性别的粗死亡率（即死亡人数与年中人口数之比）数据。由于1996年死亡统计数据的年龄区间为[0，85+]，这里的85+表示将85岁及以上年龄合并为1个分组，其他年份的死亡统计数据的年龄区间大多为[0，90+]。鉴于此，本文采用Coale and Kisker（1990）[21]提出的死亡率分组扩展方法，将1996年85+扩展为85～89岁、90+。

      此外，由于大多数年份都没有统计细分90岁及以上各个超高龄人口的死亡率，而且不同年龄段选取的死亡率模型也可能存在差异。因此，在本文后续的实证分析中，我们考虑的年龄区间为50～89岁。

      （二）预测结果

      针对中国人口死亡率数据，采用重叠区块Bootstrap方法，依据第三部分给出的步骤进行未来50年的死亡率预测。在此基础上，为了量化系统性死亡率改善引发的聚合长寿风险对保险公司年金产品定价的影响，我们以预测50岁39年期期初付定期生存年金精算现值为例，结合式（5）和式（6）给出的时期数据和出生队列数据下年金精算现值的计算公式，详细给出两种数据下，年金精算现值的演变趋势。

      1.基于单龄组和五龄组数据的死亡率预测。图1～4分别给出了一次区块Bootstrap再抽样得到的未来50年，即2013～2062年单龄组男性和女性、五龄组男性和女性死亡概率的变化趋势。为了便于比较，这四个图中也给出了1994～2012年利用观测数据计算的死亡概率。

      2.未来50年年金精算现值的均值及区间预测。在年金精算现值的计算过程中暂时不考虑利率变化的影响，即假定定价时的预定利率为3.5%，基于式（5）所示的时期数据下年金精算现值的计算公式，应用区块Bootstrap方法模拟1000次，分别得到单龄组男性和女性、五龄组男性和女性数据下，未来50年中50岁39年期期初付定期生存年金精算现值的均值预测及50%、95%的置信区间的预测结果，如下页图5～8所示。从中可以看出，无论是采用单龄组数据还是五龄组数据，1000次模拟得到的男性和女性未来50年的定期年金精算现值的均值和50%的置信区间、95%的置信区间上限都呈现出明显的上升趋势。与女性相比，男性对应的95%的置信区间下限上升趋势不明显，表明未来50年男性年金精算现值的波动区间要比女性大。

      

      

      

      

      3.年金精算现值的分布模拟及分布特征。基于1000次再抽样得到的单龄组、五龄组男性和女性时期数据，我们给出了在时期方式下预测的未来各年（2025、2035、2045、2055年）50岁39年期期初付定期生存年金精算现值随机变量的分布模拟，如图9和图10（见第118页）所示，相应的分布特征如表1至下页表4所示。类似地，基于1000次再抽样得到的单龄组、五龄组男性和女性队列数据，我们给出了在队列方式下，2012年购买的50岁39年期期初付定期生存年金精算现值的分布模拟，如图11（见第118页）所示，相应的分布特征如表1～4最后一列所示。

      

      

      

      

      

      

      这里，一方面，为了细致比较时期方式和队列方式下模拟结果的差异，图9和图10展示的时期方式下的模拟结果中也加入了队列方式下的模拟结果；另一方面，为了体现模拟得到的年金现值随机变量的分布存在的性别差异，图11中也给出了将男性和女性人口合并后的合计人口的分布模拟结果。

      

      

      

      

      从图9、图10可以看出，无论是单龄组数据还是五龄组数据，1000次模拟得到的未来50年男性的年金精算现值的均值明显小于女性，但男性对应的分布曲线右移的幅度却明显大于女性，并且男性对应的分布的波动性更大。这些特征也可以通过表1～表4中的分布特征得到佐证。这表明，未来中国男性人口购买的年金产品价格上涨幅度及上涨压力更大。更进一步讲，这是否意味着未来中国男性人口死亡率改善引发的聚合长寿风险更大？倘若真是如此，那么这种基于全国人口普查和人口抽样调查得出的结论是否适用于保险行业？或者说，基于全国人口死亡统计数据与保险行业参保人口的死亡率改善数据得出的结论是否一致？为了解答这一问题，我们将进一步探讨上述各种情况下，男性和女性对应的年金精算现值的相对增长情况，以期对这一问题的解答提供深层次分析。

      此外，就时期数据和队列数据下的分布特征的比较而言，我们发现，在上述各种情况下，基于队列数据模拟的2012年50岁男性和女性购买的39年期期初付定期生存年金的精算现值的分布与基于时期数据模拟的2035年的分布都非常接近，且女性的接近程度明显更大。对于39年期年金产品，从理论平均的角度讲，基于队列数据模拟的分布应与2031年时期数据的分布比较接近，表明本文基于1000次的模拟结果是可靠的。鉴于实际中队列数据往往比时期数据更难获得，而且时期数据转化成队列数据会造成可用的样本量减少等问题，在量化长寿风险对年金产品定价的影响中，我们可以采用类似的方法去逼近队列数据下的分布。显然，该模拟结果也充分证明了基于队列数据计算的年金产品价格上涨趋势更大。在年金产品的定价中，理论上应以被保险人未来的预期死亡率即基于队列数据计算年金精算现值。如果以队列数据的计算为基准，则现行保险实务中基于经验生命表中的固定死亡率假设计算的年金产品价格被低估的程度更大。

      4.年金精算现值的年度平均增长率。在模拟未来50年的年金精算现值随机变量分布的基础上，我们进一步给出了单龄组和五龄组数据下，男性、女性和合计人口的年金精算现值随机变量的均值的年度平均增长率，如表5所示。

      

      从中可以看出，无论是采用单龄组数据还是采用五龄组数据，基于1000次区块Bootstrap方法模拟预测的男性人口的年金精算现值的年度平均增长率明显高于女性。这说明，由于死亡率存在动态改善，未来年份男性和女性人口的年金精算现值都呈现出普遍上涨趋势是显然的，但由于死亡率存在性别差异，使得同年份男性人口的年金精算现值往往低于女性，最终导致男性人口的年度平均增长率反而高于女性。

      实际上，生命表修订代表了保险公司参保人群系统性死亡率的改善，可视为量化聚合长寿风险对年金产品定价影响的一次真实的“自然实验”。鉴于此，我们也使用中国人寿保险业两张经验生命表即CL1990～1993、CL2000～2003中的养老金业务男表和女表对此进行了验证，也得出生命表修订后男性投保人群购买的年金产品的精算现值的增长率明显高于女性。这意味着，在保险公司年金产品定价过程中，采用固定的预定利率假设，利用生命表修订前后的死亡率数据，我们可以得出男性投保人群面临的聚合长寿风险显著高于女性投保人群的结论。

      综上所述，保险公司在年金产品的开发过程中，应采用合适的统计模型与方法来量化聚合长寿风险对年金产品定价的影响，改进年金产品的精算定价技术，进而保障保险消费者的权益，并确保保险公司的财务稳健。

      5.年金精算现值的利率敏感性测试。在实际中，由于年金精算现值同时受死亡率和利率两种因素的影响，故我们有必要对年金精算现值进行利率敏感性测试。在上述各种情况下，年金精算现值的计算过程均没有考虑利率变化的影响。我们基于单龄组和五龄组女性数据，进一步在2.5%、3%、3.5%、4%、4.5%五种不同利率假设下，给出50岁39年期定期生存年金精算现值的利率敏感性测试分析结果，如图12和图13所示。

      从图12和图13可以很明显看出，随着定价时采用的预定利率的上升，年金产品的精算现值会出现显著下降。这表明，利率上升能部分抵消或对冲长寿风险对年金产品定价的影响。高利率环境下，长寿风险并没有想象中那么显著。伴随着保险行业费率市场化，尤其是利率市场化的开展，长寿风险对年金产品定价的影响可能并没有固定的低利率环境下那么显著，但波动性往往会随着市场化的进程深化而加剧。这些都会对费率市场化环境下保险产品精算定价及监管机制的研究提出更高的挑战。

      

      

      五、总结与讨论

      目前，我国保险公司开发的年金产品仍然采用固定的死亡率精算假设进行定价，并没有考虑未来参保人群的系统性死亡率改善引发的聚合长寿风险对年金产品价格的影响。从理论上讲，参保人群死亡率的动态改善会导致保险公司年金产品价格被低估，进而导致责任准备金提取不足，势必会增加保险公司在年金产品尤其是养老金业务上的经营风险。鉴于此，本文结合中国1994～2012年单龄组、五龄组男性和女性死亡人口统计数据，提出了基于重叠区块非参数Bootstrap再抽样的死亡率预测方法。在此基础上，我们以预测未来50年的50岁39年期期初付定期生存年金精算现值的动态演变为例，分别在时期和出生队列两种方式下量化了长寿风险对保险公司年金产品定价的影响。

      具体来说，在3.5%的固定利率假设下，我们首先考虑时期方式，分别基于单龄组及五龄组男性和女性死亡率数据，模拟得到了2013～2062年定期年金精算现值随机变量的分布，以及年金精算现值的均值、标准差及各个分位数等相关的分布特征，并给出了50%和95%两个不同置信水平下的区间预测。其次，作为对比，进一步考虑队列方式，模拟得到了2012年购买的50岁39年期年金精算现值随机变量的分布及相应的分布特征。最后，分别在2.5%、3%、3.5%、4%、4.5%五种不同的利率假设下，对年金精算现值进行了利率敏感性测试。

      本文的研究结论可以从四个方面来概括。第一，从整体趋势上看，无论是采用单龄组数据还是五龄组数据，未来男性和女性死亡率仍持续下降，年金精算现值随机变量的均值及50%的置信区间都明显呈上升趋势，这与大量研究中关注的死亡率存在动态改善的现实情况相符。第二，从本文探讨的模拟未来50岁39年期年金精算现值随机变量的分布可以看出，基于2012年的队列数据计算的年金产品价格上涨趋势显然比同年份的时间数据的计算结果大得多。在量化长寿风险对年金产品定价的影响中，理论上我们应选取队列方式为比较基准，当队列数据的分布较难获得时，实际中也可以选取未来年份的时期数据来逼近队列数据的分布。第三，在固定利率假设下，未来50年中国男性人口的年金精算现值的年度平均增长率高于女性。这表明，男性购买者的年金产品价格上涨幅度及上涨压力更大，男性人口面临的聚合长寿风险更显著。类似地，利用生命表修订前后的死亡率数据，我们也可以得出男性投保人群面临的聚合长寿风险显著高于女性投保人群的结论。第四，从年金精算现值的利率敏感性测试结果可以看出，利率上升能部分抵消或对冲长寿风险对年金产品价格的影响。高利率环境下，长寿风险并没有那么显著。

      研究的不足与展望。本文在研究中可能存在的缺陷是，在死亡率预测之前，没有采用随机死亡率模型对基于中心死亡率换算后的条件死亡概率进行修匀。鉴于本文考虑的死亡率数据的年龄区间为50～89岁，且该区间的我国人口死亡率数据相对充足，这种采用样本观测值代替死亡率的真实估计值的做法还是可行的。作为进一步的研究方向，我们将考虑在死亡率模型（如Lee-Carter模型）和利率模型（如

模型、CIR模型）双随机模型下，基于模拟预测分布视角，量化长寿风险对年金产品及寿险产品定价和准备金评估的双向影响。

      ①为了方便起见，通常假设n是1的整数倍。

      ②在实际中，五龄组死亡率数据主要用于编制简易生命表。

      ③Period方式：在开放人口假设下，不考虑死亡率随时间的变化，基于某一特定时期的生命表，为各种保险产品厘定费率和提取责任准备金。在实际中，我们也可以构造基于时期数据的动态生命表。本文后续部分将给出时期数据下，年金精算现值的计算公式。

      ④Cohort方式：在封闭人口假设下，考虑死亡率随时间的变化，加入动态因素，为基于出生队列的动态生命表的引入奠定了基础。本文后续部分将给出队列数据下，年金精算现值的计算公式。

      ⑤另外，假设在两种年金精算现值的计算过程中均不考虑利率变化的影响，本文实证分析中将进一步给出利率敏感性测试分析结果。

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