王龙[1]2001年在《一类非结构任意四边形网格自动生成》文中进行了进一步梳理在二维非结构化网格自动生成的研究中，四边形网格和叁角形网格是当前应用最为广泛的两类网格。目前，叁角形网格的自动生成技术已趋成熟，但关于任意四边形网格自动生成技术还不完善，因此，关于任意四边形网格自动生成的研究成为现在二维非结构化网格自动生成研究的热点和难点。铺砖法因为具有边界吻合度好，拓扑变换不变，不规则点少的优点而备受研究者青睐。但它存在交叉检验效率低和网格尺寸的光滑过渡差（特别是在单元尺寸相差很大时）等缺陷。我们对铺砖法做了以下改进： （1）首先对离散边界节点进行Delaunay叁角形剖分，利用这一网格建立尺寸空间和邻居空间；然后借助这两个铺助的工具和规范边长概念来生成单元新边，从而将单元生成与整体尺寸控制很好地结合起来。 （2）利用尺寸空间和邻居网格把铺砖法中的相交检验化为局部性的工作：即高效的局部查找。 （3）引入Q-Morph方法中的铺砖边状态函数概念及当前铺砖回路和当前铺砖边的选取方法，并且实行每次生成一个单元而非一层，且每生成一个新四边形单元便进行局部光滑。 这样，经改善的铺砖法便能高效地生成高质量的任意四边形网格。此外，通过多种光滑及预处理技巧的综合使用，对区域尺寸分布复杂的情况也有很好的结果。实验证明：算法是有效、稳定和健壮的。
周歆辰[2]2017年在《非协调有限元和射影不变量的若干研究》文中认为有限元方法是求解微分方程及许多工程问题的有力工具.在各种网格上构造鲁棒的非协调有限元,同时对具体问题设计可靠的有限元格式来求解是有价值的工作.此外,鉴于射影几何、代数几何和计算几何联系紧密,将射影不变量应用于具体的几何研究对象也是有意义的课题.本文对非协调有限元和射影不变量两方面进行了研究.本文对非协调有限元的构造和应用展开如下研究.第一,本文针对二阶椭圆问题构造了对任意凸四边形网格鲁棒的非协调有限元,尤其是其二次和叁次情形.对于每种情形,首先在任意凸四边形上定义适定的非协调有限元,其自由度包含四边形边界上的各阶矩,然后对上述单元施加一个关于自由度的线性限制以得到带约束的有限元.在二次和叁次情形,每个有限元分别具有8个和11个自由度.全局元空间的维数与网格的单元数、顶点数和边数有关,同时本文详细刻画了一组易于使用的基函数.上述有限元应用于二阶椭圆问题具有最优收敛性.数值实验验证了本文的理论分析.第二,本文设计了多个应用于不同情形的求解Stokes问题的非协调混合有限元方法.其一是对于二维任意凸四边形网格,利用第一部分工作建立的非协调有限元与分片不连续多项式单元构造稳定的混合元.对于二次情形,可直接利用分片不连续P1元逼近压强;而对于叁次情形,需要向离散速度空间中添加泡沬函数.其二是考虑叁维Stokes问题,采用长方体剖分,利用向量形式的MSLK元逼近速度.由于直接应用分片不连续P1元逼近压强是不稳定的,我们将压强空间修改为分片宏P1元空间,构造了稳定的混合有限元.该方法显着减少了已有方法的自由度数目,且不降低逼近阶.其叁是针对单纯形网格上的CR-P1元,修正了 Lamichhane在文献[61]中的错误,指出该混合元的稳定性依赖于给定的网格.对二维情形,给出并证明了使CR-P1元稳定的宏单元所满足的充分必要条件.此外,为能将CR-P1元应用于更广泛的网格,本文给出其一个改进格式.上述所有工作的稳定性和收敛性理论均可由数值实验得到验证.本文还讨论了射影不变量及其在代数几何和计算几何中的应用.首先,本文扩展了罗钟铉教授提出的代数曲线的特征数的概念,使得特征数不再依赖于代数曲线而存在,并证明它是任意维射影空间中的射影不变量,并由此给出一个代数超曲面与闭回路直线集的相交性质.利用该性质,我们给出两种不同形式的Pascal定理在高维空间中的推广.第一种推广给出了不同次数的代数超曲面之间的联系;第二种推广给出了代数超曲面与单纯形的相交性质.上述推广与已有的某些推广格式完全不同,但可以良好地保持原始Pascal定理的形式.此外,本文还给出了包含Morgan-Scott型剖分在内的一类更广泛剖分上一种样条函数空间奇异的代数条件.利用上述结果,由代数条件导出相应的几何条件.
石东洋, 陈绍春[3]1998年在《一个新的非协调四边形膜元》文中研究指明利用分析Ｓｐｅｃｈｔ元的技巧，构造了一个新的五节点非协调四边形单元．它对任意四边形网格通过Ｉｒｏｎｓ分片检查和广义分片检查，且单元上的形状函数不依赖于单元本身．同时证明该单元具有一个与Ｗｉｌｓｏｎ元收敛性质相反的特殊性质，即在解适当光滑ｕ∈Ｈ３（Ω）时，其逼近误差为Ｏ（ｈ），相容误差为Ｏ（ｈ２）．这是其它二阶膜元所不具有的．算例表明，该单元有很好的数值效果．这对进一步研究某些超收敛性有重要意义．
廖歆[4]2016年在《发展方程的高精度有限元方法研究》文中进行了进一步梳理本文主要针对几类发展方程(诸如非线性Schr¨odinger方程、Benjamin-BonaMahony(BBM)方程、非定常不可压缩Navier-Stokes方程、Cahn-Hilliard(CH)方程以及对流占优扩散方程),分别从非协调有限元方法、协调和非协调混合元方法出发,对其收敛性、超逼近和超收敛等进行了深入系统的研究.首先,将一个非协调四边形单元(改进类Wilson元)运用于求解非线性Schr-¨odinger方程.通过该单元相容误差在能量模意义下可以达到O(h3)阶,比其插值误差高两阶这一特殊性质,对于半离散以及两种全离散格式(Backward-Euler(B-E)和Crank-Nicolson(C-N)格式),在广义矩形网格下导出了最优误差估计和超逼近性质.进一步地,通过插值后处理技术,在矩形网格下得到了整体超收敛结果.最后给出数值算例来验证理论的正确性和方法的有效性.其次,研究了BBM方程的低阶非协调有限元方法及混合元新格式.一方面,利用EQrot1元的两个特殊性质(插值算子等价于Ritz投影算子,且相容误差为O(h2)阶,比插值误差高一阶),分别在半离散和两种全离散格式(B-E和C-N格式)下导出其能量模意义下的超逼近和整体超收敛结果.另一方面,对该方程构造一种新的非协调混合元格式,借助于零阶Raviart-Thomas(R-T)元的高精度特性,同样在半离散以及全离散格式下得到了相关变量的超逼近和超收敛结果,并给出数值例子检验理论分析的正确性.再次,针对非定常不可压缩Navier-Stokes方程提出了一个低阶非协调混合元方法.运用带约束的旋转Q1(CQrot1)元以及分片常数(Q0)元分别逼近速度u和压力p,并得到了能量模下u以及L2模下p的超逼近和超收敛结果.同时还进行了数值实验,所得数值结果与理论分析相吻合.而后,对CH方程建立一个新的非协调混合元分析框架.利用一类非协调元的特殊性质(相容误差为O(h2)阶,比插值误差高一阶)和插值后处理技术,分别在半离散和B-E全离散格式下得到了原始变量u和辅助变量p在能量模意义下的超逼近和整体超收敛结果.并给出数值例子来验证该方法的有效性.最后,针对对流占优扩散方程,构造了一个新的特征混合元格式.并给出关于原始变量u以及辅助变量p的收敛性分析,最终结合数值例子来验证此方法的有效性.
李崇君[5]2004年在《特殊叁角剖分上的多元样条及其应用》文中进行了进一步梳理多元样条在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计和有限元等领域中均有很广泛的应用。在本文中,我们一方面继续研究某些有很重要应用价值的特殊叁角剖分上的多元样条,着重讨论了均匀2-型叁角削分上样条空间的性质,同时也考虑了一般叁角化四边形剖分和叁维空间中四面体剖分的情况。另一方面积极地将多元样条理论方面获得的结果应用到实际工程中,如计算机辅助几何设计和有限元方法。主要工作如下: 在第二章中,我们讨论了2-型叁角剖分上异度样条空间的性质。考虑当剖分是均匀的情况,这种剖分是一类特殊的贯穿剖分,也称为四方向剖分,因为其结构简单,对称性好,在实际中有很广泛的应用。为了摆脱刻划样条次数和光滑度之间关系的基本不等式的限制,考虑分别在矩形剖分线和对角剖分线上采用不同的光滑度,从而获得了更多样条空间上的丰富结果。我们主要讨论了应用比较广泛的叁次和四次样条空间的情况。借助光滑余因子协调法,我们构造了各个空间的具有局部支集的样条基函数,并利用这些基函数构造保持高阶精度的样条拟插值算子深入讨论了它们的逼近性质,给出了逼近误差的估计,同时利用拟插值算子讨论了样条空问的逼近阶。 在第叁章中,我们研究了二元样条函数在计算机辅助几何设计中的应用。非均匀有理B样条(NURBS)方法已经成为用于曲线曲面描述的广为流行的技术。但是,采用张量积形式的传统NURBS方法也存在一些不足。其一,由于基函数是一元B样条基的张量积,使得其参数域只能是矩形区域。而对于非规则的参数域,只能由矩形域上的NURBS曲面经过裁剪和拼接得到。但是,一方面裁剪是昂贵的,而且有数值误差;另一方面,要在曲面的接缝处保持光滑,即使是近似的平滑也是困难的。从控制项点的角度看,张量积型的基函数使得控制顶点在拓扑上必须位于矩形网格上。这意味着,NURBS曲面的大部分控制顶点的存在只是为了满足这种拓扑约束。它们并不含有特别的几何信息,因此是冗余的。其二,张量积的基函数使得曲面的次数升高。例如,一张p×q次的B样条曲面虽然在等参数线上是p或者q次的参数曲线,但整个曲面的次数却为p+q次。代数次数较高的曲面使得与之相关的运算变得更复杂,甚至影响曲面的几何性质,如出现多余的拐点等。这些缺陷,都是张量积型曲面本身不能克服的。而现阶段对非张量积型参数曲面的研究只限于叁角域(单纯形)上的Bernstein-Bézier(B-B)曲面,由于参数域的不同,不可能直接将叁角域上的B-B曲面转化到四边形区域上去。 为了解决上述问题,我们采用具有局部支集的二元B样条基函数构造非张量积型的NURBS曲面。对于矩形参数域,我们利用2-型叁角剖分上各样条空间中的基函数系统地构造了二次、叁次和四次非张量积型NURBS曲面。由于每个二元B样条基具有单独的局部支集,并可以根据各种参数域的形状选取满足相应光滑度和支集形状的样条基,而且整体次数较低,从而能够很好地克服上述传统NURBS曲面由张量积引起的问题。与这些基函数所对应的控制顶点也不再要求必须位于矩形网格上。因此,从根本上突破了张量积型曲面对参数域和控制顶点的拓扑限制。曲面除局部性质更好以外,还具有参数个数少的优点。由于二元B样条基是基于2-型叁角剖分上分片定义的多项式,对于不规则的参数域,我们可以直接得到相应的B样条曲面,而无需先构造矩形域上的曲大连理工大学博士学位论文面再经过特别的裁剪得到.我们选取具有单位分解性,而且有高通近阶的样条基函数,由它们生成的曲面具有许多良好的几何、逼近性质,如几何不变性、仿射不变性及凸包性质,并且在边界上与张盘积型NURBS曲面保持了一致性.适当地选取节点向量,或者通过减少B样条墓函数的支集范围,能使曲面的所有边界(包括对角例分线)退化为相应的NURBS曲线或者B白ier曲线,使得曲面具有良好的边界性质,并且可以直接利用传统NURBs曲面中的关于控制顶点与权因子的调节技术来方便地控制曲面.此外,通过对部分B样条荃的分解,可以在曲面的内部对参数域和控制顶点进行局部细化,使得曲面浦足相应的几何性质. 在第四章中,我们讨论了样条有限元方法.现阶段,样条函数在有限元方法中的应用多数是一元的B样条或者张里积型的B样条,而对于多元样条,只有少数的文献研究了2一型叁角剖分上二元二次B样条的简单应用.对于叁维空间中的金字塔单元,至今为止,还没有构造出同时满足协调性和非奇异性条件的多项式单元形状函数. 我们提出利用样条的方法,通过降低单元内部的光滑度,构造一族具有离精度的样条单元来解决这一问题.首先,我们利用叁角化四边形剖分上保持2次箱度的二元二次样条函数构造了一种新的四边形上的8节点样条元.将任意凸四边形单元转化为四个满足内部Cl连续的叁角形单元,在每个叁角形单元上采用面积坐标的B网表示方法,使得单元函数同时具有了对例分适应性强、精度高、计算简便等优点.我们通过弹性力学中的一些算例对其进行数值实验,得到了满意的结果.继续这一思路,把叁维空间中的金字塔单元和六面体单元分解为几个满足内部某种连续条件的四面体单元,在每个四面体单元上采用体积坐标的B网表示方法.我们得到了两种新的13节点金字塔单元和21节点六面体单元.?
参考文献：
[1]. 一类非结构任意四边形网格自动生成[D]. 王龙. 湘潭大学. 2001
[2]. 非协调有限元和射影不变量的若干研究[D]. 周歆辰. 大连理工大学. 2017
[3]. 一个新的非协调四边形膜元[J]. 石东洋, 陈绍春. 郑州大学学报(自然科学版). 1998
[4]. 发展方程的高精度有限元方法研究[D]. 廖歆. 郑州大学. 2016
[5]. 特殊叁角剖分上的多元样条及其应用[D]. 李崇君. 大连理工大学. 2004