高中三年级数学小题复习“微班”的设计分析--以变体探索为例_微课论文

以变式探究，创高效微课———节高三数学小专题复习“微课”的设计评析，本文主要内容关键词为：高效论文,数学论文,专题论文,微课论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      随着课程改革的不断深化，“微课”已经成为一种新型的教学模式和学习方式.笔者精心设计了高三数学小专题复习微课：“数形结合法在直线与圆位置关系中的运用”，以“理论先导—例题进击—变式推进—小试身手—结语点金”的发展性教学主线，以问题驱动，变式环环相扣，探究层层递进，有效地激活学生的思维.

      江苏省教育厅为了创新教师培训形式、提升教师信息技术应用能力、促进教师专业发展，搭建教师教学经验交流和教学风采展示平台、丰富教师培训生成性课程资源，于2014年2月至9月开展全省中小学教师微课竞赛活动，比赛分初赛、复赛和决赛3个阶段.笔者认真思考、反复打磨，以问题驱动、变式探究，建构知识网络、产生对知识整体认识为指向，激发学生思维、提升学生能力为核心，精心设计了高三数学小专题复习微课“数形结合法在直线与圆位置关系中的运用”，力求教学过程主线清晰，深入浅出，形象生动，突出教学中常见、典型、有代表性的问题或内容，做到有效解决教与学过程中的重点和难点，逻辑性和启发引导性强.笔者整理出本节微课的教学需求分析、学习指导、教学设计等相关材料，以期抛砖引玉，供专家同行研讨并批评指正.

      一、教学需求分析

      1.适用对象分析

      “数形结合法在直线与圆的位置关系中的运用”既适用于刚接触解析几何的高二学生，也适用于对解析几何有一定的解决能力但解题方法有待优化的高三学生，弥补学生漏听、未听或未听懂这部分知识和方法的不足.

      2.学习需求分析

      数形结合法在直线与圆位置关系相关问题中的运用是高考的热点、难点之一，数形结合法包括“以形助数”和“以数定形”两个方面，但在有些“以形助数”的题中，很多同学缺乏找“形”的意识或是不会找“形”，以致无法高质有效地解决问题，本节微课精心设计题目，不追求难度和习题量，选择“牵一发而动全身”的典型例题带领学生逐步深入探究，通过问题解决，帮学生总结解题规律、思想方法，达到解一题而通一类、带一串、提升一大步的目的.

      3.教学目标分析

      知识与技能 （1）通过本微课的学习使学生了解数形结合思想，以及运用数形结合解题的一般思路.

      （2）通过学习数形结合法在直线与圆的位置关系中的运用，努力让学生迁移到圆锥曲线，甚至一般情况下尝试用数形结合的思想方法分析问题解决问题.

      过程与方法 （1）通过例题的观察、比较、分析，让学生总结、归纳、理解“以形助数”和“以数定形”两个方面在解题中的优劣.

      （2）通过例题的变式探究，进一步体悟数形结合法在解题中的应用.

      （3）通过实际问题的解决过程，让学生学会把一些陌生新颖问题转化为熟悉问题，体现化归的重要数学思想，培养逻辑推理能力.

      情感态度与价值观 （1）在问题探究中认识数形结合法在解题中的运用方法，激发学生学习数学、应用数学的兴趣.

      （2）通过小组的自主、合作学习，培养学生自学能力和合作精神，体会、感受与他人合作的重要性.

      （3）通过学生合作学习交流的机会，使得学生感知应用数学解决问题的方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩证思想.

      二、学习指导

      1.学习内容指导

      解析几何其本质是用代数方法研究图形的几何性质，几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优势，具体解题时将两者结合起来，最能体现数形结合思想，解析几何最核心的思想方法就是数形结合.直线与圆是解析几何中的重要章节，因此处理此类问题应时刻牢记数形结合的思想方法.

      （1）数形结合解题的两个关键点：①“形”中觅“数”，很多数学问题，图形已经作出或比较容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，即将几何问题代数化，以数定形，使问题解决；②“数”上构“形”，有很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化为几何问题，使问题获解.

      （2）在运用数形结合思想方法分析和解决问题时，要注意两点：①要理解和掌握一些概念和运算的几何意义和曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既要分析其几何意义又要分析其代数意义；②要恰当建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化.

      2.学习方法建议

      个人观看学习视频时，可以使用暂停键，先思考，再听分析、解答，并规范解题步骤；若两个或两个以上同学一同观看，可以先观看、独立思考，形成自己的想法，再与同伴交流.

      根据以上的教学需求分析、学习指导笔者设计了以下的教学过程.

      三、教学过程

      1.明确专题指向，直击思路方法

      （开场白）这节微课学习“数形结合法在直线与圆位置关系中的运用”.

      （1）数形结合法：就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想方法.其包含“以数定形”和“以形助数”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.

      （2）常用解题思路：根据数或式的结构特征构造出与之相适应的几何图形，利用几何图形的特性解题；或者将图形信息转化为代数的数量关系进行讨论解题.

      设计意图 小专题复习微课的教学内容必须是“小而精”，笔者以数形结合法为教学小专题，为了防止“大而泛”，精心选择“直线与圆的位置关系”内容为教学载体.结合微课的特点和其时间的限制，开场白就明确专题学习指向，让听课者对学习什么知识有充分认识，并直击将学习的数形结合法的内涵功效，以及常用的解题思路，为下面的深入浅出的研究做好铺垫和指引.

      2.精选典型例题，炼思路揭本质

      例题 已知直线l：x-y+m=0与圆

=1，求实数m的取值范围，使得直线和圆分别有两个、一个、零个公共点.

      设计意图 小专题的例题应该具有基础性、针对性、典型性和研究性.例题的选择是否恰当对小专题微课的成败至关重要，必须精挑细选：针对重点内容、巩固“双基”.美国著名数学家波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”

      首先，例题的选择不要过于追求难度，内容应在学生会的“最近发展区”内进行选择，上述例题是动直线与定圆位置关系问题，属常规题，难度不大，是从考虑方法入手选择的母题.

      其次，本题非常有利于解题结论和解题方法思路的回顾总结，在学生独立思考的基础上，分析并展示了两种解法，提炼出两种解题思路，分别是：

      

      分析时边提炼边揭示出对应的本质，分别是以数定形和以形助数，并通过对比两种思路，强调数形结合法解决此类问题来得更直观有效.

      再次，小专题微课的初始例题要精，要有可变、可拓展、可延伸的研究性，本题作为初始母题可以产生一系列的变题，通过探究，产生能归纳、概括的“思维场”，从而围绕通性、通法，突出知识间的联系，或发展脉络，建构知识“核心内容”网络，提高微课效益，提升学生解决问题能力.

      3.巧设变式探究，构网络悟规律

      探究1 已知直线l：x-y+m=0与曲线C：y=

有两个公共点，求实数m的取值范围.

      探究2 已知直线mx-y+2m=0与曲线C：y=

有两个公共点，求实数m的取值范围.

      探究3 关于x的方程x+m=

有两个不等的实数解，求实数m的取值范围.

      设计意图 正是由于例题具有良好可拓展、延伸的研究性，笔者根据微课的特点和时间限制精心设计了3个变式探究：探究1由单位圆变化为半圆，进而探究2由平行直线系变化为中心直线系，探究3由探究1中形的问题变化为方程解的个数问题.而这些变题的共同特点就是均可以“以形助数”来轻松解决，但必须要“咬文嚼字”研究差异，同时要善于联想、类比、迁移，抓住问题的本质解题，还渗透了函数方程思想、数形结合思想.变题的设计注意小坡度、密台阶，层层推进、螺旋上升，这样设计就是始终在学生“最近发展区”内探究，利于学生步步登高.变式探究既注重面上拓展，又注意纵向深入，发挥例题的辐射作用，促进技能思维定势的正迁移，达到通一类、带一串、建构知识网络揭示解题规律，使微课教学有效、高效.

      4.精选变式训练，促进技能形成

      题1 若直线ax+by=1与圆

=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为________.

      题2 若直线y=k（x-2）+4与曲线y=1+

有两个不同的交点，则k的取值范围是________.

      题3 已知两点A（-2，0），B（0，2），点C是圆

-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.

      设计意图 数学技能的掌握必须通过练习内化才可能完成，练习是学生形成技能的基本途径.笔者精选了3道课内训练题，包括了直线与圆的3种位置关系，题1已知直线与圆相交，判断点P（a，b）与圆的位置关系；题2已知直线与半圆相交，求参数k的取值范围；题3本质是与直线AB平行的直线和圆相切时，切点C满足题意.这3道题的共同点还是都用到数形结合法，在此基础上进一步研究.利用变式练习可以让学生把握问题的本质特征和解决问题的核心思路和方法，加深对问题的理解变解决问题的思路方法套式为新式、模仿为创新.

      5.反思探究训练，感悟注意事项

      解决直线与圆的位置相关问题时，通常用代数法和数形结合法，往往“数形结合法”来得更简洁直观，功效更大，运用它解决问题时要注意：

      ①领悟方程几何意义及曲线代数特征；

      ②确保所画草图的清晰准确规范完整；

      ③抓住图形的特征结合数学运算解答.

      设计意图 反思例题、探究题、变式训练题，感悟出运用数形结合法解题的要领和注意事项，简明扼要地归纳出“三个方面六个字”，让学生的认识更清晰明确.

      6.自主体验方法，探究领悟提高

      （1）判断直线l：x-y+1=0与圆O：

=1的位置关系为________.（填相交，相切，相离）

      （2）直线l：x-y+1=0与圆O：

=1相交于A，B两点，则弦AB的长为________.

      （3）过圆外一点P（1，2）作圆O：

=1的切线，则切线方程是________.

      （4）已知直线l：x-y+2=0与圆O：

=1，求圆上的点到直线l距离的最小值________.

      （5）已知圆O：

（r＞0）有且仅有一个点到直线l：x-y+2=0的距离为1，求实数r的值.

      探究延伸1 对任意x∈[-1，1]，不等式x+m＞

恒成立，求实数m的取值范围.

      探究延伸2 关于x的不等式x+m＞

有解，求实数m的取值范围.

      设计意图 课后训练是课堂教学的延伸和补充，不仅在技能的形成阶段需要一定的练习，而且在技能形成以后仍需及时训练，才能使技能方法熟练掌握、保持下来并得到发展.课后训练题主要从内容上进行变式：直接判断位置关系、求弦长、求切线方程、求最值、求参数，通过变化条件、变化结论、条件与结论互换等使学生对题目中所涉及数形结合法更好地把握.由于微课的时间有限制（5～10分钟），在微课主视频中例题进行了3次变式探究（引导分析时务必重点突出、详略得当、注重思维生成），但为了更好挖掘该例题的功效，笔者在课后训练题中又进行了延续探究：探究延伸1，2，延伸1是恒成立问题，延伸2是有解问题，这样既增加了探究题的难度，又联系了以前的知识，改变了考虑问题的方向和角度，拓展了知识和思维，从纵向、横向、逆向等展开多向探索，建构了完整的知识网络和思维链，提高学生的创新能力和创造性思维.

      纵观微课，是从一道直线与圆位置关系的典型例题出发，进行了5道变式题的探究教学（主视频中的探究1，2，3和课后练习中的探究延伸1，2）和8道变式练习题（主视频中的小试身手1，2，3和课后练习中的1，2，3，4，5），对运用数形结合法解决直线与圆位置相关问体问题层层递进，不断拓展知识广度、深度、难度，对运用数形结合法解决直线与圆位置相关问题知识的融会贯通与整合体现带来的实效、高效.通过这样不断变式探究的教与学、练与悟、提炼与归纳，引导学生在学习中用有限的数学思想去探究无限的问题，去领悟其中的思维方式及规律，提高微课堂教学的有效性，对进一步养成自主学习、对问题进行多维度的研究习惯打下扎实的基础.实践表明，以问题驱动，以变式探究，一定可以创有效、高效、长效的微课.

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