藤蔓之美：从数值方程到变量函数--以八年级函数(一班)教学为例_数学论文

藤蔓之美：从数式方程走向变量函数——以八年级“函数（第1课时）”教学为例，本文主要内容关键词为：函数论文,藤蔓论文,为例论文,课时论文,之美论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      初中阶段变量与函数起始课的教学，一直是教学研究的重点课题，但是既往课例总是在大量实际案例中引导学生抽象、概括和归纳出函数概念，再安排一些例习题进行巩固训练，这样的教学程序对学生理解变量函数当然是有利的，突出体现了函数来源于、抽象于现实生活的特点；然而，如果从数学史上考察函数的演变，数学内部生长应该也是函数发展不可或缺的动力之一.基于上述认识，我们重新构思了八年级“函数（第1课时）”的教学设计，取得较好的教学效果.本文先记录该课的教学设计，阐释各个栏目设计的意图，然后再从整体上阐释课例的教学立意.

      一、“函数（第1课时）”教学设计

      （一）教学目标

      （1）基于生活现实和数学现实，理解函数概念；

      （2）知道函数的三种表示方式（列表法、图象法、解析式法）；

      （3）引导学生体会函数与前面数学知识之间的关联；

      （4）初步感受函数领域之宽广、包含之丰富.

      （二）教学流程

      1.展示图片，藤蔓之美（略）

      2.实例引路，导出概念

      实例1 （数学现实）用一根长为2m的藤蔓围成一个长方形.

      （1）当长方形的宽为0.2 m时，长为多少？

      （2）当长方形的长为0.5 m时，宽为多少？

      （3）当长方形的宽为am时，面积S为多少平方米？（用含a的式子表示）

      （4）当长方形的长是宽的3倍时，面积S为多少平方米？

      设计意图 小学数学一个熟悉的情境，七年级曾练习过代数式表示.引出变量、常量的概念.

      实例2 （生活现实）汽车以v km/h的速度匀速行驶，从甲地驶往乙地，设汽车到甲地路程为s km，行驶时间为t h.

      （1）若v=60，填写下表：

      

      （2）若s=360，则速度v与行驶时间t之间有怎样的关系？

      （3）若刘老师乘该汽车到达乙地，办事6小时后原路返程，你能看懂下图吗？

      

      设计意图：背景好懂，从列表、关系式、图象三个角度初步定义并引出函数概念.举几个不是函数的反例，如

=x，任意一个曲线，或表格形式.

      归纳：上面每个问题中两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.

      给出定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.

      如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

      进一步结合实例2中出现的关系式、表格、图象指出表示函数关系的方法通常有三种：

      （1）解析式法；（2）列表法；（3）图象法.

      此时再利用PPT展示一些丰富的实例，如心电图、中国人口数统计表、气温变化图等；接着，引导学生回看“实例1”，给出两个追问：

      追问1：这个长方形的长是宽的函数吗？为什么？

      追问2：这个长方形的面积是宽的函数吗？为什么？

      实例3 （数学现实）平面直角坐标系中，点P（m，-2m）是第二象限的点.

      （1）当m=-1时，点P的纵坐标是________；

      （2）当点P的纵坐标为6时，点P的横坐标m=________；

      （3）记点P的横、纵坐标分别为

、

，试用含

的式子表示

.

      设计意图 这个实例是学生在前面学习平面直角坐标系时遇到过的一个问题，引导学生再从变量函数的角度来思考.通过第（3）问，引出函数解析式、函数值的概念后进一步追问.

      追问1：

是

的函数吗？为什么？

      追问2：请列表分析点P的变化.

      追问3：请画图观察点P的变化.

      追问意图 促进学生概括函数图象的概念：在平面直角坐标系中，以函数自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图象.

      3.函数工具，服务生活

      实例2 （4）汽车油箱有油40 L，每行驶100 km耗油10 L.

      ①求行驶过程中油箱内剩余油量Q（L）与行驶路程s（km）的函数关系式；

      ②当汽车行驶250 km时，油箱里还有多少油？

      设计意图 这是又一次的“回看”前面案例，体现了问题的生长性、拓展性，引导学生多角度思考同一问题背景.同时问题①训练求函数关系式后，可以引导学生思考所谓的函数关系式跟之前七年级所学的列代数式的关联；问题②给出自变量，求所谓的函数值，而这可以引导学生思考与之前七年级所学的求代数式的值之间的关联；到了第③问，我们用“……”给出，意在课堂上根据学生的理解程度、教学时间引导学生自主提出问题.如果有学生能提出“已知油箱里剩余油量，求行驶路程”这样角度的问题，则可在追问和对话中引导学生比较“已知函数值求自变量的值问题”与“解方程”之间的关联.

      4.函数眼光，万物皆变

      （1）“沙漏”中有函数关系吗？

      图文解读：沙漏（图略）也叫做沙钟，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计量时间.

      提问：请说出沙漏变化过程中的自变量.

      数学欣赏1：论语《子罕》有句名言，子在川上曰：“逝者如斯夫，不舍昼夜.”大意是：孔子在河边感叹道：“时光像流水一样消逝，日夜不停.”

      数学欣赏2：《易经》是一本揭示变化的书.《易经》涵盖万有，纲纪群伦，是汉族传统文化的杰出代表；广大精微，包罗万象，亦是中华文明的源头活水.

      （2）再回到“藤蔓”问题

      实例4 （其他学科现实）生物学家为了推测最适合某种珍奇藤蔓生长的温度时，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）.

      

      科学家经过猜想、推测出y与x之间具有函数关系.

      能否利用函数图象法推测最适合这种藤蔓生长的温度？

      设计意图 主要是三个方面的立意，第一，与开课阶段的藤蔓做一呼应；第二，引导学生根据表格上提供的这些有序数对对应到平面直角坐标系中的点，进一步描点连线得出图象，从而根据图象推测最适合的温度；第三，现阶段只能让学生从“形”的角度估算答案，问题的精确求解，还有待于学生到九年级学习二次函数，再从二次函数解析式这种“数”的角度再次确认.

      5.板书设计

      

      二、教学立意的进一步阐释

      上面在课例各个教学流程下面所附的意图解读只是针对各个教学片断的说明或是预设互动的解说，以下就整节课的教学立意做进一步的阐释.

      （一）藤蔓之美，数学欣赏

      德国伟大的数学家希尔伯特说过：“数学可比作一棵浓荫茂密、百枝伸展的大树.”最近《数学译林》杂志翻译了一篇《数学教育的一个比喻》[1]，文中提出一个不同的比喻：

      想象一个平原上面有一座巨大的直入云霄的隐形大厦.因为它对平原及周围气候产生的影响，我们知道它就在那里.人们在看起来是大厦的底部周围种上藤蔓的种子，藤蔓沿着隐形的墙生长，沿着角落，裂缝的雕塑摸索它自己的路，缓慢勾勒出那里的一些东西的轮廓.藤蔓没有随意生长，因为它需要持续的照顾.它需要水，肥料，甚至需要导向，所以需要园艺师.这些管理者在地上或者站在摇晃的高梯子上不断地修剪和拨开藤蔓.结果就是藤蔓的形状以及它似乎要形成的轮廓不仅反映出其中的大厦，也反映出园艺师的兴趣和日常工作.

      这篇文章还指出，藤蔓有3种生长方式：①藤蔓粗放地生长：卷须探索道路，向前、向上以及向里伸展.②藤蔓扩张地生长：卷须向周围刺探，以找到更多在表面上的图案和形状，填充一个领域中最初那些主要发现之间的空间.③藤蔓集中地生长：通过合并枝条形成大树枝来重组它自己的结构.

      可以发现，函数概念的出现可算是“藤蔓集中地生长”，通过合并数式、方程（组）等知识形成大树枝重组了自己的结构，继续生长.正是基于上述认知，内化自己的“数学理解”之后，我们将函数起始课构思了一个“藤蔓之美”的结构，并在黑板上画出一个藤蔓的示意图（见板书设计），把数、式、方程、函数有序对应.当然，这种课堂结构和设计取向也是渗透所谓的“数学欣赏”，看似枝蔓，却意在追求数学欣赏、数学理解、教学理解的和谐统一.

      （二）实例取舍，践行课标

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标（2011年版）”）在“教材编写建议”中指出“呈现内容的素材应贴近学生现实”[2]，并认为学生的现实主要包含三个方面：生活现实、数学现实、其他学科现实.上文课例中主要围绕四个实例展开教学，这四个实例是经过大量实例对比、改编之后取舍保留下来的，实例1、实例3分别是对应着“数学现实”，而实例2、实例4分别对应“生活现实”、“其他学科现实”.值得再说的是，教学中通过对“实例2”的追问、互动、对话，不但定义了常量、变量等概念，还呈现了行程问题的公式、表格、图象（注：这个图象参考了“课标（2011年版）”提供的“案例54”），为帮助学生从文字、公式、表格、图形等多种形式认识、抽象并归纳函数概念提供了可能.事实上，这也正是章建跃先生在文[3]中关于概念教学“举例子要注意典型性和丰富性”的要求.

      （三）逻辑连贯，构建框架

      章建跃先生曾说：“在课堂教学中，要以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考.”[4]本文课例中，作为“数学现实”的实例1、实例3初始的几个设问学生凭着已有数学知识均能轻松解决，而再从函数角度反观它们时，就是一类函数问题；对于实例2，课堂上耗时最多，初始几个设问不仅为着引出函数概念，而且对于后面案例2从函数角度再分析也是有帮助的，这样的教学尝试，就是想让学生从数式、方程走向变量函数，知道新来的函数概念与之前所学的数学知识或方法是兼容不悖的，所谓的函数问题，只是换了一个新的工具或角度继续研究熟悉的问题.当然，包括案例4在内，在四个案例的互动对话中，基本实现了帮助学生构建整体框架，使学生面对一个新的函数概念时，有了一个“整体观”，即函数研究就要从关系式、表格、图象等角度开展研究.

      作家南帆先生曾说“散文应向四面八方打开.”反思笔者在设计和教学函数（第1课时）的全过程，如何将我们的数学课堂也向四面八方打开，既像藤蔓那样自然生长，又不至于“枝蔓”无度；既有贴近学生的生动实例呈现，又不至于有“去数学化”之弊；既保证课堂教学中有学生的踊跃展示，又不至于学生处处掉入教师预设好的陷阱……每念及此，越发觉得课堂教学中数学育人之路漫漫，期待与更多同行一起慎思、明辨而笃行.

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